三角形五心及其性质延伸学习资料中学教育初中教育

OB+SAOC+SBOC,即S=1(a+b+c)r,2222个,但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。同理，POF-cr，同理OB+SAOC+SBOC,即S=1(a+b+c)r,2222个,但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。同理，POF-cr，同理22Sbr，S^BOC=—ar.又TS=SAC所在直线MN、M2距离相等,故得到旁心到三边所在直线距离相ACACDCFA三角形五心及其性质延伸1.内心：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。角平分线性质：到角两边距离相等内心性质：到三角形三边距离相等。延伸：①内角平分线定理如图，如图，ADABC中BAC的平分线，则有ABBD（上左=下左）ACDC上右下右C作BE//AC交其延长线于E,贝UEDAC.又TBE//AC,易证△ADCs△EDB,②外角平分线定理如图，ADABC的外角平分线，交BCABBD延长线于D,则有竺-BD（同上）ACDCC作CE//AB交AD于E,则AECAECEAC,ACAE.又TCE//AB,易证△ADBs△EDC,/-AB③三角形内角平分线长公式EAC,ACCEDC即AGGH2GD,AG::，其他同证.证明过程如下：作BE/（直径所对的圆周角是即AGGH2GD,AG::，其他同证.证明过程如下：作BE/（直径所对的圆周角是90）,AB=c,ADBC（同弧AB所对i在ABM3平分线上，Pi到ABBM距离相等，即Pi到ABB=三-（即面积的2倍除以周长）a+b+c证明过程如下：1i连如图，AD为厶ABC中BAC的平分线，则有^AOC=如有侵权请联系网站删除AD2（或—b+c2C证明过程如下证明过程如下:作BE//AC交其延长线于E,BFAE交其于F。EK又AD+DE=AE,即AD——AE.而厶ABE为等腰三角形，ACDEBEBFAE,b+c二AE2AF2ABsinAAD2（或2b+c④内心到三边距离r（三角形内切圆半径）连接OA,OB,OC.相切，二OFAB，即S^AOB=-AB?OF-cr，同理Sbr，S^BOC=—ar.又TS=SAOB+SAOC+SBOC,即S=1(a+b+c)r,Sa+b+c如有侵权请联系网站删除2.重心：三角形三条中线交等。（Sa+b+c如有侵权请联系网站删除2.重心：三角形三条中线交等。（-某角的正弦值乘以它两请联系网站删除3.外心：三角形三边垂直平分线的交点，三角形外R=c2sinC由于R=C,同理易证R2sinC正弦定理：亠如有侵权请联系网站删除重心性质重心性质：分三角形的中线两段长比例为2:1（长:短）如图:AD,BE,CF为厶ABC三条中线，G为其重心，则有AG:GCBG:GECG:GF2:1C作BH//FC交AD延长线于H,易证△GDC也△HDB,/.GDDH,GH2GD又BH//FG,F为AB中点，二G也为AH中点，即AGGH2GD,如图,AD为厶ABC的中线，则有AD—"7b2+c2+2bccosA2证明过程如下：作BE//AC交AD延长线于E,易证△ADC也△EDB,1二ADDE,即AD二一AE2故EF=ccosAb。vBE//AC,：ABFA。作AFEB交其BF=AtCosABF=ccosA,AF=csinA,即AGGH2GD,AG::，其他同证.证明过程如下：作即AGGH2GD,AG::，其他同证.证明过程如下：作BE/C所在直线MN、M2距离相等,故得到旁心到三边所在直线距离相OF-cr，同理22Sbr，S^BOC=—ar.又TS=SA（直径所对的圆周角是90）,AB=c,ADBC（同弧AB所对K又AD+DE=AE,即AD——AE.而厶ABE为等腰三角形K又AD+DE=AE,即AD——AE.而厶ABE为等腰三角形（直径所对的圆周角是90）,AB=c,ADBC（同弧AB所对OF-cr，同理22Sbr，S^BOC=—ar.又TS=SA内角平分线长公式EAC,二BD,得证。ACCEDC如有侵权请bADACcosAbcosA,BD=cbcosA,如有侵权请联系网站删除外心性质：至外心性质：至U三角形三个顶点距离相等。内心到三顶点距离R（三角形外接圆半径）R=c（某边除以它对角正弦的2倍）2sinC证明过程于下：连接AO并延长交圆0于D,则AD为圆直径,AD=2R.又ABD90（直径所对的圆周角是90）,AB=c,ADBC（同弧AB所对的圆周角相等AD=AB二sinADBc由于R=C,同理易证R正弦定理：亠cb2R（每边除以它所对角的正弦为2R）b2c2a2)证明过程如下:作CDAB交其于D,CDbsinA,又BC2的圆周角相等），AD=延伸①:正弦定理AB二的圆周角相等），AD=延伸①:正弦定理AB二sinADB亠，个,但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。同理，P/FC交AD延长线于H,易证△GDC也△HDB,/.GDDHR=c2sinC由于R=C,同理易证R2sinC正弦定理：亠ABAC所在直线MNi、M2距离相等,如有侵权请联系网站删除4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个,但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。如图，Pi、F2、P3ABC三个旁i到PABAM距离相等，即Pi至U同理，