第4节等式性质与不等式的性质市赛一等奖

第4节等式性质与不等式的性质考试要求梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质1两个实数比较大小的方法知识梳理>＝<>＝<2等式的性质1对称性：若a＝b，则b＝a2传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c3可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c4可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd3不等式的性质1对称性：a＞b⇔b＜a；2传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；3可加性：a＞b⇔a＋c____b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c____b＋d；4可乘性：a＞b，c＞0⇒ac____bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac____bd；5可乘方：a＞b＞0⇒an____bnn∈N，n≥1；＞＞＞＞＞＞诊断自测1判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”答案1×2×3×4√解析1由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒ac2＞bc22由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc⇒a＝b2老教材必修5P74例1改编若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有答案B答案＞42020·厦门期末实数，y满足>y，则下列不等式成立的是解析由>y，得－<－y，所以2－<2－y，故选B答案B52020·广东执信中学月考若a，b∈R，且a＞|b|，则解析由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B答案B6多选题2020·商丘九校联考已知＞y＞，＋y＋＝0，则下列不等式不成立的是 ＞y ＞ ＞y D|y|＞|y| 解析因为＞y＞，＋y＋＝0，所以＞0，＜0，y的符号无法确定，对于A，因为＞，若y＜0，则y＜0＜y，故A不正确；对于B，因为y＞，＞0，所以y＞，故B正确；对于C，因为＞y，＜0，所以＜y，故C不正确；对于D，因为＞，当|y|＝0时，|y|＝|y|，故D不正确 答案ACD考点一比较两个数式的大小当q>0且q≠1时，由f′>0，得0<<e；由f′<0，得>e∴f在0，e为增函数，在e，＋∞为减函数∴f3>f4>f5，即a>b>c规律方法1作差法一般步骤：1作差；2变形；3定号；4结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差2作商法一般步骤：1作商；2变形；3判断商与1的大小；4结论3函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系4特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小解析1a3＋b3－a2b＋ab2＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2a－b－b2a－b＝a－ba2－b2＝a－b2a＋b，∵a>0，b>0且a≠b，∴a－b2>0，a＋b>0，∴a3＋b3－a2b－ab2>0，即a3＋b3>a2b＋ab2答案1＞2A考点二不等式的性质【例2】1多选题设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln－12＝0，lnb2＝ln－22＝ln4＞0，所以④错误综上所述，可排除A，B，D④中，因为b＜a＜0，根据y＝2在－∞，0上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln在定义域0，＋∞上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误由以上分析，知①③正确答案1ABC2C②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；规律方法解决此类题目常用的三种方法：1直接利用不等式的性质逐个验证；2利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；3利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断【训练2】12020·绵阳诊断改编已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是 ＞ac Bcb－a＜0 4＜ab4 a－c＞0 22019·武汉联考下列命题中正确的是答案1A2D解析1因为a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，所以c＜0＜，因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，故A正确；对于B，因为b＜a，c＜0，所以b－a＜0，c＜0，所以cb－a＞0，故B不正确；对于C，因为c＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正确；对于D，因为ac＜0，a－c＞0，所以aca－c＜0，故D不正确，故选A角度1不等式在实际问题中的应用【例3－1】2017·北京卷某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： 1男学生人数多于女学生人数； 2女学生人数多于教师人数； 3教师人数的两倍多于男学生人数 ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________ ②该小组人数的最小值为________考点三不等式及其性质的应用多维探究解析令男学生、女学生、教师人数分别为，y，，且2>>y>，①若教师人数为4，则4<y<<8，当＝7时，y取得最大值6②当＝1时，1＝<y<<2，不满足条件；当＝2时，2＝<y<<4，不满足条件；当＝3时，3＝<y<<6，y＝4，＝5，满足条件所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12答案①6②12【例3－2】经典母题已知－1<<4，2<y<3，则－y的取值范围是________，3＋2y的取值范围是________ 解析因为－1<<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<－y<2由－1<<4，2<y<3，得－3<3<12，4<2y<6，所以1<3＋2y<18 答案－4，21，18角度2利用不等式的性质求代数式的取值范围典例迁移【迁移1】将本例条件改为“－1<<y<3”，求－y的取值范围解因为－1<<3，－1<y<3，所以－3<－y<1，－4<－y<4①又因为<y，所以－y<0，②由①②得－4<－y<0，故－y的取值范围是－4，0【迁移2】将本例条件改为“已知－1<－y<4，2<＋y<3”，求3＋2y的取值范围解设3＋2y＝λ－y＋μ＋y，即3＋2y＝λ＋μ＋μ－λy，∵－1<－y<4，2<＋y<3，规律方法1解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型2利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围【训练3】1已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：设用甲