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文档简介

二、极限的四那么运算法那么三、复合函数的极限运算法那么一、无穷小运算法那么第五节极限运算法那么时,有一、无穷小运算法那么定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取那么当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:

设又设即当时,有取那么当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1.求解:

由定理2可知说明:

y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束二、极限的四那么运算法那么那么有证:因那么有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.假设机动目录上页下页返回结束推论:假设且那么利用保号性定理证明.说明:

定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:

令机动目录上页下页返回结束定理4.假设那么有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)例2.

设

n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束为无穷小(详见P44)定理5.假设且B≠0,那么有证:

因有其中设因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,机动目录上页下页返回结束定理6.假设那么有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:假设不能直接用商的运算法那么.例4.假设机动目录上页下页返回结束例5.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束例6

.

求解:时,分子分子分母同除以那么分母原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)机动目录上页下页返回结束三、复合函数的极限运算法那么定理7.

设且

x满足时,又那么有证:

当时,有当时,有对上述取那么当时故①因此①式成立.机动目录上页下页返回结束定理7.

设且x

满足时,又那么有说明:假设定理中那么类似可得机动目录上页下页返回结束例7.求解:

令∴原式=机动目录上页下页返回结束例8.求解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.极限运算法那么(1)无穷小运算法那么(2)极限四那么运算法那么(3)复合函数极限运算法那么注意使用条件！2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间

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