导数的几何意义

113导数的几何意义1割线斜率与切线斜率设函数y＝f的图象如图所示，直线AB是过点A0，f0与点B0＋Δ，f0＋Δ的一条割线，此割线的斜率是知识点一导数的几何意义当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的于是，当Δ→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率，即＝＝切线f′02导数的几何意义函数y＝f在＝0处的导数的几何意义是曲线y＝f在点P0，f0处的切线的斜率也就是说，曲线y＝f在点P0，f0处的切线的斜率是相应地，切线方程为思考曲线的切线与曲线的交点是否一定唯一？答案曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有多个甚至无穷多个f′0y－f0＝f′0－0从求函数f在＝0处导数的过程可以看出，当＝0时，f′0是一个确定的数这样，当变化时，f′便是的一个函数，我们称它为f的简称导数y＝f的导函数有时也记作，即f′＝y′＝知识点二导函数的定义导函数y′特别提醒：

区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点处的导数组成的一个新函数，是函数′0是一个常数＝f在＝0处的导数f′0就是导函数f′在＝0处的函数值3直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点4“直线l与曲线C相切”是“l与C有一个交点”的必要不充分条件

思考辨析判断正误SIAOBIANIPANDUANHENGWU√×√×例11如图，直线l是曲线y＝f在＝4处的切线，则f′4等于一、利用图象理解导数的几何意义AB3C4D5√解析根据导数的几何意义知f′4是曲线y＝f在＝4处的切线的斜率，2已知函数f在R上可导，其部分图象如图所示，设＝，则下列不等式正确的是A<f′1<f′2 Bf′1<<f′2Cf′2<f′1< Df′1<f′2<√解析函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，所以f′1<<f′2反思感悟导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决跟踪训练1已知函数y＝f的图象如图所示，则其导函数y＝f′的图象可能是√解析由y＝f的图象及导数的几何意义可知，当<0时，f′>0；当＝0时，f′＝0；当>0时，f′<0，只有B适合条件2如图，函数y＝f的图象在点P2，y处的切线是l，则f2＋f′2等于A－4 B3C－2 D1√解析由图象可得函数y＝f的图象在点P处的切线是l，与轴交于点4,0，与y轴交于点0,4，则可知l：＋y＝4，∴f2＝2，f′2＝－1，∴f2＋f′2＝1，故选D12345678910111213141516例21求函数y＝21在点P1,2处的切线方程;二、求切线方程2求函数y＝32在点1,3处的切线方程反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤过某点的曲线的切线典例求过点－1,0与曲线y＝2＋＋1相切的直线方程＝20＋1解得0＝0或0＝－2当0＝0时，切线斜率＝1，过－1,0的切线方程为y－0＝＋1，即－y＋1＝0当0＝－2时，切线斜率＝－3，过－1,0的切线方程为y－0＝－3＋1，即3＋y＋3＝0故所求切线方程为－y＋1＝0或3＋y＋3＝0素养提升1首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点2过点1，y1的曲线y＝f的切线方程的求法步骤①设切点0，f0②建立方程f′0＝③解方程得＝f′0，0，y0，从而写出切线方程3本例考查了切线的含义及切线方程的求法体现了直观想象和数学运算的数学核心素养例31设曲线f＝a2在点1，a处的切线与直线2－y－6＝0平行，则a等于三、求切点坐标√所以2a＝2，所以a＝12多选已知函数f＝在＝0处的切线的倾斜角为135°，则0等于A1B－1C2D3可得0＝±1√√反思感悟求切点坐标的一般步骤1设出切点坐标2利用导数或斜率公式求出斜率3利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标4把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点的纵坐标变式：若点P是抛物线y＝2上任意一点，则点P到直线y＝－2的最小距离为_____，此时P点坐标为____