2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练11空间几何体的表面积与体积-小题备考

强化训练11空间几何体的表面积与体积——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·山东临沂一模]已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为()A．3π B．eq\f(\r(3)π,3)C．eq\r(3)π D．2π2．[2022·山东潍坊一模]以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为()A．2π B．8πC．eq\f(2π,3) D．eq\f(8π,3)3．在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝2，AC＝2eq\r(3)，则三棱锥P­ABC外接球的体积等于()A．eq\f(20\r(3),3)π B．eq\f(20,3)πC．eq\f(20\r(5),3)π D．20π4．[2022·湖北黄冈中学模拟]已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为()A．3π B．6πC．6eq\r(2)π D．3eq\r(2)π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为()A．eq\r(6)π B．2πC．3π D．2eq\r(2)π6．[2022·河北唐山二模]如图，圆锥的轴为PO，其底面直径和高均为2，过PO的中点O1作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为()A．2∶1 B．5∶3C．3∶1 D．8∶37．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E为BC上一点，则三棱锥B1­AC1E的体积为()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)8．[2022·山东济宁三模]若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为()A．2∶1 B．3∶2C．7∶3 D．7∶4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两空间图形的说法正确的是()A.侧面积之比为1∶4B．侧面积之比为1∶8C．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶2610．[2022·湖北武汉模拟]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是()A．圆柱的侧面积为4πR2B．圆锥的侧面积为2πR2C．圆柱的侧面积与球的表面积相等D．球的体积是圆锥体积的两倍11．我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则关于半球的说法正确的是()A．半径是3B．体积为18πC．表面积为27πD．表面积为18π12．[2022·山东滨州二模]在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥P­AEF，如图2所示，则下列结论中正确的是()A．PA⊥EFB．三棱锥M­AEF的体积为4C．三棱锥P­AEF外接球的表面积为24πD．过点M的平面截三棱锥P­AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2022·山东济南一模]已知圆锥的轴截面是一个顶角为eq\f(2π,3)，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为________．14．[2022·广东惠州一模]若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为4π，圆台上、下底面圆的半径分别为r1，r2(r1<r2)，则req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝________．15．一个正四棱锥的高为7，底面边长为10，若正四棱锥的五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为________．16．[2022·山东烟台三模]某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为________．强化训练11空间几何体的表面积与体积1．解析：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l＝2，则l2＝r2＋h2＝4，底面周长2πr＝eq\f(1,2)×（2π×2）⇒r＝1，所以h＝eq\r(4－12)＝eq\r(3)，所以圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).答案：B2．解析：以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是以2为底面圆半径，高为2的圆柱，由圆柱的体积公式得：V＝π×22×2＝8π，所以所得到的几何体的体积为8π.答案：B3．解析：PA⊥平面ABC，AB⊥AC，因此以AP，AB，AC为棱构造一个长方体，此长方体的外接球即为三棱锥P­ABC的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，由已知长方体对角线长为eq\r(22＋22＋（2\r(3)）2)＝2eq\r(5)，所以外接球半径为R＝eq\r(5)，外接球体积为V＝eq\f(4,3)π·（eq\r(5)）3＝eq\f(20\r(5),3)π.答案：C4．解析：由题意知圆台母线长为eq\r(12＋（2－1）2)＝eq\r(2)，且上底面圆周为2π，下底面圆周为4π，圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，则圆环所在的大圆半径为2eq\r(2)，所以侧面展开图的面积S＝eq\f(1,2)×4π×2eq\r(2)－eq\f(1,2)×2π×eq\r(2)＝3eq\r(2)π.答案：D5．解析：如图，四面体BDMN是正四面体，棱长BD＝2，将其补形成正方体GBCD­MENF，则正方体GBCD­MENF的棱长GB＝eq\f(\r(2),2)BD＝eq\r(2)，此正方体的体对角线长为eq\r(6)，正四面体BDMN与正方体GBCD­MENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径R＝eq\f(\r(6),2)，所以正四面体BDMN的外接球体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·（eq\f(\r(6),2)）3＝eq\r(6)π.答案：A6．解析：圆锥的体积为V1＝eq\f(1,3)π×12×2＝eq\f(2π,3)，圆柱的体积为V2＝π×（eq\f(1,2)）2×1＝eq\f(π,4)，所以V1∶V2＝eq\f(2π,3)∶eq\f(π,4)＝8∶3.答案：D7．解析：由ABCD­A1B1C1D1为正方体，显然AB为A到平面EB1C1的距离，所以VB1­AC1E＝VA­EB1C1＝eq\f(1,3)S△EB1C1·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：D8．解析：如图：O1，O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D为AB的中点，设正六棱柱的底面边长为2，若正六棱柱有内切球，则OO1＝O1D＝eq\r(3)，即内切球的半径r＝eq\r(3)，OA2＝OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2＝7，即外接球的半径R＝eq\r(7)，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为4πR2∶4πr2＝R2∶r2＝7∶3.答案：C9．解析：依题意知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.答案：BD10．解析：对于A，∵圆柱的底面直径和高都等于2R，∴圆柱的侧面积S1＝2πR·2R＝4πR2故A正确；对于B，∵圆锥的底面直径和高等于2R，∴圆锥的侧面积为S2＝πR·eq\r(R2＋4R2)＝eq\r(5)πR2，故B错误；对于C，∵圆柱的侧面积为S1＝4πR2，球的表面积S3＝4πR2，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，球的体积为V1＝eq\f(4,3)πR3，圆锥的体积为V2＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．答案：ACD11．解析：如图，△PAC是正四棱锥的对角面，设球半径为r，AC是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为eq\r(2)r，棱锥体积为V＝eq\f(1,3)×（eq\r(2)r）2×r＝eq\f(2,3)r3＝18，r＝3，半球体积为V＝eq\f(2,3)πr3＝eq\f(2,3)π×33＝18π，表面积为S＝2π×32＋π×32＝27π.答案：ABC12．解析：由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4的长方体，如图所示：对A：因为AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以PA⊥EF，故选项A正确；对B：因为M为BE的中点，所以VM­AEF＝eq\f(1,2)VP­AEF＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×4＝eq\f(4,3)，故选项B错误；对C：三棱锥P­AEF外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径（2R）2＝22＋22＋42＝24，所以三棱锥P­AEF外接球的表面积为S＝4πR2＝24π，故选项C正确；对D：过点M的平面截三棱锥P­AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O的大圆，此时截面圆的面积为πR2＝π（eq\r(6)）2＝6π，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，此时截面圆半径r＝eq\r(R2－OM2)＝eq\r(6－5)＝1，截面圆的面积为πr2＝π，所以过点M的平面截三棱锥P­AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]，故选项D正确．答案：ACD13．解析：因圆锥的轴截面是一个顶角为eq\f(2π,3)，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高h，因此，h＝2coseq\f(π,3)＝1，圆锥底面圆半径r＝eq\r(22－h2)＝eq\r(3)，所以圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×（eq\r(3)）2×1＝π.答案：π14．解析：圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，所以圆台的母线长为eq\f(2πr2,π)－eq\f(2πr1,π)＝2r2－2r1，圆台的侧面积为eq\f(2πr1＋2πr2,2)×（2r2－2r1）＝2π（req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))）＝4π，所以req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝2.答案：215．解析：设该正四棱锥为P­ABCD，由正四棱锥和球的性质可知球的球心在高上，设球心为O，底面中心为E，因为底面是正方形，所以DE＝eq\f(1,2)eq\r(102＋102)＝5eq\r(2)，在直角三角形ODE中，OD2＝OE2＋DE2，设球的半径为r，所以有r2＝（7－r）2＋50⇒r＝eq\f(99,14).答案：eq\f(99,14)16．解析：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为△MNG的中心，因为MN＝6，所以△MNG内切圆的半径r＝OH＝e