牛顿的引力定律

牛顿的引力定律

0开普勒引力定律牛顿的强制法是人类识别自然规律的重要结果。强制法是经典力学的重要组成部分，为天然力学奠定了坚实的理论基础。万有引力定律的发现经历了漫长而又曲折的过程.许多科学家如哥白尼、伽利略、笛卡尔、哈雷、虎克等对宇宙进行观测和研究.丹麦天文学家第谷连续二十多年对行星的位置进行了精确测量,积累大量的数据.开普勒继承第谷遗留下的宝贵资料,并通过观测研究,经过长期艰苦的计算,总结出行星绕太阳运动的三条基本定律,为牛顿建立万有引力定律创造了条件.开普勒不仅发现了行星运动三定律,而且力图探求行星运动何以有这些规律,他将磁力引入太阳系的见解是探讨太阳、行星之间存在力的相互作用的一种最早尝试.大约50年后,牛顿在前人引力研究的基础上,运用开普勒三定律和他总结的运动三定律,经历了廿年时间才透彻地解决这一难题,在1687年出版的划时代巨著《自然哲学的数学原理》中他提出了完整的万有引力定律.1为促进法律纠纷的准备条件1.1克氏原则的自然法第一(轨道)定律:各行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上.第二(面积)定律:行星和太阳之间的连线,在相等时间扫过的面积相同.第三(周期)定律:行星绕太阳公转周期T的平方和椭圆轨道半长轴a的立方成正比,即Τ2a3=T2a3=恒量附:开普勒定律所描述的运动是相对日心——恒星参照系而言的.1.2万有引力定律的成正比及其后果其一,一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止.其二,在力的作用下,物体的加速度与所受的合外力成正比,与物体的质量成反比,加速度的方向与合力的方向相同.其三,两个物体间的作用力与反作用力大小相等,方向相反,作用在同一直线上.因此,根据开普勒第一定律和牛顿第一定律得到结论:力是连续不断地作用在行星上.根据开普勒第二定律可以得到:连续不断作用在行星上的力其方向永远指向太阳.运用开普勒第三定律,还可进一步证明:太阳中心的引力与行星到太阳的距离平方成反比,再根据牛顿第三定律可得出万有引力定律.2规则的理由2.1太阳的高斯常把行星的椭圆运动近似看成圆周运动,运用普通物理知识和初等数学工具,从开普勒三定律和牛顿三定律出发推导出万有引力定律.(1)开普勒第一定律表明:各行星按不同的椭圆轨道绕太阳运动,轨道的形状取决于椭圆的偏心率e.太阳系九大行星的偏心率见下表:由表可知:行星的偏心率都很小,可近似认为两焦点重合e=o,太阳位于圆心上,因此行星的运动看成是圆周运动.根据开普勒第二定律:在dt时间内行星相对太阳的径矢所扫过的扇形BOC面积dA对dt的微商是常量,即dAdt=C2(CdAdt=C2(C是常量)dAdt=ddt(12(r⋅rθ))=12r2ω=12rv=C2v=Cr(1)dAdt=ddt(12(r⋅rθ))=12r2ω=12rv=C2v=Cr(1)因而行星绕太阳运动是匀速圆周运动.(2)设任意一行星绕太阳作圆周运动,太阳是轨道的圆心,行星质量为m,线速度为v,半径为r,公转周期为T,受到太阳的作用力F,其加速度为av=2πrΤ(2)v=2πrT(2)根据牛顿第二定律:行星受的力即为圆周运动的向心力.F=ma=mv2r=m4π2rΤ2(3)F=ma=mv2r=m4π2rT2(3)根据开普勒第三定律:Τ2a3=Τ2r3=C1T2a3=T2r3=C1恒量(对任意绕太阳运动的行星都适用)将T2=C1r3代入(3)式得F=4π2C1⋅mr2F=4π2C1⋅mr2令k=4π2C1k=4π2C1得F=k⋅mr2(4)F=k⋅mr2(4)此式表明:太阳作用在行星上的力与行星到太阳的距离的平方成反比,和行星的质量成正比.式中K与行星无关的常量,仅与太阳的性质有关,称为“太阳的高斯常量”.(3)又行星绕太阳运动时,受到太阳对其作用力F,由力的相互作用可知,太阳必受到行星对它的反作用力F′.由牛顿第三定律应有:F=F′或F=-F′由运动相对性可知,以行星不动,太阳绕行星转动,仿照前面的推导可得到F´=Κ´Μr2(Μ为太阳的质量K′为行星的高斯常量)故有Κmr2=Κ´Μr2ΚΜ=Κ´m=常量对其它各行星均有:行星的高斯常量该行星的质量=G(万有引力常量)ΚΜ=GΚ=GΜ代入(4)式得F=GΜmr2(5)2.2重1p2a的a根据理论力学的知识,运用高等数学和解析几何知识,精确地由开普勒定律导出万有引力定律.(1)开普勒第二定律另一种表述形式:r×v=恒矢量m(r×v)=r×(mv)=恒矢量=J(角动量)(m为行星质量)dJdt=0(6)表明:行星受到有心力的作用,太阳就是有心力的力心,故行星在有心力作用下运动,且太阳、行星在同一平面内,由开普勒第一定律可知,行星沿椭圆轨道运动.又由单位时间内,径矢扫过的面积相等dAdt=常量(A有径矢扫过的面积)P1,P2为行星沿着它的轨道运动时两相邻瞬间的位置,且对太阳的张角为△θ,自P1沿轨道运动到P2所需时间为△t,故有A=S△OP1P2当△t→0时P2→P1,△A近似地等于OP1P2′的面积,S△ΟΡ1Ρ2´=12r2⋅△θdAdt=lim△t→0△A△t=lim△t→012r2△θ△t=12r2˙θdAdt=12r2˙θ=常量(7)(2)根据开普勒行星轨道定律,把太阳、行星都视为质点,运用解析几何知识r=p1+ecosθ(0<e<1)式中r为径矢长,p为半正焦弦,e为偏心率,θ为极角,且p=b2a=a(1-e2)行星绕太阳的运动遵循轨道微分方程:F(r)=-mC2u2(d2udθ2+u)(其中r2˙θ=C,u=1r=1+ecosθp)(8)dudθ=ddθ(1r)=ddθ(1+epcosθ)=-epsinθd2udθ2=ddθ(-epsinθ)=-epcosθ代入(8)式得:F=-mC2u21p=-C2p⋅mr2(9)又由开普勒面积定律得dAdt=12r2˙θ=C2常量椭圆面积为πab,行星公转周期为TdAdt=πabΤ=C2C=2πabΤ半正焦弦p=a(1-e2)=b2a将C、p式子代入(9)式F=-mC2p⋅1r2=-4π2a2b2Τ2⋅ab2⋅mr2=-4π2a3Τ2⋅mr2令μ=4πa3Τ2得:F=-μmr2(10)其中μ与行星无关,而与太阳的性质有关的常量,称为“太阳的高斯常量”该式表明:行星运行所受到引力的大小与行星到太阳的距离平方成反比,与行星的质量成正比,方向指向太阳.(3)太阳与行星之间的作用是相互的,行星对太阳的作用力为F′,由运动的相对性,可推导出F′=-μ′Μr2(Μ是太阳的质量,μ′是行星的高斯常量)由牛顿第三定律得:F=-F′,或F=F′μmr2=μ′Μr2μΜ=μ′m=G(万有引力常量)将μ=GM代入F=-μmr2得:F=-GΜmr2(其中负号表示为引力)(11)2.3万有引力定律的数学描述上述两种推导得出的结论只涉及到行星与太阳之间,现在将其推广到其它各行星之间以及地球与地面上各物体之间.同理,地球吸引某星或某物m′F′=G′Μ地m′r2(G′为地球的高斯常量)若令m′=M太,即地球吸引另一物体是太阳,代入上式得,地球与太阳之间引力F′=G′Μ地Μ太r2该式与(11)式F=F′=GΜ太Μ地r2比较得G′=G对其它物体也可进行类似的讨论,同理得出G=G′=G′′=G′′′=…即对于所有相互吸引的物体,G是相同的,即G是普适常量,称为“万有引力常量”.综合上述,万有引力定律数学表达式为:F=GΜmr2(12)3万有引力定律万有引力定律的发现对于天文学的发展有很大的推动作用.牛顿还曾利用它正确解释潮汐现象.人们应用这一定律去认识前所未知的太阳系成员.在1846年发现了海王星,在1930年又发现了冥王星,还以它和开普勒定律为基础,研究天体运动的规律,确定行星的质量和轨道,计算行星、慧星、卫星的位置,在星际航行方面起着重要的作用.牛顿的万有引力定律同任何一个物理理论一样都