第六章一元二次不等式及其解法

第六章不等式、推理与证明第二节一元二次不等式及其解法抓基础明考向提能力教你一招我来演练

考

什

么1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式.

怎

么

考1.一元二次不等式的解法及三个二次间关系问题是命题

热点．2.考查题型多为客观题，有时会在解答中出现交汇命题，着重考查二次不等式的解法，属中、低档题.一元二次不等式的解集“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式a2＋b＋c>0与a2＋b＋c<0的解集，可归纳为：判别式Δ＝b2－Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0)ax2＋bx＋c<0(a>0){|<1或>2}{|≠1}R{|1<<2}∅∅若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．1．教材习题改编不等式2－3＋2<0的解集为A．－∞，－2∪－1，＋∞B．－2，－1C．－∞，1∪2，＋∞D．1,2答案：D解析：2－3＋2<0，∴－1－2<0∴1<<2答案：C3．2011·福建高考若关于的方程2＋m＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A．－1,1 B．－2,2C．－∞，－2∪2，＋∞D．－∞，－1∪1，＋∞答案：C解析：由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞24．若a<0，则关于的不等式2－4a－5a2>0的解是____________．解析：由2－4a－5a2>0，得－5a＋a>0，∵a<0，∴<5a或>－a答案：>－a或<5a5．教材习题改编不等式2－2＋a>0对∈R恒成立，则a的取值范围是________．答案：1，＋∞解析：由Δ＝4－4a<0，∴a>1解一元二次不等式应注意的问题：1在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；2二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况．3一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；4一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与轴交点的横坐标相同．2011·江西高考若f＝2－2－4ln，则f′>0的解集为A．0，＋∞B．－1,0∪2，＋∞C．2，＋∞ D．－1,0C在本例中，若f变为：f＝2－2＋ln＋1，则f′>0的解集________．——————课堂突破保分题，分分必保！答案：D答案：A解析：f－1＝3，f<3，当≤0时，2＋4＋6<3，解得∈－3，－1，当>0时，－＋6<3，解得∈3，＋∞，故不等式的解集为－3，－1∪3，＋∞．答案：－1≤a≤11．解一元二次不等式的一般步骤：1对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即a2＋b＋c＞0a＞0，a2＋b＋c＜0a＞0；2计算相应的判别式；3当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；4根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏C答案：C5．2012·九江模拟若关于的不等式2－a－a>0的解集为－∞，＋∞，则实数a的取值范围是________；若关于的不等式2－a－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．答案：－4,0－∞，－6]∪[2，＋∞解析：由Δ1<0，即a2－4－a<0，得－4<a<0；由Δ2≥0，即a2－43－a≥0，得a≤－6或a≥21．对于二次不等式恒成立问题．恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴上方．恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在轴下方．2．解决恒成立问题还可以利用分离参数法1求n的值；2要使刹车距离不超过126m，则行驶的最大速度是多少？—————课堂突破保分题，分分必保！解不等式应用题，一般可按如下四步进行：1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；2引进数学符号，用不等式表示不等关系；3解不等式；4回答实际问题．数学思想数学思想在不等式恒成立问题中的应用答案：C不等式恒成立问题体现的主