第四章数学文化中的数学思维和方法

第四章数学文化中的数学思维和方法第一页，共44页。希腊逻辑传统——三段论亚里士多德三段论：大前提：所有人都是要死的；

小前提：苏格拉底是人；

结论：所以苏格拉底是要死的。第一页第二页，共44页。印度逻辑传统——因明论印度新因明的推理形式。有三个部分（“支”）组成，即：宗（论题目）、因（理由）、喻（例证）。宗：此处有热；因：由于有火的缘故；喻：有火的地方都有热。宗：苏格拉底是要死的。

因：人故。

同喻：有某个人是要死的，如张三。

异喻：不死的都不是人。

第二页第三页，共44页。中国逻辑传统——推类推类例1：关关雎鸠，在河之州。窈窕淑女，君子好逑。（《诗经》）推类例2：“绘事后素”是孔子在《论语·八佾》中说的一句话：子夏问曰：“‘巧笑倩兮，美目盼兮，素以为绚兮。’何谓也？”子曰：“绘事后素。”曰：“礼后乎？”子曰：“起予者商也！始可与言《诗》已矣。”第三页第四页，共44页。中国逻辑传统——推类推类例3：论语·述而》载:“子曰:‘不愤不启,不悱不发。举一隅而不以三隅反,则不复也’。”推类例4：《周易·说卦》有:“乾为天,为圆,为君,为父,为玉,为金,为寒,为冰,为大赤,为良马,为老马,为瘠马,为驳马,为木果。”《周易·说卦》有“坤为地,为母,为臣,为釜,为吝啬,为均,为子母牛,为大兴,为文,为众,为柄,其于地也为黑。”第四页第五页，共44页。中国逻辑传统——推类推类例5：墨经《小取》:(1)白马,马也;乘白马,乘马也;获,人也;爱获,爱人也。(2)白马,马也;乘白马,乘马也;盗人,人也;爱盗,爱人也。推类例6：《唐律疏议》对“举重以明轻”的解释：“依《贼盗律》：夜无故入人家，主人登时杀之，勿论。假有折伤，灼然不坐”。推类——依照类的同、异关系进行的推论被称为“推类”第五页第六页，共44页。第四章数学文化中的思维与方法※演绎推理

※归纳推理

※类比推理

※统计推理第六页第七页，共44页。演绎推理★推理模式:

一般特殊★世界上第一个演绎体系

——欧几里得《几何原本》

●柏拉图——

“理念世界”

▲亚里斯多德——

“三段论”第七页第八页，共44页。演绎推理★公理化思想对人类思维的影响

爱因斯坦：一切科学的伟大目标，即要从尽可能少的假说或者公理出发，通过逻辑的演绎，概括尽可能多的经验事实。

欧几里得的《几何原本》、牛顿的《自然哲学的数学原理》、马克思的《资本论》、杰文斯的《政治经济学原理》、瓦尔拉斯的《纯粹经济学要义》、斯宾诺沙的《论理学》、洛克的《人类理性论》、贝可莱的《人类知识原理》、休谟的《人性论》和《人类的理解研究》、边沁的《道德与立法原理理论》、穆勒的《人性分析》等。第八页第九页，共44页。演绎推理★公理化思想对人类思维的影响西尔伯特：“的确，不管在哪个领域，对于任何严正的研究精神来说，公理化方法都是并且始终是一个合适的不可或缺的助手；它在逻辑上是无懈可击的，同时也是富有成果的；因此它保证了研究的完全自由。在这个意义上，用公理化进行研究就等于用已掌握了的东西进行思考。早年没有公理化方法的时候，人们只能素朴地把某些关系作为信条来遵守，公理化的研究方法则可去掉这种素朴性而使信仰得到利益》”第九页第十页，共44页。《几何原本》的公理体系五个公设：1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。

2.线段(有限直线)可以任意地延长。

3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。

4.凡是直角都相等(角公理)。

5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个直角，则两直线作延长时在此侧会相交。第十页第十一页，共44页。《几何原本》的公理体系五个公理：1.跟同一个量相等的两个量相等；即若a=c且b=c，则a=b（等量代换公理）。2.等量加等量，其和相等；即若a=b且c=d，则a+c=b+d（等量加法公理）。3.等量减等量，其差相等；即若a=b且c=d，则a-c=b-d（等量减法公理）。4.完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。5.全量大於分量，即a+b>a（全量大於分量公理）。第十一页第十二页，共44页。《自然科学的数学原理》的公理化展开模式8个定义：物质的量，运动的量，物体固有的力，外力，向心力，向心力的绝对度量，问心力的加速度，问心力的运动度量。公理（3条）：1°牛顿第一定律：每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使改变那个状态。2°牛顿第二定律：运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。3°牛顿第三定律：每一种作用都有一个相等的反作用，或者两个物体间的相互作用总是相等的而且指向相反。第十二页第十三页，共44页。六个基本定理：l．力的平行四边形法则：二力共同作用于一物体时，此物体沿二力组成的平行四边形的对角线运动；运动所需的时间与它分别受到这两个力作用时沿平行四边形两边运动的时间相同。2．力的三角形法则：沿AD的力可由沿AB的力与沿BD的力合成；同样沿AD的力也可分解为两个任意的沿AB的力与沿BD的力。3．运动（动量）守恒，即在物体互相碰撞时，各方向运动（动量）的总和不变。第十三页第十四页，共44页。4．二物体或多物体体系的公共重心，在无外力作用时，保持静止或匀速直线运动，而不以体系内的物体的作用而改变其状态。5．当某空间静止或匀速直线运动时，该空间内所有物体的运动不受影响。6．不管物体之间以任何方式运动，如果有相等的加速力以平行的方向对之发生作用，则物体之间仍继续以相同的方式运动着，就像没有受到这个力的作用一样。全书共88个定理。第十四页第十五页，共44页。★公理化思想对人类思维的影响《独立宣言》

美国1776年

▲在人类历史事件的进程中，当一个民族必须解除其与另一个民族之间迄今所存在着的政治联系，而在世界列国之中取得“自然法则”和“自然神明”所规定给他们的独立与平等的地位时，就有一种真诚的尊重人类公意的心理，要求他们一定要把那些迫使他们不得已而独立的原因宣布出来。

第十五页第十六页，共44页。《独立宣言》

美国1776年▲我们坚信这些不言而喻的真理：人人生而平等，他们都从他们的“造物主”那里被赋予了某些不可转让的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。为了保障这些权利，所以才在人们中间成立政府。而政府的正当权利，系得自被统治者的同意。如果遇有任何一种形式的政府变成是损害这些目的的，那么，人民就有权利来改变它或废除它，以建立新的政府。这新的政府，必须是建立在这样的原则的基础上，并且是按照这样的方式来组织它的权力机关，庶几就人民看来那是能够促进他们的安全和幸福的。第十六页第十七页，共44页。《独立宣言》的公理化展开模式公理：人人生而平等：生命权、自由权和追求幸福的权利。定理：（1）为了保障这些权利，人民才组织成立政府，政府由人民同意后、取得正当的权利。（2）任何政府一旦损害这些权利，人们就有权改换它或废除它，建立新政府。（3）新政府所根据的原则及其组织权力的方式，务必使人民认为，唯有这样才最有可能保障他们的安全与幸福。第十七页第十八页，共44页。儒家文化的公理化模式

——三纲五常君为臣纲──君臣义父为子纲──父子亲夫为妻纲──夫妻顺【仁】──亲也。对人宽厚有爱心【义】──事之宜也。为人正派，爱憎分明【礼】──理也。待人彬彬有礼，行为端庄【智】──智慧也。处事果断周密【信】──诚信也。做人诚实稳重讲信誉第十八页第十九页，共44页。逻辑推理的力量

◎有这样一个故事，国王有三个聪明的大臣，国王想知道他们三个人中谁更聪明。有一天，国王拿来三顶小白帽和两顶小黑帽，让大臣们看过之后闭上眼睛，国王给他们每个人都戴了一顶小帽，待大臣们睁开眼睛后，国王要三个大臣猜自己戴的是黑帽子，还是白帽子？当国王第一次问大臣们时，无人回答；当第二次寻问时，还是没人回答，但当国王刚要第三次寻问时，三个大臣却异口同声地答道：“我戴的是白色的帽子。”你明白其中的道理吗？第十九页第二十页，共44页。逻辑推理的力量

◎人类对“无穷”的认识

★在我国战国时期的《庄子·天下篇》中有这样一句著名的话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

★伽利略：“部分=整体”

1491625……12345…n…n2第二十页第二十一页，共44页。◎人类对“无穷”的认识

★康托儿：自然数的个数=有理数的个数线段上的点的个数=直线上的点的个数

=平面上的点的个数=宇宙中的点的个数1/12/13/14/15/16/1…1/22/23/24/25/26/2…1/32/33/34/35/36/3…1/42/43/44/45/46/4…1/52/53/54/55/56/5…1/62/63/64/65/66/6……………………第二十一页第二十二页，共44页。逻辑推理的困惑——数学悖论☆毕达哥拉斯悖论：√2不能用整数来表示☆芝诺悖论：阿基里斯（善跑的神）追不上乌龟☆罗素悖论：“宇宙不存在”：

若U=宇宙=｛物质｝，则U∈U？集合悖论：若U=｛AA∈A｝，U∈U？理发师悖论：约定：理发师只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子；问，理发师该不该给自己刮胡子？第二十二页第二十三页，共44页。逻辑推理的困惑——数学悖论☆歌德尔的不完备性定理歌德尔第一定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定的命题；即存在F中的命题S，使得S和非S都不是在F中可证的。歌德尔第二定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。第二十三页第二十四页，共44页。逻辑与操作●在12个颜色与大小都一样的乒乓球中有且只有一个次品，用一架没有砝码的天平，至少秤几次才能将那个不合格的乒乓球找出来？●老虎过河

一天，有三对虎母子要通过一条河流，条件是：①有一只船，每次最多只能坐两只老虎（不论大小）；②每一只老虎均会划船；③只要小老虎不在妈妈身边时，就回被身边其它的虎妈妈吃掉。

问，这三对老虎如何利用这条船，才能安全地渡过这条河？第二十四页第二十五页，共44页。归纳推理★推理模式:

特殊一般★归纳推理的特点：

合情性猜测性超越性第二十五页第二十六页，共44页。归纳推理归纳法的分类：

不完全归纳法猜想归纳法完全归纳法真理

数学归纳法证明第二十六页第二十七页，共44页。归纳的魅力●已知12=3×41122=33×34111222=333×334

………………●已知

37×3=11137×6=22237×9=33337×12=444

…以上两例，你能延续下去吗？第二十七页第二十八页，共44页。归纳的魅力●已知

1=1………3+5=8………7+9+11=27………13+15+17+19=64………21+23+25+27+29=125………

……………………你能写出第6个，第7个等式吗？一般式呢？1323334353第二十八页第二十九页，共44页。哥德巴赫猜想☆起源

德国数学家哥德巴赫在1742年6月7日致大数学家欧拉的信中说：“看起来至少好像每个大于5的奇数是三个素数的和。”欧拉在当年6月30日的回信中说：“虽然我不能证明，但我肯定每个大于2的偶数是两个素数之和。”——哥德巴赫猜想。

第二十九页第三十页，共44页。哥德巴赫猜想☆发现过程

4=2+26=3+38=3+510=3+7=5+5

……………由此可以推测：任何一个大于2的偶数都等于两个素数之和

第三十页第三十一页，共44页。哥德巴赫猜想☆证明历程1920年挪威数学家布朗证明了（9+9）；1924年德国数学家拉德马哈尔证明了（7+7）；1932年英国数学家麦斯特曼证明了（6+6）；1938年前苏联数学家布赫斯塔勃证明了（5+5），1940年又证明了（4+4）；1956年前苏联数学家维诺格拉托夫证明了（3+3）；（陈景润挑战的对象）1957年中国数学家王元证明了（2+3）；1948年匈亚利数学家兰恩依证明了（1+6）；1962年中国数学家潘承洞证明了（1+5），后又与王元共同证明了（1+4）；1965年布赫斯塔勃，维诺格拉托夫与意大利的庞皮艾黎都证明了（1+3）；1966年中国数学家陈景润证明了（1+2）。

第三十一页第三十二页，共44页。“和”=“积”2个数2+2=2×23个数

1+2+3=1×2×34个数？+1+2+4=？×1×2×45个数？+？+1+2+5=？×？×1×2×5

……………………n个数呢？结论：若n个自然数的和等于它们的积，则这n个自然数只能是（1，1，…，2，n）第三十二页第三十三页，共44页。倒霉的费马数费马数：★费马素数：

=3，=5，=17，=257，

=65537★1732年欧拉证明：=641×6700417★1880年路加（法）证明：=274177×67280421310721★1971年莫利逊，1981年勃兰特分别证明了与是合数，1980年与1984年开勒分别证明了与是合数。★现在，仍不能确定，，是否为素数。★推测：费马素数只有上述五个。

FnF0F1F2F3F4F5F6F7F8F9448F23471F22F24F28第三十三页第三十四页，共44页。数学黑洞●任意写出一个自然数N，并按照下列规则进行变换：

①如果N是一个奇数，则下一步将其变为3N+1；②如果N是一个偶数，则下一步将其变为N/2。结果：不论你写出多么大的自然数，最后必然会落到谷底1，或者说落如底部的4—2—1循环，而永远跳不出这个小圈子。

雅号：冰雹猜想，角谷猜想，西方宝树闻说道/西方宝树唤婆娑/上结着/长生果。

——《红楼梦·