湖南省郴州市汇文中学高二数学文摸底试卷含解析

湖南省郴州市汇文中学高二数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明“”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1参考答案：C【考点】RG：数学归纳法．【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．【解答】解：用数学归纳法证明等式”时，当n=k时，左边=1+++…+，那么当n=k+1时，左边=1+++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共2k+1﹣2k=2k项，故选：C．【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．2.已知，且，则的值为（A）

（B）或

（C）

（D）或参考答案：【知识点】同角三角函数基本关系式、三角函数的性质【答案解析】C解析：解：因为0＜＜1，而，得，所以，则选C【思路点拨】熟悉的值与其角θ所在象限的位置的对应关系是本题解题的关键.3.从一块短轴成为2m的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e，且e∈[，]，则该矩形面积的取值范围是（）A．[m2，2m2] B．[2m2，3m2] C．[3m2，4m2] D．[4m2，5m2]参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，表示出圆的内接矩形长和宽，可得矩形的面积，由e∈[，]，∴?2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2即可【解答】解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，椭圆的离心率为e，且e∈[，]，∴?2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2，矩形面积的取值范围是[4m2，5m2]．故选：D．4.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣），则E的方程为（）A．+y2=1 B．+=1C．+=1 D．+=1参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A点坐标的（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），可得=1，=1，两式相减得，+=0，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：设A点坐标的（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），∴=1，=1，两式相减得，+=0，∵x1+x2=2，y1+y2=，k===．∴=，又∵c2=a2﹣b2=10b2﹣b2=9b2，c2=9，∴b2=1，a2=10，即标准方程为=1．故选：A5.已知函数是R上的奇函数，且，那么等于(

)

A．－1

B．0

C．1

D．2参考答案：A略6.已知椭圆，以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在的直线斜率为A．

B．

C．2

D．-2

参考答案：B略7.已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（

）A.4π B.8π C.16π D.32π参考答案：C【分析】由底面积不变,可得高最大时体积最大,

即与面垂直时体积最大,设球心为,半径为,在直角中,利用勾股定理列方程求出半径，即可求出球的表面积.【详解】根据,可得直角三角形的面积为3,其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上,设小圆的圆心为,

由于底面积不变,高最大时体积最大,

所以与面垂直时体积最大,最大值为为,

即,如图,设球心为,半径为,则在直角中,即,

则这个球的表面积为,故选C.【点睛】本题主要考球的性质、棱锥的体积公式及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.8.等差数列中，前10项和，则其公差d=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】二项式定理的应用． 【专题】转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】在所给的等式中，分别令x=1，x=﹣1，可得两个式子，再把这两个式子相乘，即得所求． 【解答】解：在中， 令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4=， 再令x=﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4=， 两量式相乘可得则==1， 故选：A． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于基础题． 10.某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（

） A. B.C.D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的最小值为3，则a=__________．参考答案：2【分析】根据导数可判断出函数的单调性，从而可知当时函数取最小值，代入得，从而求得结果.【详解】函数，，由得：或（舍去）当时，，单调递减；当时，，单调递增当时，取极小值，即最小值：的最小值为

，解得：本题正确结果：2【点睛】本题考查根据函数的最值求解参数的问题，关键是能够利用导数得到函数的单调性，从而根据单调性得到最值点.12.若变量满足条件，则的最小值为

参考答案：略13.已知,，、均为锐角，则等于▲.参考答案：14.曲线上的点到直线的最短距离是___________参考答案：略15.函数f（x）=1+lgx+（0＜x＜1）的最大值是．参考答案：﹣5【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]，由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：由0＜x＜1，可得lgx＜0，即﹣lgx＞0，则f（x）=1+lgx+=1﹣[（﹣lgx）+]≤1﹣2=1﹣6=﹣5，当且仅当lgx=﹣3即x=10﹣3，取得等号，即有f（x）的最大值为﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．16.在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S﹣ABC外接球的半径为．参考答案：略17.设θ∈R，则“sinθ=0”是“sin2θ=0”的

条件．（选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）参考答案：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义，结合三角函数的倍角公式进行判断即可．解：当sinθ=0时，sin2θ=2sinθcosθ=0成立，即充分性成立，当cosθ=0，sinθ≠0时，满足sin2θ=2sinθcosθ=0，但sinθ=0不成立，即必要性不成立，即“sinθ=0”是“sin2θ=0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，椭圆短轴长为.

（1）求椭圆的方程；（2）已知动直线与椭圆相交于、两点.①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值。参考答案：.解：（1）因为满足，。解得，则椭圆方程为

（2）（1）将代入中得

因为中点的横坐标为，所以，解得

（2）由（1）知，所以

；=

略19.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点,记||的最小值为.若关于实数的方程有解，请求实数的取值范围．参考答案：

根据及－4≤x≤4.对4m进行讨论，可得||2的最小值，从而可得||的最小值为易得的值域为又由得∴故实数t的取值范围为

20.已知曲线M上的动点到定点距离是它到定直线距离的一半．（1）求曲线M的方程；（2）设过点且倾斜角为的直线与曲线M相交与A、B两点，在定直线l上是否存在点C，使得，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：（1）；（2）不存在.【分析】（1）由题意列出关于x，y的关系式，整理即可得到曲线M的方程；（2）首先可根据题意得出直线的方程为，然后与椭圆方程联立，求得、点坐标，再然后假设在定直线上存在点，使得，即可通过题意中的列出方程，最后通过观察方程无实数解即可得出结果。【详解】（1）由题意可得，，化简得，曲线M的方程为；（2）由题意可知直线的方程为，设点，由，得，解得，，，分别代入，得．即点，假设在定直线上存在点，使得，则，因为，所以，整理得，因为，所以上述方程无实数解，即在定直线l上不存在点C，使得。【点睛】本题圆锥曲线的相关性质，主要考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，考察方程思想，是中档题。21.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2、c=3，cosB=．

（1）求b的值；

（2）求sinC的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）由a，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；（2）利用余弦定理表示出cosC，把a，b，c的值代入求出cosC的值，由C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值即可．【解答】解：（1）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，且a=2，c=3，cosB=，代入得：b2=22+32﹣2×2×3×=10，∴b=．（2）由余弦定理得：cosC===，∵C是△ABC的内角，∴sinC==．【点评】此题的解题思想是利用余弦定理建立已知量