小学等分数的理解困难的原因分析

小学等分数的理解困难的原因分析

分数是小学数学课的重点内容。等分是关系知识体系中一个重要而困难的概念（pearn，检测器，2003）。等值分数的一般形式为a/b=c/d(b,d≠0),它是学习分数加减运算、分数比较以及比例推理等知识的基础。国外文献中屡屡提到等值分数给学校教学造成了很大的障碍,许多学生甚至一些老师在等值分数的概念理解上都存在困难(Mitchell&Horne,2010;Nunes&Bryant,2008)。例如,国外一项调查发现,有60%的四年级学生和51%的六年级学生认为10/12是5/6的2倍(Mcnamara&Shaughnessy,2010)。尽管这些六年级儿童已经学习了分数的基本性质,即分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数,分数的大小保持不变,但他们遇到这种问题时,并不能灵活地运用已有知识进行判断,说明并没有真正掌握等值分数的概念。我国学生的数学成绩尽管比国外同龄儿童要好,但同样不能很好地理解这一概念。国内研究者(刘春晖,辛自强,2010;苏洪雨,2007)发现,五年级以上的小学生对等值分数运算规则的掌握较为熟练,而对其概念的理解较为生疏。可见,等值分数概念理解的问题值得研究。在过去三十多年里,国外学者在这方面的研究主要集中在等值分数的概念结构、运算思维、语义分析等方面。本文拟梳理有关文献,以明确取得的成果以及今后的研究方向。1通过系数分布的中心上的等价分数,主要有以下几种等值分数是表示具有相等值的分数(Chapin&Johnson,2006),例如1/2=2/4。分数的等值有两重涵义:一是表示两个量相等,比如一个饼的1/2和它的2/4一样多;二是表示两个量之间具有确定的比较关系,比如一份橙汁和两份水混合与两份橙汁和四份水混合后产生同样的味道。在代数中,等值分数的分子除以分母后会得到同样的小数,我们可以通过将给定分数的分子和分母乘以(或除以)同一个不为0的数来得到它的等值分数;在几何中,等值分数表示数字线上相同的点,可以通过扩大或缩小分数单位来得到给定分数的等值分数。分数的分子分母之间是除或比的形式,研究者一般认为除法是特殊形式的乘法,因而采用“乘法关系”(multiplicativerelationship)一词来指代分子分母之间的比较关系(Behr,Wachsmuth,Post,&Lesh,1984)。等值分数建立在分子和分母之间的乘法关系不变性的前提上。每个分数属于一个等值集(equivalentclass),该等值集中包含无限个分数(Vamvakoussi&Vosniadou,2004),它是由一个唯一性的乘法等式y=mx所产生的,其中m为某一特定分数值,x=1/1,2/2,3/3,……,例如,分数1/2的等值集可以表示成{1/2,2/4,3/6,4/8,……}。Behr等人(Behr,Harel,Post,&Lesh,1992)通过等值分数的形式给出了有理数和分数的清晰准确的数学定义:有理数是由无限个等值集构成的一个无穷大商域,这些等值集的元素就是分数。他们进一步指出等值分数可以作为测量儿童有理数概念的方法。等值是分数知识体系中的一个基础性概念,对于促进分数知识的掌握非常重要(Kieren,1993;詹婉华,吕玉琴,2004)。在分数教学中,等值分数对学习通分、约分、分数加减法和分数比较具有重要意义,也是后面学习比例关系、概率、函数的基础。许多学科以及日常生活的问题解决都经常用到等值分数的概念,例如地图的比例尺、物理中的速度、化学中的物质分解与化合、几何中的相似问题、生活中的单位换算等。2孩子们对平等比率概念的理解2.1等价分数的概念儿童一般从小学五年级开始正式学习等值分数,但在这之前已经具有了它的非正式知识(Spinino,2002)。Wong(2010)采用“分数理解的评价问卷”(Wong,2009),对六所小学的649名三至六年级学生施测,运用因素分析的方法,得出儿童在理解等值分数概念时技能和知识的发展路径,将其概括为四个水平。水平1:能够识别简单面积模型表示的1/2的量,例如认识长方形和圆形的一半;水平2:能够识别简单面积模型表示的分数值,例如将一个圆平分成8份,取其中的3份,表示分数3/8;水平3:(1)能够通过分割一个面积模型来表示一个分数。例如,给儿童呈现一个长方形,让儿童表示出2/8。(2)能够使用等值形式来表示一个分数,例如一个长方形平分成8份,让儿童表示出3/4。(3)能够识别图形表示的等值分数,例如一个正方形平分成16份取其中4份,与平分成4份取其中1份,表示同样的值;水平4:能够识别大于等于1的等值分数。例如,一个长方形四等分并全部涂黑,儿童能够识别4/4,并给它命名不同的名称。Cathcart等人(Cathcart,Pothier,Vance,&Bezuk,2006)提出,对等值分数的理解包括认识概念和运算程序之间的关联,以及将数学原理应用到不同的情境中。Wong(2010)总结了掌握等值分数概念的学生拥有一套综合性的知识,并能够明确表达下面的五个特征:(1)一个分数代表被某个参照单位所测量的量;(2)一个分数量能够通过分割面积、集合或数字线模型来表示。(3)等值分数能够通过重新分割、组块的实物操作或图片表达方式来构建。(4)等值分数能使用符号来构建。(5)一个分数值是某个等值集中的一员,在该等值集中所有的分数代表同样的值。2.2网络等关于等级的讨论得到体现研究表明,不论国内还是国外的儿童,在学习等值分数概念时都表现出明显的困难(Mitchell&Horne,2010;Nunes&Bryant,2008;刘春晖,辛自强,2010;苏洪雨,2007)。他们对概念的理解往往是机械性的,即只知道要将分子、分母同时乘以或除以同一个数,却不了解等值分数中隐含着分割、单位量转换以及单位分数等概念(Columba,1989)。儿童在解决等值分数任务时主要表现出三种错误策略:整数偏向(wholenumberbias)、差值比较(gapthinking)、加法策略。整数偏向是指在分数比较任务中,只单独比较分子、分母或是通过其他的整数策略进行比较(Ni,2005)。儿童经常运用三种整数策略:(1)根据分母大小做比较,例如1/3<1/4,因为3<4;(2)根据分子大小做比较,例如4/13<9/13,因为4<9;(3)分别比较两个分数的分子和分母,例如3/5<6/10,因为3<6,而且5<10(Pearn&Stephens,2004)。在判断等值分数时,由于儿童把分数的分子和分母视为两个单独的自然数,因而错误地认为2/4是1/2是两倍(Mitchell&Horne,2010)。差值比较有两种表现,一是通过比较每个分数的分子和分母之差,确定两个分数的比较结果,例如有学生认为3/5比5/8大,因为3和5相差2,5和8相差3;二是将每个分数与整体1相比,以此确定比较结果,例如认为2/3>3/5,因为与单位1相比,2/3还差1份,3/5差2份。Clarke和Roche(2009)发现,当比较5/6和7/8的大小时,29%的六年级儿童认为两个分数是等值的,因为它们都还差一份就凑成一个整体1,而Mitchell和Horne(2010)的研究中有半数的六年级儿童犯了同样的错误。加法策略是儿童在最初接触等值分数时,经常表现出的一种错误策略。由于先前接受大量的加法思维训练,儿童习惯于这种思维方式,对于等值分数也常常采用加法性解释(Behr,Lesh,Post,&Silver,1983)。例如认为3/4=7/8,因为3+4=7,4+4=8。等值分数有符号题、图表题和文字题三种类型(Lesh,Cramer,Doerr,Post,&Zawojewski,2003)。对于符号题,儿童只要记住相应的运算法则,就可以熟练解决此类问题;对于图表题和文字题,则需要根据题目情境确定四个量之间的关系,以建立恰当的等值分数式,解决这类问题以对概念的理解为基础。儿童在后两类任务上经常出错,主要表现为不能正确识别等值分数问题,滥用等值分数来解决非等值分数问题,或不能厘清题目中数量对应关系而建立错误的等值分数式(VanDooren,DeBock,Vleugels,&Verschaffel,2011)。3等价分数的运算思维对于等值分数概念难以理解的原因,学者们从不同的角度进行研究,归纳起来,主要有两个因素:一是个体思维发展水平的制约,未获得等值分数的运算思维(operativethinking)是儿童不能理解其概念的根本原因(Kamii&Clark,1995;Sophian,2007);二是等值分数的语义多样性,缺乏对等值分数的不同语义的认识也是不能掌握其概念的重要原因(Ni,2001)。下面分别对这两个原因进行具体阐述。3.1动态运算思维新皮亚杰学派的代表人物Kamii等人(Kamii&Clark,1995)立足于皮亚杰的认知发展理论(Piaget&Inhelder,1975),提出等值分数的运算思维包括两个相关方面:乘法思维(multiplicativethinking)和守恒观念(conservationconcept)。这是获得等值分数概念的必要前提。3.1.1建立等价分数式的思维乘法思维指表征某种情境的数量之间存在恒定的乘法关系,它是理解等值分数概念的关键成分(Smith,Solomon,&Carey,2005)。等值分数内部关系的本质是乘法关系,只有具有乘法思维,才能识别并表征这种关系。儿童从入学起,最先接受的是加法思维的教学训练,而乘法思维与加法思维有显著的不同。我们可以通过等级结构图来描述。从图1(a)中可以看到,重复的加法,例如3+3+3+3是依次进行的,包含的是同一个水平上的思维;而乘法思维,例如4×3,包含两个等级水平上的思维,需要同时考虑“一个3,两个3,三个3,四个3”,而不是相继的考虑“3+3=6,6+3=9,9+3=12”,同样对于等值分数中包含的乘法思维,我们也可以用等级结构图来表示,以1/4=3/12为例,如图1(b)。在建立等值分数式时,首先需要确认变量间是否是乘法关系。但在实际解题中,很多学生只是背过等值分数的形式和运算程序,遇到表面结构类似的题目就生搬硬套。研究者曾让师范生解两道题目(VanDooren,DeBock,Hessels,Janssens,&Verschaffel,2005)。第一道是“跑圈”问题:Sue和Julie在跑道上跑得同样快。Sue先出发的,当她跑了9圈,Julie跑了3圈。当Julie跑完15圈,Sue跑了多少圈?结果有三分之二的学生错误地建立等值分数式:9/3=x/15,x=45。他们没有意识到两人跑的圈数之间是加法关系。另一道是货币兑换问题:3美元能兑换成2英镑,那么21美元能兑换成多少英镑?所有的学生都能运用等值分数的算法正确解决这个问题,因为货币兑换关系是乘法关系。但是没有学生能够解释清楚这两个问题的本质差异。一些研究发现,学前期甚至更小的儿童已经具有了直觉性的乘法思维(Brannon,2002;McCrink&Wynn,2007;Xu&Spelke,2000),但小学低年级的数学教学过多训练和使用了加法思维,这在一定程度上阻碍了儿童乘法思维的自然发展。很多儿童在初学等值分数时,依然习惯性地运用加法思维来解题,从而导致出错。Steffe(1994)总结已有研究结论,得出儿童需要多年的正式学习才能完全掌握乘法思维。3.1.2量的坚守kraft理解等值分数的另一个必要条件是获得守恒的概念。所谓守恒,是指物体某方面的特征(如重量或体积),不因其另一方面的特征(如形状)改变而改变。按照性质的不同,我们把守恒分为两类:量的守恒和关系守恒。前者包括整体守恒、面积守恒等,是指在变化前后,物体的量保持不变;后者指在变化前后,事物间的比例关系保持不变。不同守恒观念的发展具有不平衡性。量的守恒是在具体运算阶段(7~11岁)获得的,而比例守恒要到抽象运算阶段(11岁以后)才能达到(Goswami,2004)。量的守恒包括不同难度的等值分数问题。同构的图形任务较为简单,Singer-Freeman和Goswami(2001)发现,两个相同的匹萨按同样的方式分割,其中一个平分成4份,另一个平分成8份,则儿童很容易知觉到2/8的匹萨与1/4的匹萨一样大。而非同构的图形任务较难,例如将两个相同的长方形按不同的方式分割,一个沿对称轴等分为两个小长方形,另一个沿对角线等分为两个小三角形,要求儿童判断小长方形和小三角形的相对大小,虽然从外形上,小三角形可能看起来比小长方形更大,但守恒观念使我们意识到它们都是原先整体的一半,因而一样大;而未获得守恒观念的儿童比较的是脱离原先整体的单个长方形和三角形,往往会得到“三角形更大”的错误结论(Kamii&Clark,1995)。比例守恒是指两个量之间的比例关系保持不变,比如概率、浓度、比例尺问题,通常不能借助知觉来解决,因而对概念理解的要求更高。Boyer等人发现,年龄较小的儿童进行等值判断时,只关注比例的一个维度,而不能同时考虑两个维度(Boyer,Levine,&Huttenlocher,2008)。他们采用橙汁任务,考查对象是学前班至小学四年级儿童。结果发现,三年级以下儿童大多只关注橙汁的绝对量,到小学三年级以上,大多数儿童才能够同时考虑橙汁和水两个部分来做出正确选择。3.2等分的重要性3.2.1等价分数的概念语义(semanticmeanings)是指使用自然语言解释数学概念在某种使用情境下的特殊含义(Biehler,2005)。学者们一致同意,造成分数复杂性的主要原因之一是分数的多重语义内涵(Brousseau,Brousseau,&Warfield,2004;Kieren,1993)。Kieren(1976)通过对小学数学教材分析、教学观察和学生作业分析,提出分数概念中包含着五种具有内在关联的子意义:部分-整体关系、比、商、测量和算子。这已经得到学者们的广泛认可(Behr,Harel,Post,&Lesh,1992)。在分数的不同子意义下,等值具有特定的涵义,并对应着不同的表征模型。在部分-整体关系中,等值指在选取相同基准量的情境下,虽然分的份数不同,但两个分数所代表的量是相等的,常采用面积和集合来表示,其中分数单位的大小和多少之间具有补偿关系。在测量意义中,等值指选取不同的分数单位,但测得的值相等,常采用数字线来表示。在比意义中,等值指两个量之间具有恒定的比关系。在商的意义下,等值指两个除法运算的结果相等。在算子意义中,等值表示两个量之间具有确定的转换关系。Post等人(Post,Wachsmuth,Lesh,&Behr,1985)指出,儿童获得等值分数概念的重要标志之一是能够在一个表征模型内部进行弹性转换,以及在不同的表征模型间进行弹性转换。Wong和Evans(2007)也提出,儿童必须认识到不同语义之间的一致性和差异性,并在这些语义之间建立联系,才能够正确理解和运用等值分数的概念。在教学中,如果过于强调某一种语义,可能会妨碍儿童对其他语义的理解。Mcnamara和Shaughnessy(2010)对比过两种教学方式。Chu老师习惯用面积或集合来表示分数,并通过演示分蛋糕来进行等值分数教学,在她的课堂上,大部分五年级学生能够通过乘以或除以n/n的方式得到等值分数,但具体到应用题情境中,不少学生却仍然认为一个匹萨的4/16比它的2/8大,说明他们的头脑中并没有把等值分数看作是同一个值。而Dunn老师在教学时增加了数字线模型,让学生能够直观的认识到等值分数在数字线上位于相同的位置,表示同样的值。相比而言,Dunn老师教的学生成绩更好,对等值分数意义的理解也更充分。3.2.2基于不同的背景意义Vergnaud(2009)的概念域理论(conceptfieldtheory)与Kieren的观点相类似。Vergnaud认为,每一类数学问题的解决,往往都需要一系列紧密相关的数学概念和程序。这样一组关联了多种概念和程序的问题情景就称为一个概念域。数学概念从各种各样的情境中获得它们的意义,这些情境的分析和处理需要多种不同但又相互联系的概念、运算程序和符号表征。具体到等值分数的概念,儿童不仅要学习其定义,更要基于不同的背景意义来理解这一概念。面积、集合和数字线是分数教学中常用的材料,它们强调了分数意义的特定方面。面积或集合模型突出了分数的部分-整体关系,面积表示连续量,而集合表示离散量。在面积表达中个体更容易识别两个分数的等值,因为可以借助知觉线索来做出判断;在集合情境下识别等值分数需要理解两个比的等值,因为必须忽略事物数量的增减而知觉这种等值关系(English&Halford,1995)。数字线强调了分数的测量意义,识别该背景下的等值分数需要认识有理数的密度和顺序(Pearn&Stephens,2007)。比和算子意义下的等值分数问题主要是应用题,在解此类题时,需要首先明确已知量、未知量、以及事物之间的转换关系,再建立合适的等值分数式。Ni(2001)以五、六年级的小学生为被试,考查语义如何制约等值分数概念的理解,测验材料是表示部分-整体意义的面积和集合图形以及表示测量意义的数字线图形。结果表明,被试在面积项目上表现最好,在集合项目上表现较差,在数字线项目上表现最差。五年级学生在这两个语义领域上的表现都较差;六年级学生在部分-整体意义项目上的表现比五年级显著要好,但在测量意义的项目上没有提高。Ni认为学生在测验中的表现模式反映了儿童从一个语义领域到另一个语义领域相继的建立等值分数概念,从运算与实物具有明显联系的语义领域发展到联系不明显的语义领域。随着儿童接触到越来越不同的内容和表征方式,他们的等值概念脱离特殊化,变得越来越抽象和正式。4返回和期待4.1在教学中继续教基于上述分析,可以得知等值分数概念具有复杂的内涵,对儿童的理解造成一定的困难。对于其难以理解的原因,研究者进行多年的探讨,得出两个主要的影响因素:个体的运算思维水平和等值分数的语义多样性。在这两个方面,学者们已经取得了一定的系统化结果,需要从更为具体的层面推进下一步的研究。第一,需进一步探讨从先天性乘法思维到正式概念之间的明确路径。关于乘法思维的发展,大量研究表明学前儿童甚至婴儿就具有了直觉性乘法思维。这些研究中既有在连续量条件下观测到儿童对比例关系的敏感(Jeong,Levine,&Huttenlocher,2007;Spinillo&Bryant,1991),也有在离散量条件下发现儿童具有数量缩放能力(Barth,Baron,Spelke,&Carey,2009;McCrink&Wynn,2007)。一些研究者认为,对物理量乘法转换的先天直觉能够支持后面的分数学习(Steffe,1994;Moss&Case,1999),但儿童在实际学习中仍然存在较大困难,这说明物理量的直觉推理到有理数的正式推理之间存在明显的概念差距。有研究者认为,小学数学课程是先进行加法教学,使得儿童在小学初期接受了过多的加法思维训练,而没有获得发展乘法思维的机会,阻碍后面乘法思维的学习(McCrink&Spelke,2010),但在这方面尚未开展严格的实验研究。对此,我们可以通过不同教法的对比实验,来探讨等值分数教学的更有效途径。具体来说,可以尝试开展等值分数的早期教学。学校一般是在五年级才进行等值分数教学,但一年级儿童已经具有了乘法思维的萌芽和简单的守恒观念,因而可以从小学低年级入手,在个体的非正式知识基础上逐步推进对正式概念的学习。这与维果斯基的最近发展区观点是一致的,即了解到学生的实际发展水平和潜在发展水平,并据此寻找其最近发展区,把握“教学最佳期”以引导学生向着潜在的、最高的水平发展(Vygotsky,1978)。将非正式知识和教学结合起来,这将是小学数学课程的一个核心和有挑战性的部分。目前,国外已经开展了这方面的教学实践。美国公共广播电视网(PBS)和IEXCEL学习网都为幼儿园到初中各年级的孩子提供了内容丰富的学习平台,在等值分数主题上,一年级通过图形来获得简单分数的非正式知识,二年级识别1/2、1/3、1/4的图形等值形式,三年级认识分数数字线和学习分数的符号形式,四年级学习等值分数的符号形式。第二,在今后的研究中,有必要对不同语义背景下的结论进行区分,即分别在部分-整体、测量、比、商、算子的语义背景下探讨儿童的概念发展水平。以往研究者在考查儿童的等值分数概念发展时,由于采用不同意义的实验材料,往往得到不一致的结论。有的研究者采用部分-整体意义的面积图形,发现幼儿就能够做出正确判断(S