2018.9.16长郡澄池杯复赛试题及解析

./2018.9.16长郡澄池杯复赛试题及解析一．选择题〔共6小题1．规定：在平面直角坐标系中,如果点P的坐标为〔m,n,向量可以用点P的坐标表示为：=〔m,n．已知：=〔x1,y1,=〔x2,y2,如果x1•x2+y1•y2=0,那么与互相垂直．下列四组向量,互相垂直的是〔A．=〔3,2,=〔﹣2,3 B．=〔﹣1,1,=〔+1,1C．=〔3,20180,=〔﹣,﹣1 D．=〔,﹣,=〔〔2,42．某篮球队10名队员的年龄结构如表,已知该队队员年龄的中位数为21.5,则众数与方差分别为〔年龄192021222426人数11xy21A．22,3 B．22,4 C．21,3 D．21,43．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0的大致图象如图所示,顶点坐标为〔﹣2,﹣9a,下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a〔x+5〔x﹣1=﹣1有两个根x1和x2,且x1＜x2,则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2x+=0有两个不相等的实数根x1,x2．若+=4m,则m的值是〔A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在5．若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程+=1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是〔A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣186．如图,在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,点C和点M重合,点B、C〔M、N在同一直线上,令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动,至点C与点N重合为止,设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是〔A． B． C． D．二．填空题〔共4小题7．在平面直角坐标系有两点A、B,其坐标为A〔﹣1,﹣1,B〔2,7,点M为x轴上的一个动点,若要使MB﹣MA的值最大,则点M的坐标为．8．折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=．9．在﹣4、﹣2,1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a,b的值,则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为．10．定义：在平面直角坐标系中,一个图形先向右平移a个单位,再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫作图形的γ〔a,θ变换．如图,等边△ABC的边长为1,点A在第一象限,点B与原点O重合,点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ〔1,180°变换后所得的图形．若△ABC经γ〔1,180°变换后得△A1B1C1,△A1B1C1经γ〔2,180°变换后得△A2B2C2,△A2B2C2经γ〔3,180°变换后得△A3B3C3,依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ〔n,180°变换后得△AnBnCn,则点A1的坐标是,点A2018的坐标是．三．解答题〔共3小题11．随着龙虾节的火热举办,某龙虾养殖大户为了发挥技术优势,一次性收购了10000kg小龙虾,计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同,放养10天的总成本为166000,放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg,销售单价为y元/kg,根据往年的行情预测,a与t的函数关系为a=,y与t的函数关系如图所示．〔1设每天的养殖成本为m元,收购成本为n元,求m与n的值；〔2求y与t的函数关系式；〔3如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？〔总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本12．如图,抛物线顶点P〔1,4,与y轴交于点C〔0,3,与x轴交于点A,B．〔1求抛物线的解析式．〔2Q是抛物线上除点P外一点,△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标．〔3若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为D,E．是否存在点M,N使四边形MNED为正方形？如果存在,求正方形MNED的边长；如果不存在,请说明理由．13．如图,在边长为1的正方形ABCD中,动点E、F分别在边AB、CD上,将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B的对应点M始终落在边AD上〔点M不与点A、D重合,点C落在点N处,MN与CD交于点P,设BE=x．〔1当AM=时,求x的值；〔2随着点M在边AD上位置的变化,△PDM的周长是否发生变化？如变化,请说明理由；如不变,请求出该定值；〔3设四边形BEFC的面积为S,求S与x之间的函数表达式,并求出S的最小值．参考答案与试题解析一．选择题〔共6小题1．规定：在平面直角坐标系中,如果点P的坐标为〔m,n,向量可以用点P的坐标表示为：=〔m,n．已知：=〔x1,y1,=〔x2,y2,如果x1•x2+y1•y2=0,那么与互相垂直．下列四组向量,互相垂直的是〔A．=〔3,2,=〔﹣2,3 B．=〔﹣1,1,=〔+1,1C．=〔3,20180,=〔﹣,﹣1 D．=〔,﹣,=〔〔2,4[分析]根据垂直的向量满足的条件判断即可；[解答]解：A、∵3×〔﹣2+2×3=0,∴与垂直,故本选项符合题意；B、∵〔﹣1〔+1+1×1=2≠0,∴与不垂直,故本选项不符合题意；C、∵3×〔﹣+1×〔﹣1=﹣2≠0,∴与不垂直,故本选项不符合题意；D、∵×〔2+〔﹣×4=2≠0,∴与不垂直,故本选项不符合题意,故选：A．[点评]本题考查平面向量、平面向量垂直的条件,解题的关键是理解题意,属于中考常考题型．2．某篮球队10名队员的年龄结构如表,已知该队队员年龄的中位数为21.5,则众数与方差分别为〔年龄192021222426人数11xy21A．22,3 B．22,4 C．21,3 D．21,4[分析]先根据数据的总个数及中位数得出x=3、y=2,再利用众数和方差的定义求解可得．[解答]解：∵共有10个数据,∴x+y=5,又该队队员年龄的中位数为21.5,即,∴x=3、y=2,则这组数据的众数为21,平均数为=22,所以方差为×[〔19﹣222+〔20﹣222+3×〔21﹣222+2×〔22﹣222+2×〔24﹣222+〔26﹣222]=4,故选：D．[点评]本题主要考查中位数、众数、方差,解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值及方差的计算公式．3．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0的大致图象如图所示,顶点坐标为〔﹣2,﹣9a,下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a〔x+5〔x﹣1=﹣1有两个根x1和x2,且x1＜x2,则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[分析]根据二次函数的性质一一判断即可．[解答]解：∵抛物线的顶点坐标〔﹣2,﹣9a,∴﹣=﹣2,=﹣9a,∴b=4a,c=﹣5a,∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a,∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0,故①正确,5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0,故②错误,∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于〔﹣5,0,〔1,0,∴若方程a〔x+5〔x﹣1=﹣1有两个根x1和x2,且x1＜x2,则﹣5＜x1＜x2＜1,正确,故③正确,若方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为﹣8,故④错误,故选：B．[点评]本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．4．已知关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2x+=0有两个不相等的实数根x1,x2．若+=4m,则m的值是〔A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在[分析]先由二次项系数非零及根的判别式△＞0,得出关于m的不等式组,解之得出m的取值围,再根据根与系数的关系可得出x1+x2=,x1x2=,结合+=4m,即可求出m的值．[解答]解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2x+=0有两个不相等的实数根x1、x2,∴,解得：m＞﹣1且m≠0．∵x1、x2是方程mx2﹣〔m+2x+=0的两个实数根,∴x1+x2=,x1x2=,∵+=4m,∴=4m,∴m=2或﹣1,∵m＞﹣1,∴m=2．故选：A．[点评]本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式,解题的关键是：〔1根据二次项系数非零及根的判别式△＞0,找出关于m的不等式组；〔2牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．5．若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程+=1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是〔A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18[分析]根据不等式的解集,可得a的围,根据方程的解,可得a的值,根据有理数的加法,可得答案．[解答]解：,解①得x≥﹣3,解②得x≤,不等式组的解集是﹣3≤x≤．∵仅有三个整数解,∴﹣1≤＜0∴﹣8≤a＜﹣3,+=13y﹣a﹣12=y﹣2．∴y=∵y≠2,∴a≠﹣6,又y=有整数解,∴a=﹣8或﹣4,所有满足条件的整数a的值之和是〔﹣8+〔﹣4=﹣12,故选：B．[点评]本题考查了分式方程的解,利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．6．如图,在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,点C和点M重合,点B、C〔M、N在同一直线上,令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动,至点C与点N重合为止,设移动x秒后,矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y,则y与x的大致图象是〔A． B． C． D．[分析]在Rt△PMN中解题,要充分运用好垂直关系和45度角,因为此题也是点的移动问题,可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止,和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况,〔10≤x≤2；〔22＜x≤4；〔34＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法,作出判断即可．[解答]解：∵∠P=90°,PM=PN,∴∠PMN=∠PNM=45°,由题意得：CM=x,分三种情况：①当0≤x≤2时,如图1,边CD与PM交于点E,∵∠PMN=45°,∴△MEC是等腰直角三角形,此时矩形ABCD与△PMN重叠部分是△EMC,∴y=S△EMC=CM•CE=；故选项B和D不正确；②如图2,当D在边PN上时,过P作PF⊥MN于F,交AD于G,∵∠N=45°,CD=2,∴CN=CD=2,∴CM=6﹣2=4,即此时x=4,当2＜x≤4时,如图3,矩形ABCD与△PMN重叠部分是四边形EMCD,过E作EF⊥MN于F,∴EF=MF=2,∴ED=CF=x﹣2,∴y=S梯形EMCD=CD•〔DE+CM==2x﹣2；③当4＜x≤6时,如图4,矩形ABCD与△PMN重叠部分是五边形EMCGF,过E作EH⊥MN于H,∴EH=MH=2,DE=CH=x﹣2,∵MN=6,CM=x,∴CG=CN=6﹣x,∴DF=DG=2﹣〔6﹣x=x﹣4,∴y=S梯形EMCD﹣S△FDG=﹣=×2×〔x﹣2+x﹣=﹣+6x﹣10,故选项A正确；故选：A．[点评]此题是动点问题的函数图象,有难度,主要考查等腰直角三角形的性质和矩形的性质的应用、动点运动问题的路程表示,注意运用数形结合和分类讨论思想的应用．二．填空题〔共4小题7．在平面直角坐标系有两点A、B,其坐标为A〔﹣1,﹣1,B〔2,7,点M为x轴上的一个动点,若要使MB﹣MA的值最大,则点M的坐标为．[分析]要使得MB﹣MA的值最大,只需取其中一点关于x轴的对称点,与另一点连成直线,然后求该直线x轴交点即为所求．[解答]解：取点B关于x轴的对称点B′,则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．设直线AB′解析式为：y=kx+b把点A〔﹣1,﹣1B′〔2,﹣7代入解得∴直线AB′为：y=﹣2x﹣3,当y=0时,x=﹣∴M坐标为〔﹣,0故答案为：〔﹣,0[点评]本题考查轴对称﹣最短路线问题、坐标与图象变换,解答本题的关键是明确题意,利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．8．折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=3+2．[分析]设AD=x,则AB=x+2,利用折叠的性质得DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,则可判断四边形AEFD为正方形,所以AE=AD=x,再根据折叠的性质得DH=DC=x+2,则AH=AE﹣HE=x﹣1,然后根据勾股定理得到x2+〔x﹣12=〔x+22,再解方程求出x即可．[解答]解：设AD=x,则AB=x+2,∵把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,∴DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°,∴四边形AEFD为正方形,∴AE=AD=x,∵把△CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC边上,∴DH=DC=x+2,∵HE=1,∴AH=AE﹣HE=x﹣1,在Rt△ADH中,∵AD2+AH2=DH2,∴x2+〔x﹣12=〔x+22,整理得x2﹣6x﹣3=0,解得x1=3+2,x2=3﹣2〔舍去,即AD的长为3+2．故答案为3+2．[点评]本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．9．在﹣4、﹣2,1、2四个数中、随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a,b的值,则该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率为．[分析]画树状图展示所有12种等可能的结果数,根据二次函数的性质,找出满足a＞0,b＜0的结果数,然后根据概率公式求解．[解答]解：画树状图为：共有12种等可能的结果数,满足a＞0,b＜0的结果数为4,但a=1,b=﹣2和a=2,b=﹣2时,抛物线不过第四象限,所以满足该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的结果数为2,所以该二次函数图象恰好经过第一、二、四象限的概率==．故答案为．[点评]本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了二次函数的性质．10．定义：在平面直角坐标系中,一个图形先向右平移a个单位,再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫作图形的γ〔a,θ变换．如图,等边△ABC的边长为1,点A在第一象限,点B与原点O重合,点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ〔1,180°变换后所得的图形．若△ABC经γ〔1,180°变换后得△A1B1C1,△A1B1C1经γ〔2,180°变换后得△A2B2C2,△A2B2C2经γ〔3,180°变换后得△A3B3C3,依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ〔n,180°变换后得△AnBnCn,则点A1的坐标是〔﹣,﹣,点A2018的坐标是〔﹣,．[分析]分析图形的γ〔a,θ变换的定义可知：对图形γ〔n,180°变换,就是先进行向右平移n个单位变换,再进行关于原点作中心对称变换．向右平移n个单位变换就是横坐标加n,纵坐标不变,关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数．写出几次变换后的坐标可以发现其中规律．[解答]解：根据图形的γ〔a,θ变换的定义可知：对图形γ〔n,180°变换,就是先进行向右平移n个单位变换,再进行关于原点作中心对称变换．△ABC经γ〔1,180°变换后得△A1B1C1,A1坐标〔﹣,﹣△A1B1C1经γ〔2,180°变换后得△A2B2C2,A2坐标〔﹣,△A2B2C2经γ〔3,180°变换后得△A3B3C3,A3坐标〔﹣,﹣△A3B3C3经γ〔4,180°变换后得△A4B4C4,A4坐标〔﹣,△A4B4C4经γ〔5,180°变换后得△A5B5C5,A5坐标〔﹣,﹣依此类推……可以发现规律：An纵坐标为：当n是奇数,An横坐标为：﹣当n是偶数,An横横坐标为：﹣当n=2018时,是偶数,A2018横坐标是﹣,纵坐标为故答案为：〔﹣,﹣,〔﹣,．[点评]本题是规律探究题,又是材料阅读理解题,关键是能正确理解图形的γ〔a,θ变换的定义后运用,关键是能发现连续变换后出现的规律,该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律,需要分别来研究．三．解答题〔共3小题11．随着龙虾节的火热举办,某龙虾养殖大户为了发挥技术优势,一次性收购了10000kg小龙虾,计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同,放养10天的总成本为166000,放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg,销售单价为y元/kg,根据往年的行情预测,a与t的函数关系为a=,y与t的函数关系如图所示．〔1设每天的养殖成本为m元,收购成本为n元,求m与n的值；〔2求y与t的函数关系式；〔3如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？〔总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本[分析]〔1根据题意列出方程组,求出方程组的解得到m与n的值即可；〔2根据图象,分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；〔3根据W=ya﹣mt﹣n,表示出W与t的函数解析式,利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．[解答]解：〔1依题意得,解得：；〔2当0≤t≤20时,设y=k1t+b1,由图象得：,解得：∴y=t+16；当20＜t≤50时,设y=k2t+b2,由图象得：,解得：,∴y=﹣t+32,综上,；〔3W=ya﹣mt﹣n,当0≤t≤20时,W=10000〔t+16﹣600t﹣160000=5400t,∵5400＞0,∴当t=20时,W最大=5400×20=108000,当20＜t≤50时,W=〔﹣t+32〔100t+8000﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20〔t﹣252+108500,∵﹣20＜0,抛物线开口向下,∴当t=25,W最大=108500,∵108500＞108000,∴当t=25时,W取得最大值,该最大值为108500元．[点评]此题考查了二次函数的应用,待定系数法确定函数解析式,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．12．如图,抛物线顶点P〔1,4,与y轴交于点C〔0,3,与x轴交于点A,B．〔1求抛物线的解析式．〔2Q是抛物线上除点P外一点,△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标．〔3若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为D,E．是否存在点M,N使四边形MNED为正方形？如果存在,求正方形MNED的边长；如果不存在,请说明理由．[分析]〔1设出抛物线顶点坐标,把C坐标代入求出即可；〔2由△BCQ与△BCP的面积相等,得到PQ与BC平行,①过P作PQ∥BC,交抛物线于点Q,如图1所示；②设G〔1,2,可得PG=GH=2,过H作直线Q2Q3∥BC,交x轴于点H,分别求出Q的坐标即可；〔3存在点M,N使四边形MNED为正方形,如图2所示,过M作MF∥y轴,过N作NF∥x轴,过N作NH∥y轴,则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形,设M〔x1,y1,N〔x2,y2,设直线MN解析式为y=﹣x+b,与二次函数解析式联立,消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数关系表示出NF2,由△MNF为等腰直角三角形,得到MN2=2NF2,若四边形MNED为正方形,得到NE2=MN2,求出b的值,进而确定出MN的长,即为正方形边长．[解答]解：〔1设y=a〔x﹣12+4〔a≠0,把C〔0,3代入抛物线解析式得：a+4=3,即a=﹣1,则抛物线解析式为y=﹣〔x﹣12+4=﹣x2+2x+3；〔2由B〔3,0,C〔0,3,得到直线BC解析式为y=﹣x+3,∵S△PBC=S△QBC,∴PQ∥BC,①过P作PQ∥BC,交抛物线于点Q,如图1所示,∵P〔1,4,∴直线PQ解析式为y=﹣x+5,联立得：,解得：或,即Q〔2,3；②设G〔1,2,∴PG=GH=2,过H作直线Q2Q3∥BC,交x轴于点H,则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1,联立得：,解得：或,∴Q2〔,,Q3〔,；〔3存在点M,N使四边形MNED为正方形,如图2所示,过M作MF∥y轴,过N作NF∥x轴,过N作NH∥y轴,则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形,设M〔x1,y1,N〔x2,y2,设直线MN解析式为y=﹣x+b,联立得：,消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0,∴NF2=|x1﹣x2|2=〔x1+x22﹣4x1x2=21﹣4b,∵△MNF为等腰直角三角形,∴MN2=2NF2=42﹣8b,∵NH2=〔b﹣32,∴NF2=〔b﹣32,若四边形MNED为正方形,则有NE2=MN2,∴42﹣8b=〔b2﹣6b+9,整理得：b2+10b﹣75=0,解得：b=﹣15或b=5,∵正方形边长为MN=,∴MN=9或．[点评]此题属于二次函数综合题,涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式,根与系数