第五节一元二次不等式及其解法

第五节一元二次不等式及其解法学习要求:1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的

联系3会解一元二次不等式1“三个二次”的关系必备知识

·

整合

判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1

<x2)有两个相等实根x1=x2=-

没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集①{x|x<x1或x>x2}

②{x|x≠x1}

③

R

ax2+bx+c<0(a>0)的解集④{x|x1<x<x2}

⑤

⌀

⑥

⌀

2-a-b>0和-a-b<0型不等式的解集不等式解集a<ba=ba>b(x-a)(x-b)>0{x|x<a或x>b}⑦{x|x≠a}

⑧{x|x<b或x>a}

(x-a)(x-b)<0⑨{x|a<x<b}

⑩

⌀

{x|b<x<a}知识拓展1一元二次不等式的恒成立的问题1一元二次不等式a2bc>0对任意实数恒成立⇔ 2一元二次不等式a2bc<0对任意实数恒成立⇔ 2分式不等式的转化1 >0<0⇔f·g>0<02 ≥0≤0⇔f·g≥0≤0且g≠0以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1若不等式a2bc<0a≠0的解集为1,2,则必有a>02若不等式a2bc>0的解集是-∞,1∪2,∞,则方程a2bc=0的两个

根是1和2 3若方程a2bc=0a≠0没有实数根,则不等式a2bc>0的解集为R 4不等式a2bc≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0 5若二次函数y=a2bc的图象开口向下,则不等式a2bc<0的解集一定

不是空集 √√√✕✕={|-4<<1},B={|2--6<0},则A∪B等于A-3,1

B-2,1C-4,2

D-4,3D解析

因为A={|-4<<1}=-4,1,B={|2--6<0}=-2,3,所以A∪B=-4,3

故选D3||·1-2>0的解集为 A-∞,0∪ 

B C 

D A解析

原不等式等价于 解不等式组可得实数的取值范围是-∞,0∪ 2b1>0的解集为 ,则ab的值为

6解析由不等式a2b1>0的解集为 ,知a<0且a2b1=0的两根为1=-1,2= ,由根与系数的关系知 所以a=-3,b=-2,即ab=62a4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是

-∞,-4∪4,∞解析因为不等式2a4<0的解集不是空集,所以Δ=a2-4×4>0,即a2>16,所以a>4或a<-4

角度一解不含参数的一元二次不等式典例11解不等式:-2-23≥0;2已知函数f= 解不等式f>3考点一一元二次不等式的解法关键能力

·

突破

解析1不等式两边同乘-1,则原不等式可化为22-3≤0方程22-3=0的解为1=-3,2=1而y=22-3的图象开口向上,所以原不等式-2-23≥0的解集是{|-3≤≤

1}2由题意得 或 解得>1,故原不等式的解集为{|>1}角度二解含参数的一元二次不等式典例2解关于的不等式:122-a>a2a∈R解析因为122-a>a2,所以122-a-a2>0,即4a3-a>0令4a3-a=0,解得1=- ,2= ①当a>0时,- < ,不等式的解集为 ;②当a=0时,2>0,不等式的解集为{|∈R,且≠0};③当a<0时,- > ,不等式的解集为 综上所述,当a>0时,不等式的解集为 ;当a=0时,不等式的解集为{|∈R,且≠0};当a<0时,不等式的解集为 名师点评1解一元二次不等式的方法和步骤:

2解含参数的一元二次不等式的步骤:①二次项系数若含有参数,应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式;②判断对应方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系;③确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关

系,从而确定解集形式={|3-2>0},N={|2-43>0},则M∩N= A0,1

B1,3C0,3

D3,∞A解析

将M中不等式变形,得-3<0,解得0<<3,即M=0,3将N中不等式

变形,得-1-3>0,解得<1或>3,即N=-∞,1∪3,∞,则M∩N=0,1故选

A2-a11<0a>0解析因为a>0,所以原不等式等价于 -1<0①当a=1时, =1, -1<0无解;②当a>1时, <1,解 -1<0,得 <<1;③当0<a<1时, >1,解 -1<0,得1<< 综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为 ;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a>1时,不等式的解集为 

角度一形如f≥0f≤0∈R确定参数的范围典例3若不等式a-222a-2-4<0对一切∈R恒成立,则实数a的取值范围

是

考点二一元二次不等式恒成立问题-2,2]解析当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切∈R恒成立当a≠2时,则 即 解得-2<a<的取值范围是-2,2]角度二形如f≥0f≤0∈确定参数的范围典例4

2019江苏海安高级中学调研已知对于任意的∈-∞,1∪5,∞,都

有2-2a-2a>0,则实数a的取值范围是

1,5]解析设f=2-2a-2a因为对于任意的∈-∞,1∪5,∞,都有f=2-2a-2a>0,所以Δ<0或 解得1<a<4或4≤a≤5,即1<a≤5角度三形如f≥0f≤0参数m∈确定的范围典例5求使不等式2a-69-3a>0,|a|≤1恒成立的的取值范围解析将原不等式整理为形式上是关于a的不等式-3a2-69>0令fa=-3a2-69,-1≤a≤a>0在|a|≤1时恒成立,所以①若=3,则fa=0,不符合题意,舍去②若≠3,则由一次函数的单调性,可得 即 解得<2或>4故实数的取值范围为-∞,2∪4,∞名师点评形如f≥0f≤0恒成立问题的求解思路1∈R的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解2∈的不等式确定参数的范围时,①根据函数的单调性求其最值,让最

值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;②数形结合,利用二次函数在

端点a,b处的取值特点确定不等式,求参数的取值范围3已知参数m∈的不等式确定的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁

的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数▶提醒

解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数= 的定义域为R,则m的取值范围是

解析

y= 的定义域为R,即m2-1-mm≥0对任意∈R恒成立,则 解得m≥ =∈,f<-m5恒成立,求m的取值范围解析要使f<-m5在∈上恒成立令g=m  m-6,∈上是增函数,所以gma=g3⇒7m-6<0,所以m< ,所以0<m< ;当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g在上是减函数,所以gma=g1⇒m-6<0,所以m<6,所以m<0综上所述,m的取值范围是 

典例61不等式 ≥1的解集为 A-∞,-1]∪∪ C-∞,-1]∪ 

考点三其他不等式的解法D ∪[2,∞2解关于的不等式:|-1|<|5-2|3解关于的不等式:3<|2-3|<5D解析1由题意得 -1≥0,所以 ≥0,所以 ≥0,所以 解得-1≤< 或≥2,所以不等式的解集为∪[2,∞2由原不等式得-12<5-22,∴-12-5-22<0,∴-2-4>0,∴<2或>4,∴原不等式的解集是{|<2或>4}3原不等式的解集是{|-1<<0或3<<4}名师点评1去绝对值的方法1分类讨论通过绝对值的定义;2数形结合通过绝对值的几何意义;3平方去绝对值2分式不等式的解法解分式不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法将分式不等式转化

为整式不等式或不等式组来解决3高次不等式的解法高次不等式通常是化为不等式组或用列表法或用数轴标根法求解1不等式 <1的解集是 A-3,-2∪0,∞

B-∞,-3∪-2,0C-3,0

D-∞,-3∪0,∞A解析

不等式 <1等价于 >0,等价于32>0,如图,把32=0的各个根排列在数轴上,

用穿根法求得不等式的解集为-3,-2∪0,∞的不等式:|-2||3|>7解析当<-3时,原不等式变成--2-3>7,解得<-4当-3≤<2时,原不等式变成--23>7,解集为⌀当≥2时,原不等式变成-23>7,解得>3综上,原不等式的解集是-∞,-4∪3,∞微专题——转化与化归思想在不等式中的应用

典例

2020福清模考已知一元二次不等式a2bc>0的解集为{|2<<5},

则不等式c2ba>0的解集为A 

B C D 

学科素养

·

提升

B解析一元二次不等式a2bc>0的解集为{|2<<5},所以a<0,且2,5是一元二次方程a2bc=0的两个实数根,所以- =25=7, =2×5=10,所以b=-7a,c=10a,且a<0,所以不等式c2ba>0化为10a2-7aa>0,即102-71<0,解得 << 因此不等式的解集为 故选B

本例利用了转化思想,其思路为1一元二次