讲题的四种境界

讲题的四种境界黄金声（江西省临川二中344100）讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题．笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点．什么是“讲题的四种境界”?第一种境界：就题讲题，把题目讲清；（达成目标：一听就能懂）第二种境界：发散题目的多种解（证）法，拓展解题思路，把题目讲透；（达成目标：一点就能透）第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；（达成目标：一时忘不了）第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人（达成目标：一用真有效）“讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释2.1会解题工会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题.讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!一一基础太差了!？学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题？教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?——悟性有问题!?教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题.一一不信教不会（再不会就没救）!?会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理.其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用.讲题前情景①教师认真做题；②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的？做题过程中遇到哪些障碍?③学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受？在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：题1如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分 三角形.

答案很简单：等腰三角形．由此引起了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形?是等腰三角形吗?是不是随便一折都是等腰三角形?于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来．结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形．如图所示：4图1 直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形．如图所示：4图1 图2而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中Za的变化就轻松搞定，即：当45。vav90。时，AABC是锐角三角形；当0。vav45。时，AABC是钝角三角形；当a=45。时，AABC是等腰直角三角形，当a=60。时，AABC是等边三角形.在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗?从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由Za的变化引起的，这又体现了“转化思想”还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等.2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的.这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定.2.2清楚工懂工会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把“分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来.其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界.懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”.其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界.会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力.其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界.题2（2007•常州题2（2007•常州）已知，如图，正方形ABCD的边长为6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD边AB、CD、DA上，AH二2，连接CF.（1）当DG二2时，求△FCG的面积；⑵设DG二x,用含x的代数式表示△FCG的面积;（3）判断△FCG的面积能否等于1,并说明理由.讲题分析第⑴问中“DG二2”寓意于DG二AH，即△HAE仝厶GDH，且ZGHE二90。.又由菱形EFGH可得点F（或CF）此时位于BC边上，由此可知，四边形（菱形）EFGH已特殊化为正方形.所以，△FCG的面积等于△GDH的面积.第（2）问中“DG二x”是让菱形EFGH一般化.由于可推知△FCG中，CG二6-x,所以，作出CG边上的高FM就成为一种必然.由图形的对称性可知，应连接GE，通过证明△HAE仝厶FMC，得FM=AH=2.形是一〉于第（3）问是借助试题中“菱形EFGH的两个顶点E、形是一〉于ABCD边AB、CD上”的限制作用.由第（2）问可知，FM=AH=2,个定值，则x的大小就限制了厶FCG的面积.因为HD>AH，所以HCHB，即①点E不可能与点A重合（x的最小值为0,即HG的最小值等HD）②点G不能与点C重合（即HG的最大值等于HB）.这样通过求出x的值并由此求出HG（或AE）的值就可以正确判断△FCG的面积能否等于1了.讲题反思1第（1）问中证明“四边形（菱形）EFGH为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证AGOH仝△FCG模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍?2第（2）问中“连接GE”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题（或解题）中得到暗示.同时，试题中连接GF有些不流畅.3研究发现：由于点F是随着点G、E的位置变化而变化的，虽然点F到DC的距离FM二AH二2，是一个定值，但点F到AD的距离却在一定范围内发生变化.为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊-一般〜特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形EFGH中点F的位置变化为主线，改编成下题：题3如图，正方形ABCD的边长为6.以直线AB为羽轴、AD为y轴建立坐标系.菱形EFGH的三个顶点H、E、G分别在正方形ABCD边DA、AB、CD上，已知AE=2.（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；设DGx.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；设点F的横坐标为m.问：m有无最大值和最小值?若有，请求出；若无，请直接作否定的判断,不必说明理由.GDDHHEBDBEBGc备用團GDDHHEBDBEBGc备用團图甲图乙(思考：正方形ABCD可以作怎样的改变？将正方形ABCD置换成矩形可以吗？平行四边形呢？梯形呢?)2.3应该有=想有+可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目(难题)无从下手呢?此时学生的心态是怎样的呢?教师面对这种情况又该怎样做呢?想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感.可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要.根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面人手：从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；有时教师的一个手势、一副表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成.应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界．题4 (2006•安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2,则正方形的边长是.讲题分析1利用AB=BC和ZABC=90°两个已知条件，证明RtAAEB9RtABFC，得EB=FC.2利用勾股定理求出正方形的边长AB=v'5.讲题反思1正方形ABCD的顶点D看起来是否“很孤单”如图l，能否求出点D到直线l的距离DC?(DC=3)2正方形ABCD是否“摇摇欲坠”？将图形特殊化：如图2，令AE=CF,且AB=丫5.则AE=CF="°，DF=jT0.23观察、比较上面两题中AE、CF、DG的大小，你发现了什么？(AE+CF=DG)如图3,你能证明这个结论具有一般性吗?作AM丄DG于点M，可证：①四边形AEGM是矩形，则AE=MG:②由△ADM仝厶BCF，可得.AE+CF=DG.4让直线l动起来！2．4讲题的最高境界=授之以法+培之以能+强之以心对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次：正确：内容正确熟练，进度适中贴切，板书工整得当，讲话清晰从容．易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机．独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙．固顶：授之以法，培之以能，强之以心．授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学.培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学.强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学.题7正方形ABCD中，M是边AB上任意一点（不与点B重合），E是AB延长线上一点，连接DM，作MN丄DM，交ZCBE的平分线BN于点N.⑴如图1,当M是AB的中点时，求证：DM二MN；（2）如图2,当M不是AB的中点时，（1）中的结论还成立吗?说明理由.图证法探究①作NF丄AE，证RtADAM9RtAMFN；②在AD上取一点H，满足DH=MB,证RtADAM9R也MBN.逆向思维：若DM二MN，则MN丄DM成立吗?

类比拓展：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立?（类比联想）问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图1,两个全等正三角形的其中一边AC完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）.若ZAMN二60。，则AM二MN.如图2,两个全等正方形的其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）.若ZAMN二90°，则AM二MN.然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图3,两个全等正五边形的其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）.若么ZAMN二108°，则AM二MN.任务要求（1）请你从①、②、③三个命题中任意选择一个进行证明;（2）请你继续完成下面的探索：①如图4,两个全等正n（n三3）边形其中一边CD完全重合，点M是边BC上任意一点（不与点C重合）•问：当么ZAMN等于多少度时，结论AM二CN成立（不要求证明）？②如图5,两个全等正六边形的其中一边CD完全重合，点M是边BC的中点.当ZAMN二120°时,点N是PC的中点吗?说明理由.图5图5（拓展延伸）如图，正方形ABCD与正方形CDEF中，边CD完全重合，连接CE.将直角三角形的直角顶点M在直线BC上滑动(不与点B、C重合)，其中一条直角边始终经过点A，另一条直角边交直线CE于点N，作NP丄BC，交直线BC于