2021年上半年国家教师资格考试数学学科知识与教学能力真题卷(初中)

2021年上半年国家教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学）注意事项：1．考试时间为120分钟，满分为150分。2．请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1． 单选题在空间直角坐标系下，直线x－23＝y－114＝z＋11A．相交且垂直 B．相交不垂直C．平行 D．直线在平面上2． 使得函数f（x）＝一致连续的x取值范围是（）。A．（0．1） B．（0．1]C．∪ D．（－∞，＋∞）3． 方程x4－3x3＋6x－4＝0的整数解的个数是（）。A．0 B．1C．2 D．34． 设函数y＝f（x）在x0的自变量的该变量为△x，相应的函数改变量为△y，0（△x）表示△x的高阶无穷小。若函数y＝f（x）在x0可微，则下列表述不正确的是（）。A．△y＝f′（x0）dx B．dy＝f′（x0）dxC．△y＝f′（x0）△x＋0（△x） D．△y＝dy＋0（△x）5． 抛掷两粒正方体骰子（每个面上的点数分别为1，2，…，6），假定每个面朝上的可能性相同，观察向上的点数，则点数之和等于5的概率为（）。A． B．C． D．6． 对于mxn矩阵A，存在nxs矩阵B（B≠0）使得AB＝0成立的充要条件是矩阵A的秩rank（A）满足（）。A．rank（A）＜n B．rank（A）≤nC．rank（A）＜n D．rank（A）≥n7． 一个五边形与其经过位似变换后的对应图形之间不满足下列关系的是（）。A．对应线段成比例B．对应点连线共点C．对应角不相等D．面积的比等于对应线段的比的平方8． 试题“设时，T的值”。主要考查学生的（）。A．空间观念 B．运算能力C．数据分析观念 D．应用意识二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9． 已知平面上一椭圆，长半轴长为a，短半轴长为b，0<b<a，求该椭圆绕着长轴旋转一周所得到的旋转体的体积。10．设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（min）的概率密度为fx(x)＝12e－x2，x>00，其他。用变量Y表示顾客对银行服务质量的评价值若顾客等待时间不超过5（min），则评价值为求X的分布函数。求Y的分布律。11．已知方程组a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2请回答下列问题：行列式②的几何意义是什么？上述结论的几何意义是什么？12．某教师在引领学生探“圆周角定理”时，首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；进一步寻找证明猜想的思路并进行严格的证明；最后，教师又通过几何软件对两类角的大小关系进行验证。从推理的角度，请谈谈你对教师这样处理的看法。13．数学课堂教学过程中，为了鼓励学生独立思考，深入理解问题，教师常常在呈现任务后，不是立刻讲解，而是留给学生足够的思考时间，这种教学方式可称之为“课堂留白”请你谈谈课堂留白的必要性及其意义。三、解答题（10分）14．已知非齐次线性方程组xa为何值时，其对应齐次线性方程组解空间的维数为2？对于（1）中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解。四、论述题（15分）15．数学运算能力是中学数学教学需要培养的基本能力。学生的数学运算能力具体表现为哪些方面？请以整式运算为例予以说明。五、案例分析题（20分）16．（材料）“三角形的内角和定理”的教学案例片段。教师请学生回忆小学学过的三角形内角和是多少度？并让学生用提前准备好的三角形纸片进行剪拼并演示。下面是部分学生演示的图形（如图1、2）：在图1中，三角形的三个内角拼在一起后，B、C、D在一条直线上，看似构成一个平角教师质疑，看上去是平角就是平角了吗？学生的回答是“不一定”。接着，教师利用图1启发学生思考：①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直线上(即组成平角)，可以换个角度，先构造一个平角，引导学生结合图1思考如何作辅助线构造平角。学生想到了作BC的延长线BD，如图3所示。②图1中，∠1与∠A是什么关系？启发学生在∠ACD内作∠1＝∠A，或过点C作CE∥AB，如图4所示。③现在只要证明什么？(证明∠2=∠B)问题：（1）该教师让学生回忆井用拼图的方法感知三角形的内角和，请简述其教学意图。（2）利用图2设计问题串，使得这些问题能够引导学生发现三角形的内角和定理的证法。（3）请再给出其他2种三角形纸片的拼法，并画图表示。

六、教学设计题（30分）17．（材料）平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）是初中乘法公式的内容之一。某教师教学时，将引导学生归纳猜想平方差公式作为教学过程的环节之一，设计思路如下：假定b＝1。问题简化为a2－1＝？当a＝2，22－1＝3＝（2＋1）（2－1）①当a＝3，32－1＝8＝（3＋1）（3－1）②当a＝4，42－1＝15＝（4＋1）（4－1）③观察上面式子：猜想：a2－12＝（a＋1）（a－1）。取b＝2，3，4，…，仿照上面，猜测等式左右两边的数之间的关系，进而猜想一般规律：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。（证明过程略）问题：教学设计简述该教师该环节的教学设计意图；教学设计简述平方差公式在初中数学中的地位；教学设计请给出平方差公式的教学目标，并设计教学流程；教学设计请通过图示给出平方差公式的几何背景。数学学科知识与教学能力（初级中学）一、单选题1． 【答案】D【解析】本题考查空间直线与平面的位置关系。由题可知，直线的方向向量为n＝（3，4，1），平面的法向量为m＝（3，－2，－1）。因为n∙m＝3×3＋4×（－2）＋1×（－1）＝设直线方程为，x－23代入平面方程中，可得直线在平面上。故正确答案为D。2． 【答案】C【解析】本题考查闭区间上连续函数的性质。根据一致连续性定理，如果函数在闭区间[a，b]上连续，那么它在该区间上一致连续。可知，使得函数f（x）＝一致连续的x的取值范围[－1，－1故正确答案为C。3． 【答案】C【解析】本题考查高次方程的整数解。对x4－3x3＋6x－4＝0两边同时除以x2得。整理x2所以(x－2解得x＝±2或x＝1或x＝2。所以方程的整数解有故正确答案为C。4． 【答案】A【解析】本题考查微分的概念。根据微分的定义可得：dy＝f′（x0）dx。函数的增量△y＝dy＋0（△x）＝f′（x0）△x＋0（△x）可知A选项错误。故正确答案为A。5． 【答案】A【解析】本题考查事件的概率。设第一次抛掷的骰子点数为：x，第二次的为y，用（x，y）表示抛掷两次的结故正确答案为B。6． 【答案】A【解析】本题考查矩阵的运算。必要性，有条件可设B＝（B1，B2，…，Bs）则AB＝A（B1，B2，…，Bs）＝（AB1，AB2，…，ABs）由题意可知B为非零向量，故B1，B2，…，Bs中至少有一个非零向量。若AB＝0，则ABj＝0（j＝1，2，…，s）因此A＝0有非零解，故r（A）＜n充分性；若r（A）＜n则方程组Ax＝0有非零解，设非零解B1，B2，…，Bs即ABj＝0（j＝1，2，…，s）令B＝（B1，B2，…，Bs）则AB＝0（B≠0）。故正确答案为A。7． 【答案】C【解析】本题考查位似图形的性质。两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）。位似图形面积的比等于相似比的平方。位似图形对应点连线的交点是位似中心，位似图形对应线段的比等于相似比。位似图形高、周长的比都等于相似比。位似图形的对应角都相等。故正确答案为C。8． 【答案】B【解析】本题考查数学教学论的基本概念。本题可以先利用平方差公式、完全平方公式和因式分解等将原式进行化简后，代入X取值，整个过程均是对运算能力的考查。B项正确。故正确答案为B。二、简答题9． 【参考答案】本题考查旋转体的体积计算。由题意知，无论长轴在x轴或y轴旋转体的体积不变；不妨设长轴在x轴上，将椭圆绕x轴旋转一周，所得的旋转体的体积为V=20a10．【参考答案】（1）当时，，则X的分布函数，当时，，则X的分布函数，综上所述，X的分布函数。（2），则，所以Y的分布律为。11．【参考答案】（1）由解析几何知：a11x+a12y+a13z=b1是空间内的一个平面π1，而a11，a12，a13是平面π1的法向量，a21（2）π1与π2两平面相交的充要条件a11：Ranka11a12Ranka11a12a1312．【参考答案】推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。在初中数学中经常使用的两种推理是：合情推理和演绎推理。合情推理是学生经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，这位老师引领学生探究“圆周角定理”时，首先进行画图、测量等探究活动，获得对圆周角和圆心角大小关系的猜想；就是应用了合情推理。合情推理融合了学生的各种思维和活动在中，对于培养学生的学习兴趣，开发学生的智力，培养学生的创新能力都是非常重要的。演绎推理是从已有的实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论。该老师在学生给出猜想后，引导学生进一步寻找证明猜想的思路并进行严格的证明；并通过几何软件对两类角的大小关系进行验证。应用演绎推理体现是数学的严谨性。两种方式相辅相成，更有利于学生掌握“圆周角定理”。13．【参考答案】课堂的精彩不仅要关注教师讲的多么精彩，更加关注学生学得多么主动，教师一个人讲解的课堂不是精彩的课堂，只有当学生通过自己的主动活动去建构自己对知识的理解，从而展现自己的精彩时，这样的课堂提精彩的，因为课堂留白是十分有必要的。“课堂留白”的意义：①课堂留白可以激发学生的求知欲和潜能；课堂中给学生留下活动的时间、思维的空间，使学生有所探索、有所思考，可放飞学生的思维。学生在开动学生的脑筋、利用所学知识解决留白问题的同时顺利进行知识迁移、主动融合和构建知识体系，容易激发学生的学习兴趣、提高教学效率。②课堂留白能留给学生独立思考的机会，有利于发挥学生的主体意识。合理运用教学留白，给学生留下独立思考的时间，让学生积极参与，自主体验，真正成为学习的主人。③课堂留白可以促进学生的个性发展。④课堂留白激发学生的想象力，培养学生的创造力。在教学中给学生留下更多的空间，正如画家留白的道理一样，可以让学生有足够的空间去充分地想想，可以自由自在地展开联想或创造。三、解答题。14．【参考答案】（1）根据题意可知，齐次线性方程组的解空间维数为2，即基础解系中含有的向量的个数为2，根据基础解系中含有的向量的个数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩，即，所以，所以，解得。（2）由（1）知，，所以增广矩阵B=(A,b)=，得到，所以基础解系为：令，则，得；令，则，得；特解为：令，则，所以该非齐次线性方程组的通解为四、论述题15．【参考答案】运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。数学运算能力具体表现为以下几个方面：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。例如：进行整式算式的运算，首先要观察整式的特点，出现高次幂，首先想到因式分解，运用平方差公式逆过程和立方差公式，注意在此公式运用过程中，要掌握公式蕴涵的算理，a和b可以代表任意的代数式。所以，进而得到最后的运算结果。五、案例分析题16．【参考答案】（1）从已有的知识经验出发，遵循学生的认知规律，利用实物拼图的方式引导学生通过动手实践建立知识联系，体现学生的主体性。这样的设计符合课程标准的基本要求，注重了知识的“生长点”，把本节课的知识置于整体知识的体系中，处理好了局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学知识整体性。（2）问题1：有同学把三角形的两个底角撕下来拼到顶角上，你发现了什么？问题2：我们发现这样可以把三角形的三个内角凑到一起，可以凑成看似是一个平角。怎么确定他就是一个平角呢？问题3：根据图1，想一想如何作辅助线构造平角呢？问题4：作出辅助线后，我们根据平行线的性质，你有什么发现？（3）证明方法一：如图，过BC的中点D作DF//AC，DE//AB，这时∠A=∠4，又∠4=∠2，即∠A=∠2，由∠C=∠3，∠B=∠1知，我们将∠A、∠B、∠C转移到了∠BDC，由平角的定义，可以证到三角形的内角和180°证明方法二：如图，过点A作EF∥BC可以得到∠1＝∠B，∠2＝∠C。那么，我们就可以将∠B、∠C拼到∠A一起，形成一个平角，从而得到结论。

六、教学设计题17．【参考答案】（1）教师本着以“教师主导，学生为主”的理念，在教学之初从简单到复杂，从特殊到一般得出平方差公式。在此之后，引导学生进行猜想，组织验证。这样的教学设计使得学生不仅得到数学结论，还感受数学结论的形成过程及蕴涵的数学思想方法。同时学生归纳概括得出猜想和规律并加以验证可以培养学生的创新意识。（2）平方差公式是在多项式乘法基础上学习的，是接下来学习因式分解等内容的基础性，起到承上启下的作用。在学习过程，学生经历从特殊到一般的探究过程，得到平方差公式，利用数形结合理解平方差公式，有助于学生获得基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验，达到良好的学习效果。（3）教学目标：知识与技能目标：学生知道平方差公式，理解平方差公式的推导过程，能够正确的运用平方差公式解决问题。过程与方法目标：学生通过自主探究和小组讨论的学习过程，提高发现问题的能力，推理能力，体会特殊到一般的数学思想。情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，激发学习兴趣，提高数学学习自信心，体会数学的重要价值。教学过程：一、复习导入教师活动：教师运用多媒体展示一系列问题。接着引导学生认真观察和思考，提出问题：PPT上的多项式乘积结果为多少？学生活动：就教师的提问展开独立思考或讨论得出结论。教师活动：根据学生得出的回答，教师