数学（理）一轮针对训练 第5章 数列 第4课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一、选择题1．(2013·辽阳质检)已知数列{an｝的前n项和Sn＝an2＋bn（a、b∈R)，且S25＝100,则a12＋a14等于（）A．16 B．8C．4 D．不确定解析：选B。由数列｛an｝的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R),可得数列｛an｝是等差数列,S25＝eq\f(a1＋a25·25，2)＝100，解得a1＋a25＝8，所以a12＋a14＝a1＋a25＝8.2．数列1eq\f（1,2），3eq\f（1，4），5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…,（2n－1）＋eq\f(1，2n），…的前n项和Sn的值为()A．n2＋1－eq\f（1，2n） B．2n2－n＋1－eq\f(1，2n）C．n2＋1－eq\f(1,2n－1） D．n2－n＋1－eq\f（1,2n)解析：选A。该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋eq\f(1，2n)，则Sn＝［1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(eq\f(1,2)＋eq\f（1，22)＋…＋eq\f（1,2n)）＝n2＋1－eq\f（1，2n).故选A。3．已知数列{an｝的通项公式an＝log2eq\f(n＋1，n＋2)(n∈N＋）,设{an}的前n项和为Sn，则使Sn＜－5成立的自然数n()A．有最大值63 B．有最小值63C．有最大值31 D．有最小值31解析：选B.Sn＝a1＋a2＋…＋an＝log2eq\f（2，3)＋log2eq\f（3,4）＋…＋log2eq\f（n＋1，n＋2）＝log2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2,3)×\f（3，4）×…×\f(n＋1,n＋2)）)＝log2eq\f（2，n＋2)＜－5，∴eq\f（2，n＋2）＜2－5，∴n＋2＞26，∴n＞62。又n∈N＋，∴n有最小值63.4．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f（1,fn)）)（n∈N＋)的前n项和是（）A.eq\f(n，n＋1） B.eq\f(n＋2，n＋1)C。eq\f（n,n－1） D.eq\f（n＋1,n)解析：选A。易知f（x）＝x2＋x，则eq\f（1,fn)＝eq\f(1，n2＋n）＝eq\f（1,nn＋1)＝eq\f（1，n）－eq\f(1，n＋1),所以数列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（\f（1,fn))）的前n项和Sn＝eq\f(1，1)－eq\f（1,2）＋eq\f（1,2)－eq\f（1,3)＋…＋eq\f(1，n)－eq\f(1,n＋1）＝1－eq\f（1,n＋1)＝eq\f（n，n＋1)。5．(2013·辽阳质检)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x）在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(an，n＋1）)）的前n项和的公式是(）A．2n B．2n－2C．2n＋1 D．2n＋1－2解析：选D。∵y′｜x＝2＝－2n－1(n＋2),∴切线方程为:y＋2n＝－2n－1（n＋2）（x－2），令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝（n＋1）2n，所以eq\f（an,n＋1）＝2n,则数列eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an，n＋1）））的前n项和Sn＝eq\f（21－2n，1－2)＝2n＋1－2。二、填空题6．在等差数列{an｝中，Sn表示前n项和，a2＋a8＝18－a5,则S9＝________。解析：由等差数列的性质,a2＋a8＝18－a5，即2a5＝18－a5，∴a5＝6，∴S9＝eq\f(a1＋a9×9，2)＝9a5＝54。答案：547．（2013·武汉质检)等比数列｛an}的前n项和Sn＝2n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al（2,2）＋…＋aeq\o\al(2，n）＝________.解析：当n＝1时,a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1）＝2n－1，又∵a1＝1适合上式，∴an＝2n－1，∴aeq\o\al(2，n）＝4n－1。∴数列｛aeq\o\al(2,n）｝是以aeq\o\al（2,1）＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al(2，2）＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1·1－4n,1－4)＝eq\f（1，3)（4n－1)．答案：eq\f（1,3）(4n－1）8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列｛bn｝满足bn＝log3an，则数列eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f（1，bnbn＋1）))的前n项和Sn＝________。解析：设等比数列{an｝的公比为q，则eq\f(a4,a1)＝q3＝27，解得q＝3。所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n,所以eq\f（1，bnbn＋1）＝eq\f（1,nn＋1)＝eq\f（1，n)－eq\f（1，n＋1)。则数列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(1，bnbn＋1）)）的前n项和为1－eq\f(1，2）＋eq\f(1,2）－eq\f(1，3)＋…＋eq\f（1，n）－eq\f(1,n＋1）＝1－eq\f(1,n＋1）＝eq\f(n，n＋1).答案：eq\f（n，n＋1）三、解答题9．已知{an}为等差数列，且a3＝－6,a6＝0。（1）求｛an}的通项公式；(2）若等比数列｛bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解：(1)设等差数列{an}的公差为d。因为a3＝－6，a6＝0,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝－6，,a1＋5d＝0，）)解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1）·2＝2n－12.（2）设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24,b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以{bn}的前n项和公式为Sn＝eq\f(b11－qn,1－q）＝4（1－3n）．10．在数列｛an}中，a1＝1，当n≥2时,其前n项和Sn满足Seq\o\al(2，n）＝aneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,2）)）.（1)求Sn的表达式；（2）设bn＝eq\f（Sn，2n＋1)，求{bn｝的前n项和Tn。解:（1)∵Seq\o\al(2,n)＝aneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(Sn－\f（1,2))），an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴Seq\o\al（2，n)＝(Sn－Sn－1）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(Sn－\f（1，2））)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0,①式两边同除以Sn－1·Sn，得eq\f(1，Sn）－eq\f（1，Sn－1）＝2，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f（1，Sn））)是首项为eq\f(1,S1）＝eq\f（1，a1)＝1，公差为2的等差数列．∴eq\f（1,Sn）＝1＋2（n－1）＝2n－1，∴Sn＝eq\f（1，2n－1)。（2）又bn＝eq\f(Sn，2n＋1）＝eq\f(1，2n－12n＋1）＝eq\f（1，2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2n－1)－\f(1,2n＋1）))，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(n,2n＋1)。一、选择题1．已知函数f(n)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n2当n为正奇数时，,－n2当n为正偶数时，)）且an＝f（n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0 B．100C．－100 D．10200解析:选B。由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2）＋（3＋2）－…－（99＋100)＋（101＋100)＝100。故选B。2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和为（)A.eq\f(15，8）或5 B。eq\f（31,16)或5C.eq\f(31，16） D.eq\f（15，8)解析：选C.设数列{an｝的公比为q。由题意可知q≠1，且eq\f(91－q3,1－q）＝eq\f（1－q6，1－q)，解得q＝2，所以数列eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，eq\f(1,2）为公比的等比数列,由求和公式可得S5＝eq\f（31,16）。二、填空题3．对于数列｛an}，定义数列{an＋1－an}为数列｛an｝的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列｛an｝的前n项和Sn＝________。解析:∵an＋1－an＝2n，∴an＝（an－an－1)＋(an－1－an－2）＋…＋(a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2）＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.答案：2n＋1－24．数列｛an｝的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1｜＋|a2｜＋…＋|a10|＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1。当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5。∴an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1n＝1,2n－5n≥2，n∈N＋）).令2n－5≤0得n≤eq\f(5，2），∴当n≤2时,an＜0；当n≥3时，an＞0,∴|a1|＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝－(a1＋a2）＋(a3＋a4＋…＋a10)＝66.答案：66三、解答题5．(2012·高考天津卷)已知｛an｝是等差数列，其前n项和为Sn，｛bn｝是等比数列，且a1＝b1＝2,a4＋b4＝27，S4－b4＝10.（1）求数列{an｝与｛bn｝的通项公式;(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N＊，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N＊)。解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列｛bn｝的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3,S4＝8＋6d。由条件，得方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2＋3d＋2q3＝27，，8＋6d－2q3＝10，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（d＝3，