2023新教材高考数学二轮专题复习第二部分方法探究探究四高考数学文化与人文价值

探究四高考数学文化与人文价值情境问题近三年来，高考试题紧密联系生活实际与“五育”结合，与社会热点结合，与生产、生活实际结合，与现代前沿科学技术结合，以考查学生基础知识和基本能力为主线，注重基础性、综合性和应用性，强调以素养为导向，突出考查数学建模、数据分析、逻辑推理和数学运算等核心素养．情境一紧跟社会热点例1[2022·北京卷]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是()A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态听课笔记：对接训练1.北京时间2022年6月5日10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约7小时后，神舟十四号载人飞船与中国空间站成功对接．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v(单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v＝ωln(1＋mM)来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m(单位：吨)表示它装载的燃料质量，M(单位：吨)表示它自身(除燃料外)质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m与火箭自身质量M之比mM约为(A．e1.58－1B．e1.58C．e0.58－1D．e0.58情境二关注经济发展例2[2022·湖南永州模拟]“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则()A.该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍B．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的1C．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的1D．该直播间第三季度服装收入低于前两季度的服装收入之和听课笔记：对接训练2.为积极响应李克强总理在山东烟台考察时提出“地摊经济”的号召，某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售A、B两种小商品．当投资额为x(x≥0)千元时，在销售A、B商品中所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝x，g(x)＝5ln(x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A、B两种小商品，为使总收益最大，则A商品需投________千元．情境三聚焦科技前沿例3[2022·全国乙卷]嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋1α1，b2＝1＋1α1+1α2，b3＝1＋1α1+1α2+1α3，….依此类推，其中A．b1<b5B．b3<b8C．b6<b2D．b4<b7听课笔记：对接训练3.第六届世界互联网大会发布了15项世界互联网领先科技成果，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端AI芯片、思元270、赛灵思的Versa自适应计算加速平台．现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择芯片领域的概率为()A.8991B．C．98125D．情境四结合生产实践例4[2020·新高考Ⅰ卷]某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝35，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2听课笔记：对接训练4.[2022·全国甲卷]某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差情境五渗透数学文化例5[2022·新高考Ⅱ卷]图(1)是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图(2)是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9听课笔记：对接训练5.[2022·全国甲卷]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋CD2OA.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(A．11-332BC．9-332D情境六强调五育并举例62021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1)，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图2)．已知R＝2＋1，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为()A．π-12π+1B．C．π-34π+3D．听课笔记：对接训练6.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某学校鼓励学生参加体育兴趣小组，有5名学生报名足球、篮球、乒乓球3个兴趣小组，要求每名学生只能报名一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名且最多有两名学生报名，其中学生甲只能报名乒乓球兴趣小组，则不同的报名方法数为()A．60种B．50种C．30种D．24种探究四情景问题[例1]解析：当P＝1026时，lg103<lgP<lg104，即3<lgP<4；当P＝128时，lg102<lgP<lg103，即2<lgP<3；当P＝9987时，lg103<lgP<lg104，即3<lgP<4(lgP接近4)；当P＝729时，lg102<lgP<lg103，即2<lgP<3.A，B，C，D四个选项所对应的点分别设为A，B，C，D，在图中的大致位置如图所示．由图易知，选项D正确．故选D.答案：D对接训练1．解析：由题意，v＝7.9，ω＝5代入v＝ωln(1＋mM)7．9＝5ln(1＋mM)⇒ln(1＋mM)＝故1＋mM＝e1.58，∴mM＝e1.58故选A.答案：A[例2]解析：对于选项A，因为该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的2×2＝4倍，故A错误；对于选项B，设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为2a，4a，第二季度的化妆品收入为2a×20%＝0.4a，第三季度的化妆品收入为4a×30%＝1.2a，所以第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.4a1.2a＝13，故对于选项C，第一季度的化妆品收入为a×10%＝0.1a，所以第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.1a1.2a＝112，故对于选项D，第一、二季度服装收入和为a＋2a－0.1a－0.4a＝2.5a，第三季度服装收入为4a－1.2a＝2.8a，故D错误．答案：B对接训练2．解析：设投入经销B商品的资金为x千元(0≤x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)千元，所获得的收益为S(x)千元，则S(x)＝(5－x)＋5ln(x＋1)＝5ln(x＋1)－x＋5(0≤x≤5)，可得S′(x)＝5x+1－1＝4-x当0≤x<4时，可得S′(x)>0，函数S(x)单调递增；当4<x≤5时，可得S′(x)<0，函数S(x)单调递减，所以当x＝4时，函数S(x)取得最大值，最大值为S(4)＝5ln5＋1，所以当投入B商品的资金为4千元，投入经销A商品的资金为1千元时，此时总收益最大为1＋5ln5千元．答案：1[例3]解析：方法一因为αk∈N*(k＝1，2，…)，所以0<1αk≤1，所以α1<α1＋1α2+1α3+1α4+1α5，所以设1α4+1α5+1α6+1α7则α1＋1α2+1α3<α1＋1α2+1α3+t1，所以b设1α3+1α4+1α5+1α6＝t2，所以α1＋1α2>α1＋1α设1α5+1α6+1α7＝t3，所以α3＋1α4>α3＋1α4+t3，则α2＋1α3+1α4<α2方法二此题可赋特殊值验证一般规律，不必以一般形式做太多证明，以节省时间．由αk∈N*，可令αk＝1，则b1＝2，b2＝32，b3＝53，b4＝85.分子、分母分别构成斐波纳契数列，可得b5＝138，b6＝2113，b7＝3421，b答案：D对接训练3．解析：现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则基本事件总数n＝15×15×15＝3375，至少有1名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域，则至少有1名学生选择芯片领域的概率P＝1－1033375＝答案：D[例4]解析：如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝π4，△AOH为等腰直角三角形，又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，∴5－3m＝7－5m，得m＝1，∴AF′＝5－3m＝2，OF′＝7－5m＝2，∴OA＝22，则阴影部分的面积S＝135360×π×(22)2＋12×22×22-π2答案：5π2＋对接训练4．解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为70%+75%2＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s后2＝110×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510000，所以标准差s后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s前2＝110×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝142.2510000，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%答案：B[例5]解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则DD1＝0.5，CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3.由题意，得k3＝k1＋0.2，k3＝k2＋0.1，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+答案：D对接训练5．解析：连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AO