椭圆及其标准方程

211椭圆及其标准方程——仙女座星系星系中的椭圆一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点F1、F2，两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。M几点说明：1、F1、F2是两个不同的点；2、M是椭圆上任意一点，且|MF1||MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c；4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F25、如果2a<2c，则M点的轨迹不存在（由三角形的性质知）的轨迹是否为椭圆。1到F1-2,0、F22,0的距离之和为6的点的轨迹。2到F10,-2、F20,2的距离之和为4的点的轨迹。4到F1-2,0、F20,2的距离之和为3的点的轨迹。因|MF1||MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。因|MF1||MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆是线段F1F2。3到F10,-2、F20,2的距离之和为3的点的轨迹。因|MF1||MF2|=4＜|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。如图，建立直角坐标系Oy，使轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合设点M,y是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2cc＞0焦点F1、F2的坐标分别是－c,0、c,0．又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．|MF1|＋|MF2|＝2a2椭圆标准方程的推导：讲授新课OYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为-c,0、c,0。-c,0c,0,y设M（,y为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1||MF2|=2aOYF1F2M-c,0c,0,y两边平方得：a4-2a2cc22=a22-2a2ca2c2a2y2即：a2-c22a2y2=a2a2-c2因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b22a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：a>b>0这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在轴上。a＞b＞0椭圆的标准方程：是F1c,0、F2－c,0，且c2＝a2－b2它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点讲授新课讲授新课如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标是F10,－c、F20,c，则椭圆方程为：a＞b＞0如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？椭圆的方程两种形式的标准方程的比较：与

椭圆的焦点在x轴上椭圆标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上椭圆标准方程中y2项的分母较大．椭圆的方程椭圆的标准方程定义图形方程焦点a、b、c之间的关系F1F2MyxOyxOMF1F2|MF1||MF2|=2a2a>|F1F2|c,0、c,00,c、0,c分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上答:在轴上-3,0和3,0）答:在y轴上0,-5和0,5）答:在y轴上0,-1和0,1焦点在分母大的那个轴上。判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，写出焦点坐标。写出适合下列条件的椭圆的标准方程1a=4，b=1，焦点在轴上；2a=4，b=1，焦点在坐标轴上；

或

例题讲解例、椭圆的两个焦点的坐标分别是－4,0、4,0，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。12yoFFMx