2023年高考数学理一轮复习教学案第9章9.9曲线与方程

9.9曲线与方程【考试要求】1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．【知识梳理】1．“曲线的方程”与“方程的曲线”在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．坐标法(1)用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．(2)用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线．(3)通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质．3．求动点轨迹方程的步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程，并化简．(5)证明——证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程．4．求动点轨迹方程的常用方法(1)直接法：即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简．(2)定义法：先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程．(3)代入法：也叫相关点法，其特点是动点M(x，y)与已知曲线C上的点(x′，y′)相关联，可先用x，y表示x′，y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程．【常用结论】1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解．(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(×)(2)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．(×)(3)y＝kx与x＝eq\f(1,k)y表示同一条直线．(×)(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．(×)【教材题改编】1．已知点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，直线l：x＝－eq\f(1,4)，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线 B．椭圆C．圆 D．抛物线答案D解析由题意得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．2．已知动点M(x，y)到点O(0,0)与到点A(6,0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________．答案16π解析依题意可知eq\f(|MO|,|MA|)＝2，即eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－62＋y2))＝2，化简整理得(x－8)2＋y2＝16，即动点M的轨迹是以(8,0)为圆心，以4为半径的圆．所以其面积为S＝πR2＝16π.3．若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________．答案x＋y－1＝0解析设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM(图略)，∵l1⊥l2，∴|PM|＝|OM|(O为坐标原点)，而|PM|＝eq\r(x－12＋y－12)，|OM|＝eq\r(x2＋y2)，∴eq\r(x－12＋y－12)＝eq\r(x2＋y2)，化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程.题型一直接法求轨迹方程例1已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．解(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝λ，整理得x2－eq\f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－eq\f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．【备选】已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2eq\r(2))，定点P(1,1)．(1)求△ABC外接圆的标准方程；(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程．解(1)由题意得AC的中点坐标为(0，eq\r(2))，AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，kAC＝eq\r(2)，kAB＝1，故AC中垂线的斜率为－eq\f(\r(2),2)，AB中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y－eq\r(2)＝－eq\f(\r(2),2)x，AB的中垂线的方程为y－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，,y－\r(2)＝－\f(\r(2),2)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0.))所以△ABC的外接圆圆心坐标为(2,0)，半径r＝2＋1＝3，故△ABC外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.(2)设弦EF的中点为M(x，y)，△ABC外接圆的圆心为N，则N(2,0)，由MN⊥MP，得eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝0，所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0，所以弦EF中点的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2).思维升华直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练1(1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是()A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线答案B解析设P(x，y)，则eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，化简得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．(2)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，则C的轨迹为()A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．直线答案A解析以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆．题型二定义法求轨迹方程例2(1)已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x>4)答案C解析如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________．答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)解析因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋1)＋(3－R)＝1＋3＝4(R为圆P的半径)，由椭圆的定义可知，圆心P的轨迹是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．【备选】在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝2eq\r(2)，则顶点A的轨迹方程为______________．答案eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x>eq\r(2))解析以BC的中点为原点，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|－|AC|＝2eq\r(2)<4，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝eq\r(2)，c＝2，所以b＝eq\r(2)，所以顶点A的轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x>eq\r(2))．思维升华(1)定义法的适用范围若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程．(2)注意2个易误点①因为对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误．在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义．②不会迁移应用已知条件，因而找不到解题思路，无法解题．跟踪训练2(1)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2答案D解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，PM.则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝eq\r(|MA|2＋|PA|2)＝eq\r(2)，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.(2)(2022·杭州七校质检)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为()A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线答案B解析不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S(图略)，∵QP是∠F1QF2的角平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝eq\f(1,2)|F2S|＝eq\f(1,2)(|QS|－|QF2|)＝eq\f(1,2)(|QF1|－|QF2|)＝a，∴点P的轨迹为圆．题型三相关点法(代入法)求轨迹方程例3如图，已知P是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(NM,\s\up6(→)).(1)求点N的轨迹方程；(2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值．解(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，所以eq\o(PN,\s\up6(→))＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，由eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(NM,\s\up6(→))得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.因为P(x1，y1)在椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1上，则eq\f(x\o\al(2,1),4)＋yeq\o\al(2,1)＝1，所以eq\f(x2,4)＋(1＋λ)2y2＝1，故eq\f(x2,4)＋(1＋λ)2y2＝1为所求的点N的轨迹方程．(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝eq\f(1,4)，解得λ＝－eq\f(1,2)或λ＝－eq\f(3,2).故当λ＝－eq\f(1,2)或λ＝－eq\f(3,2)时，点N的轨迹是圆．【备选】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up6(→)).(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x－x0，y)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(0，y0)．由eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up6(→))得x0＝x，y0＝eq\f(\r(2),2)y.因为M(x0，y0)在C上，所以eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(－3，t)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－1－m，－n)，eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝3＋3m－tn，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(－3－m，t－n)．由eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OQ,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→)).又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华跟踪训练3(1)(2022·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是________________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)解析设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3,2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，得轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(1,4).(2)设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________．答案y2＝4x解析设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，因为eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))所以－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求点N的轨迹方程是y2＝4x.课时精练1．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2，则点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2 B．x2－y2＝2C．x＋y2＝2 D．x－y2＝2答案B解析设P(x，y)，则Q(x，－y)，因为eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2，所以x2－y2＝2.2．(2022·云南质检)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±eq\r(2))D．x2＋y2＝4(x≠±2)答案D解析MN的中点为原点O，易知|OP|＝eq\f(1,2)|MN|＝2，∴点P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．3．已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0答案B解析可知AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x，y)．由题意可知eq\f(1,2)×5×eq\f(|4x－3y＋4|,5)＝10，所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.4．已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1(y≠0)B.eq\f(4x2,9)＋y2＝1(y≠0)C.eq\f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋eq\f(4,3)y2＝1(y≠0)答案C解析依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0－1＋1,3)，,y＝\f(y0,3)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x，,y0＝3y，))代入椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得重心G的轨迹方程为eq\f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)．5．在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线答案A解析设C(x，y)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))又λ1＋λ2＝1，∴化简得x＋2y－5＝0，即点C的轨迹是一条直线．6．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的点，PQ为∠F1PF2的外角平分线，F2T⊥PQ于点T，则点T的轨迹为()A．双曲线 B．抛物线C．椭圆 D．圆答案D解析延长F2T交F1P的延长线于点M，如图所示．由于PQ平分∠F2PM，则∠F2PT＝∠MPT，|PT|＝|PT|，∠PTF2＝∠PTM，所以△PTF2≌△PTM，则|PF2|＝|PM|，|TF2|＝|TM|，则点T为MF2的中点，又因为O为F1F2的中点，所以|OT|＝eq\f(1,2)|F1M|＝eq\f(1,2)(|F1P|＋|PM|)＝eq\f(1,2)(|F1P|＋|F2P|)＝a，所以点T的轨迹是圆．7．动点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l：x＝eq\f(25,4)的距离的比是常数eq\f(4,5)，则动点M的轨迹方程是________________．答案eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1解析因为动点M(x，y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l：x＝eq\f(25,4)的距离的比是常数eq\f(4,5)，所以eq\f(\r(x－42＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(25,4))))＝eq\f(4,5)，即25[(x－4)2＋y2]＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(25,4)))2，整理可得9x2＋25y2＝225，即eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.8．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq\o(MN,\s\up6(→))||eq\o(MP,\s\up6(→))|＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．答案y2＝－8x解析设点P的坐标为(x，y)，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\r(x＋22＋y2)，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NP,\s\up6(→))＝4(x－2)．根据已知条件得4eq\r(x＋22＋y2)＝4(2－x)．整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.9．已知平面内B，C是两个定点，|BC|＝8.①△ABC的周长为18；②直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC＝－eq\f(9,16).请从上面条件中任选一个作答，以BC的中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程．注：如果选择多个条件作答，按第一个条件计分．解选择条件①：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，|BC|＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，则有a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．选择条件②：设点A(x，y)，又B(－4,0)，C(4,0)，则有kAB＝eq\f(y,x＋4)，kAC＝eq\f(y,x－4)，且kAB·kAC＝－eq\f(9,16)，那么eq\f(y,x＋4)·eq\f(y,x－4)＝－eq\f(9,16)，化简可得eq\f(y2,x2－16)＝－eq\f(9,16)，－16y2＝9x2－9×16,9x2＋16y2＝9×16，且A，B，C三点构成三角形，那么A点的轨迹方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)．10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(1，y0)(y0>0)是抛物线上一点且△MOF的面积为eq\f(1,8)(其中O为坐标原点)，不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作MN⊥PQ交PQ于点N.(1)求抛物线C的方程；(2)求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程．解(1)由题意得y0＝eq\r(2p)，故S△MOF＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(2p)＝eq\f(1,8)，解得p＝eq\f(1,2)，故拋物线C的方程为y2＝x.(2)易得M(1,1)，由题意可设直线PQ的方程为x＝my＋a，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋a，,y2＝x，))消去x，得y2－my－a＝0，故Δ＝m2＋4a>0，y1＋y2＝m，y1y2＝－a，因为∠PMQ＝90°，所以eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝0，即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，即yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)－(y1＋y2)2＋3y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，所以a2－m2－3a－m＋2＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))2，所以a－eq\f(3,2)＝m＋eq\f(1,2)或a－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))，当a－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))，即a＝－m＋1时，直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y－1)＋1，此时直线l过点(1,1)，不符合题意，舍去；当a－eq\f(3,2)＝m＋eq\f(1,2)，即a＝m＋2时，直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y＋1)＋2，此时直线PQ恒过定点H(2，－1)．设N(x，y)，则由eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(NH,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(NH,\s\up6(→))＝0，得(x－1)(x－2)＋(y＋1)(y－1)＝0，即点N的轨迹方程为x2＋y2－3x＋1＝0(x≠1)．11.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是()A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支答案C解析可构造如图所示的圆锥．母线与AB所在直线(中轴线)的夹角为30°，然后用平面α去截圆锥，使直线AB与平面α的夹角为60°，则平面α与圆锥侧面的交线为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．12．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是()A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 D．x2＝16y答案B解析因为M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的右顶点为(5,0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，可得y－eq\f(y2,9)＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ>0，满足题意，为“好曲线”．13．已知过点A(－3,0)的直线与x＝3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x＝－3相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为______________．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,4))＝1(y≠0)解析设点M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，mn≠0，则直线CD的方程为(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因为直线CD与圆x2＋y2＝9相切，所以eq\f(3|m＋n|,\r(m－n2＋36))＝3，所以mn＝9，又直线AC与BD的交点为M，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋3)＝\f(y－m,x－3)，,\f(y,x－3)＝\f(y－n,x＋3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(6y,x＋3)，,n＝\f(－6y,x－3)，))所以－eq\f(36y2,x2－9)＝9，所以点M的轨迹方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,\f(9,4))＝1(y≠0)．14．已知△ABC中，AB＝3，eq\f(CA,CB)＝eq\f(1,2)，则△ABC面积的最大值为________．答案3解析以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，设C(x，y)．由eq\f(CA,CB)＝eq\f(1,2)，得eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝eq\f(1,2).即(x＋1)2＋y2＝4.所以点C的轨迹是圆心为M(－1,0)，半径为2的圆(不含与AB共线的两点)．所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·|yC|＝eq\f(3,2)|yC|≤3.即△ABC面积的最大值为3.15.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过eq\r(2)；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③答案C解析曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2<eq\f(4,3)，满足条件的整数x可取－1,0,1.当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1,0)，(－1,1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0,1)；当x＝1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(1,0)，(1,1)．故曲线C恰好经过6个整点，①正确；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋eq\f