指数函数及其性质(一)

212指数函数及其性质一第二章§21指数函数学习目标1理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性2掌握指数函数图象的性质3会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数的函数关系式是什么？这个函数式与y＝2有什么不同？答案y＝2它的底为常数，自变量为指数，而y＝2恰好反过来梳理一般地，叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是特别提醒：1规定y＝a中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a可能无意义；②当a>0时，可以取任何实数；③当a＝1时，a＝1∈R，＝a中a>0，且a≠12要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数②指数函数的自变量必须位于指数的位置上③a的系数必须为1④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2＋1不是指数函数函数y＝aa>0，且a≠1R知识点二指数函数的图象和性质指数函数y＝aa>0，且a≠1的图象和性质如下表：

a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过定点

，即x＝

时，y＝__函数值的变化当x>0时，

；当x<0时，_______当x>0时，

；当x<0时，_____单调性在R上是_______在R上是_______0,101y>10<y<10<y<1y>1增函数减函数1y＝>0是指数函数2y＝a＋2a>0且a≠1是指数函数0＝1a>0且a≠1，所以y＝a恒过点0,14y＝aa>0且a≠1的最小值为0×√××题型探究类型一求指数函数的解析式解答例1已知指数函数f的图象过点3，π，求函数f的解析式解设f＝aa>0，且a≠1，将点3，π代入，得到f3＝π，即a3＝π，解得a＝，于是f＝反思与感悟1根据指数函数的定义，a是一个常数，a的系数为1，且a>0，a≠1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数2要求指数函数f＝aa>0，且a≠1的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可解由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2将点1,2代入y＝a，得a＝2解答跟踪训练1已知指数函数y＝2b－3a经过点1,2，求a，b的值解答命题角度1fa型例2求下列函数的定义域、值域解函数的定义域为R∵对一切∈R,3≠－1类型二求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域又∵3>0,1＋3>1，解答2y＝4－2＋1解函数的定义域为R，反思与感悟解决此类题可采用换元法，利用二次函数与指数函数的性质求解跟踪训练2求下列函数的定义域与值域解答∴原函数的定义域为[0，＋∞∴0≤<1，∴原函数的值域为[0,1解答解原函数的定义域为R方法一设a＝t，则t∈0，＋∞，∵t>0，∴t＋1>1，即原函数的值域为－1,1∴原函数的值域是－1,1解答∵y＝3在R上是增函数，命题角度2af型反思与感悟y＝af的定义域即f的定义域，求y＝af的值域可先求f的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f的范围求y＝at的范围解答跟踪训练3求下列函数的定义域、值域：解由－1≠0得≠1，所以函数定义域为{|≠1}所以函数值域为{y|y>0且y≠1}解答所以函数值域为{y|y≥1}类型三指数函数图象的应用命题角度1指数函数整体图象答案解析√解析根据图中二次函数图象可知c＝0，∴二次函数y＝a2＋b，反思与感悟函数y＝a的图象主要取决于0<a<1还是a>>0且a≠1跟踪训练4已知函数f＝4＋a＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是A－1,5 B－1,4C0,4 D4,0答案解析√解析当＋1＝0，即＝－1时，a＋1＝a0＝1，为常数，此时f＝4＋1＝5即点P的坐标为－1,5命题角度2指数函数局部图象例5若直线y＝2a与函数y＝|2－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围解答由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2－1|的图象有两个公共点，反思与感悟指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用跟踪训练5函数y＝a||a>1的图象是答案解析解析函数y＝a||是偶函数，当>0时，y＝>1，故选B√达标检测答案123451下列各函数中，是指数函数的是√12345答案√＝2a－1是自变量是指数函数，则a的取值范围是12345答案＝a－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0√12345答案4函数的值域是_____0,1]12345－3,0]答案解得－3<≤0解析规律与方法1判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝aa＞0，且a≠1这