5-4奈魁斯特稳定判据1汇总

第五节奈魁斯特稳定判据9/27/20231

主要内容奈氏稳定判据在波德图上判别系统稳定性稳定裕度奈氏稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。9/27/20232一、奈氏稳定判据N：逆时针包围为正，顺时针包围为负注意：假设含有积分环节v，奈氏曲线需要在ω=0+处逆时针延长到半径为无穷大的v/4的圆，该延长线是本曲线的一局部。9/27/20233[例5-6]开环传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(-1,j0)点的圈数N=0，则闭环系统在s右半平面的个数： 。故闭环系统是稳定的。9/27/20234[例5-7]设开环系统传递函数为：，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。[解]：开环极点为-1，-1j2，都在s左半平面，。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕(-1,j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： ，闭环系统是不稳定的。9/27/20235[例5-8]系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。-[解]：开环系统奈氏图是一个半径为，圆心在的圆。显然，k>=1时，包围(-1,j0)点，k<1时不包围(-1,j0)点。由图中看出：当k>1时，奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点一圈，N=-1，则闭环系统是稳定的。9/27/20236当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0，，所以，闭环系统不稳定。9/27/20237这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当从 时，频率特性曲线在实轴段的正负穿越次数差为。频率特性曲线对(-1,j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当增加时，频率特性从上半s平面穿过负实轴的段到下半s平面，称为频率特性对负实轴的段的正穿越（这时随着的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(-1,j0)点。反之称为负穿越。正穿越负穿越9/27/20238二、在对数坐标图上判断系统的稳定性：开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。2、奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。奈氏图频率特性曲线在上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上的范围内，当增加时，相频特性曲线从下向上穿过-180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。9/27/20239对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下：设开环频率特性在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对-180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：，式中为正负穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z>0，闭环系统不稳定。9/27/202310注意：假设有v个积分环节的系统，那么在∠G(j0+)延长至∠G(j0+)+v×90°处，其延长线也为相频曲线一局部。9/27/202311三、最小相位系统的奈氏判据：开环频率特性在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图（开环频率特性曲线）不包围(-1,j0)点。因为若N=0，且P=0，所以Z=0。奈氏图幅值和相角关系为：当时，当时，式中，分别称为相角、幅值穿越频率上述关系在对数坐标图上的对应关系:当时，当时，9/27/202312当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： 。对于最小相位系统，可以用 和来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。四、稳定裕度[定义]：和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。在对数坐标图上，用表示的分贝值。即9/27/202313显然，当时，即和时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。最小相位系统，和是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。[幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加倍（奈氏图）或增加分贝（波德图），则系统处于临界状态。若增加的倍数大于倍（或分贝），则系统变为不稳定。比如，若增加开环放大系数K，则对数幅频特性曲线将上升，而相角特性曲线不变。可见，开环放大系数太大，容易引起系统的不稳定。[相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率处将相角减小度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。9/27/202314[例]设控制系统如下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。-[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。当k=10时，开环系统波德图如右所示。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.9/27/202315相位裕度和幅值裕度的计算：

相位裕度：先求穿越频率在穿越频率处，，所以，解此方程较困难，可采用近似解法。由于较小（小于2），所以：穿越频率处的相角为：相角裕度为：9/27/202316

幅值裕度：先求相角穿越频率相角穿越频率处的相角为：由三角函数关系得：所以，幅值裕度为：9/27/202317当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。9/27/202318[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-[解]：当k=10时，开环传递函数为：手工绘制波德图步骤：1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至；2、在之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。9/27/202319上图蓝线为原始波德图。，显然闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至，移到哪里？9/27/202320 ，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下移动的分贝数为:所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出，所以设新的开环放大系数为，原始的开环放大系数为k=200，则有 （讨论时较明显）。解得：9/27/202321带有延迟环节系统的相位裕度的求法：设系统的开环传递函数为：，我们知道增加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了。表现在奈氏图和波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。左图中，红色曲线为Gk(s)频率特性，兰色曲线为增加了延迟环节后的频率特性。其幅值和相角穿越频率分别为和，相角裕度分别为。显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性，其相位裕度必须大于零。即：9/2