第六章数学模型电子教案

第六章数学模型电子教案第一页，共41页。稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。第一页第二页，共41页。6.1捕鱼业的持续收获问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。第二页第三页，共41页。产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量第三页第四页，共41页。稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率第四页第五页，共41页。y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x第五页第六页，共41页。效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE第六页第七页，共41页。EsS(E)T(E)0rE捕捞过度

封闭式捕捞追求利润R(E)最大

开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ERERE*第七页第八页，共41页。6.2军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）一方军备越大，另一方军备增加越快；2）一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）每一方都存在增加军备的潜力。目的第八页第九页，共41页。建模x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。第九页第十页，共41页。线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根第十页第十一页，共41页。平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型军备竞赛第十一页第十二页，共41页。模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。2)若g=h=0,则x0=y0=0,在

>kl下x(t),y(t)

0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。第十二页第十三页，共41页。3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备。4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久。第十三页第十四页，共41页。6.3种群的相互竞争自然环境中两个种群之间关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。第十四页第十五页，共41页。模型假设甲乙两种群独自生存时数量变化均服从Logistic规律;乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型第十五页第十六页，共41页。模型分析(平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点第十六页第十七页，共41页。仅当

1,

2<1或

1,

2>1时，P3才有意义第十七页第十八页，共41页。平衡点稳定性分析平衡点Pi稳定条件：p>0且q>0第十八页第十九页，共41页。种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点

2>1,

1>1,P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点

1<1,

2<1P1稳定的条件

1<1?

1<1

2<1稳定条件第十九页第二十页，共41页。0S1S2S3平衡点稳定性的相轨线分析P1(N1,0)是稳定平衡点(1)

2>1,

1<1t

x1,x2

t

x1,x2

t

x1,x2

第二十页第二十一页，共41页。P1P2有相轨线趋向P1有相轨线趋向P2P1稳定的条件：直接法

2>1P1,P2都不(局部)稳定0(3)

1<1,

2<10(2)

1>1,

2<10(4)

1>1,

2>1加上与(4)相区别的

1<1

P2稳定

P3稳定P1全局稳定第二十一页第二十二页，共41页。结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的

1倍。对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱

P1稳定的条件：

1<1,

2>1

2>1甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝

P2稳定的条件：

1>1,

2<1

P3稳定的条件：

1<1,

2<1通常

11/

2，P3稳定条件不满足第二十二页第二十三页，共41页。6.4种群的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。第二十三页第二十四页，共41页。模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲为乙提供食物；乙受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模型第二十四页第二十五页，共41页。种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点第二十五页第二十六页，共41页。0

1<1,

2>1,

1

2<1

P2稳定第二十六页第二十七页，共41页。

1

2<1~

2>1前提下P2存在的必要条件结果解释

2>1~甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗的

2倍

1<1~

2>1,

1

2<1的需要，且

1必须足够小，才能在

2>1条件下使

1

2<1成立第二十七页第二十八页，共41页。6.5种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)

模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？第二十八页第二十九页，共41页。食饵（甲）数量x(t),

捕食者（乙）数量y(t)甲独立生存的增长率r乙独立生存的死亡率d方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力第二十九页第三十页，共41页。Volterra模型的平衡点及其稳定性平衡点P点稳定性不能用近似线性方程分析p=0,q>0P:临界状态q<0P´不稳定第三十页第三十一页，共41页。tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解x~y平面上的相轨线第三十一页第三十二页，共41页。计算结果（数值，图形）x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线x(t),y(t)的周期约为9.6xmax

65.5,xmin

6,ymax

20.5,ymin

3.9用数值积分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)第三十二页第三十三页，共41页。用相轨线分析点稳定性第三十三页第三十四页，共41页。x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0用相轨线分析点稳定性相轨线时无相轨线以下设第三十四页第三十五页，共41页。y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相轨线是封闭曲线族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相轨线P~中心第三十五页第三十六页，共41页。相轨线是封闭曲线x(t),y(t)是周期函数(周期记T)求x(t),y(t)在一周期的平均值轨线中心用相轨线分析点稳定性第三十六页第三十七页，共41页。•T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”领先y(t)模型解释初