第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考试要求1理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2理解充分条件、必要条件与充要条件的含义知识梳理判断真假1命题用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，__________的语句叫做假命题判断为真判断为假2四种命题及其相互关系1四种命题间的相互关系若綈p,则綈q若q,则p若綈q,则綈p2四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有_______的真假性②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性___________相同没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的_______条件，q是p的_______条件p是q的______________条件p⇒q且q

pp是q的______________条件pq且q⇒pp是q的_______条件p⇔qp是q的_____________________条件p

q且q

p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要1否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论的充分不必要条件A⇒B且BA，与A的充分不必要条件是BB⇒A且AB两者的不同的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件诊断自测1判断下列结论正误在括号内打“√”或“×”1“2＋2－3<0”是命题2当q是p的必要条件时，p是q的充分条件3“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”4若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真解析1错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的答案1×2√3√4√A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D3老教材选修2－1P2例1改编下面有4个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④2＋1＝2的解可表示为{1，1}其中真命题的个数为________答案042017·北京卷能够说明“设a，b，>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________解析a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，则a＋b＝－6<c答案－2，－4，－5答案不唯一52019·郑州模拟已知p：>a是q：2<<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________解析由已知，可得{|2<<3}{|>a}，∴a≤2答案－∞，2]62020·青岛二中检测直线－y－＝0与圆－12＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________答案－1<<3考点一命题及其关系【例1】1下列说法正确的是22018·北京卷能说明“若f>f0对任意的∈0，2]都成立，则f在上是增函数”为假命题的一个函数是________解析1对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；对于B项，若“am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，因为当m＝0时am2＝bm2，所以其逆命题为假命题，B错；对于C项，由指数函数的图象知，∀∈0，＋∞，都有4>3，C错；2根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且fmin＝f0规律方法1写一个命题的其他三种命题时，需注意：1对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；2若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例3根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断【训练1】12020·石家庄模拟下列说法中正确的是B错，an＝0为常数列，但{an}不是等比数列；C正确，由于A>B⇔a>b⇔sinA>sinB2命题≥sin，则m>a－2恒成立，它是真命题时a－2<－1，解得a<1综上所述，实数a的取值范围是[0，1答案1C2[0，1考点二充分条件与必要条件的判定【例2】12019·浙江卷若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2已知条件p：>1或<－3，条件q：5－6>2，则綈p是綈q的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2由5－6>2，得2<<3，即q：2<<3所以q⇒p，p⇒/q，所以綈p⇒綈q，綈q⇒/綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A答案1A2A规律方法充要条件的三种判断方法1定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断2集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断3等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题【训练2】12019·天津卷设∈R，则“2－5<0”是“|－1|<1”的解析1由“2－5<0”可得“0<<5”；由“|－1|<1”可得“0<<2”由0<<5⇒/0<<2；但0<<2⇒0<<5，所以“2－5<0”是“|－1|<1”的必要不充分条件答案1B2充要考点三充分、必要条件的应用 典例迁移【例3】经典母题已知≤≤1＋m}若∈的取值范围解由2－8－20≤0，得－2≤≤10，∴P＝{|－2≤≤10}∵∈P是∈S的必要条件，则S⊆P又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0综上，m的取值范围是【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m，使∈P是∈S的充要条件？并说明理由解由例题知P＝{|－2≤≤10}若∈P是∈S的充要条件，则P＝S，这样的m不存在【迁移2】设≤≤1＋m}，且綈的取值范围解由例题知P＝{|－2≤≤10}∵綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件∴p⇒q且q⇒p，即PS∴m≥9，又因为S为非空集合，所以1－m≤1＋m，解得m≥0，综上，实数m的取值范围是[9，＋∞规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：1把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解2要注意区间端点值的检