清华大学数学实验14-数学建模与数学实验(综合补充)课件

大学数学实验MathematicalExperiments实验14数学建模与数学实验(综合/补充)大学数学实验MathematicalExperiments案例：隧道阀门够结实吗？阀门是否足够结实？

阀门爆破点湖水山体hL案例：隧道阀门够结实吗？阀门是否足够结实？阀门爆破点湖水山问题初步分析爆破后隧道内湖水和空气的相互作用过程0x阀门L湖水加速进入隧道,然后减速直到停止可大致认为隧道内湖水和空气有清晰的接触界面隧道内的空气完全处于被不断压缩的过程中隧道内空气对隧道内湖水的阻力越来越大隧道内的湖水与隧道内的空气紊乱地混合隧道内湖水和空气不再有一个清晰的接触界面直到最后隧道内的空气以气泡形式从爆破口排出问题初步分析爆破后隧道内湖水和空气的相互作用过程0x阀门L湖受力分析0F3xF1F1F2阀门L受力分析0F3xF1F1F2阀门L受力分析0F3xF1F1F2阀门L受力分析0F3xF1F1F2阀门L受力分析0F3xF1F1F2阀门L长l、速度v的流体两端压强之差（水头损失,mm水柱）R为水力半径(对圆管满流，R=D/4)受力分析0F3xF1F1F2阀门L长l、速度v的流体两端压强隧道内湖水的基本运动方程热力学第一定律（能量转化和守恒定律）：当运动形式发生变化时，能量也从一种形式转化为另一种形式，从一个系统传递给另一个系统；在转化和传递中总能量始终不变。假设隧道内湖水的内能没有变化，也没有热交换发生

隧道内湖水的质量为隧道内湖水的基本运动方程热力学第一定律（能量转化和守恒定律隧道内湖水的基本运动方程ODE初值问题隧道内湖水的基本运动方程ODE初值问题模型求解参数：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=1kg/m3，P0=1atm(1大气压)=101325Pa，空气比热比=1.4;据水力学知识，沿程损失系数通常不超过0.1,取0.1;取D=2m,h=100m，L=1000m模型求解参数：重力加速度g=9.807m/s2，水的密度=模型求解Matlab程序显示“Warning:Dividebyzero.”

仍然显示“Warning:Dividebyzero.”

模型求解Matlab程序显示“Warning:Divid模型求解模型无解？需要进行修改！保持初始条件，修改基本方程保持基本方程，修改初始条件也许存在x(t)>0满足方程？

考虑到x(t)及其导数在t=0时刻的连续性，模型无解!模型求解模型无解？需要进行修改！也许存在x(t)>0满足方修改基本方程想象有一些爆破点附近的湖水被掀开，远离了隧道的爆破点。记隧道外的额外长度为d

0dx阀门L修改基本方程想象有一些爆破点附近的湖水被掀开，远离了隧道的爆td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000001.000001.00001.000032.87491.047935.48301.051935.86191.05252.000060.45281.091262.48791.094562.78431.09503.000083.48451.129885.16971.132785.41901.1332……………………………………107.0000833.412712.2942833.396912.2926833.396512.2926108.0000833.639512.3177833.610912.3147833.608412.3145109.0000833.667112.3206833.625812.3163833.621312.3158110.0000833.496212.3029833.442212.2973833.435712.2966111.0000833.130412.2651833.064212.2583833.055712.2574112.0000832.577612.2085832.499912.2005832.489612.1995……………………………………计算结果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP001.000修改初始条件可以想象有一些爆破点附近的湖水已经进入了隧道记隧道内的额外长度为d，x(0)=d水如果从深度为h的容器中自然流出，速度是

0Ldx阀门修改初始条件可以想象有一些爆破点附近的湖水已经进入了隧道0L计算结果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.00001.00280.20001.00030.20001.00031.000037.37751.054836.05841.052843.27401.06392.000064.01731.097062.94211.095384.15111.13103.000086.49211.135085.55521.1334123.09971.2019……………………………………106.0000833.011112.2529832.988712.2506107.0000833.411612.2941833.398012.2927108.0000833.613512.3150833.608712.3145109.0000833.616212.3153833.620312.3157110.0000833.419812.2950833.432812.2963111.0000833.024812.2543833.046512.2565……………………………………计算结果td=Dd=0.1Dd=0.01DxPxPxP02.参数分析0.0550029.0000435.943717.75710.05100079.0000848.358014.23390.052000217.00001667.282612.31790.1050039.0000424.145014.01460.101000109.0000833.625712.31630.102000303.00001650.388511.4927LtmaxxmaxPmax0.0550038.0000389.25848.25130.051000103.0000751.17347.01040.052000282.00001469.99756.41880.1050051.0000375.57397.00940.101000141.0000735.00126.41890.102000392.00001452.16046.12810.0550021.0000466.113443.30310.05100057.0000913.533830.79040.052000158.00001801.394025.36600.1050029.0000456.526330.55210.10100079.0000900.698425.36650.102000221.00001785.849622.8263h=50h=100h=200Pmax减少h减少L增加增加D可类似分析参数分析0.0550029.0000435.94无量纲化Pmax减少h减少L增加增加这说明影响y的参数是无量纲化Pmax减少h减少L增加增加这说明影响y无量纲化Pt与y的关系在坐标系O下，下，可画出Pmax的等值线(单位：大气压)120140200Pmax(atm)无量纲化Pt与y的关系在坐标系O下，下，可画出Pma进一步研究推广隧道不是水平的，怎么办？隧道不是直的，而是一条任意（下降的）曲线，怎么办？理论上分析基本模型与修正模型的性质(解的存在性与唯一性，近似处理的误差，etc.)进一步研究推广理论上分析基本模型与修正模型的性质(解的存2000年全国大学生数学建模竞赛B题

(CUMCM-2000B)钢管订购和运输2000年全国大学生数学建模竞赛B题

(CUMCM-20CUMCM-2000B钢管订购和运输由钢管厂订购钢管，经铁路、公路运输，铺设一条钢管管道A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7管道铁路公路S1~S7钢管厂火车站450里程（km)（沿管道建有公路）CUMCM-2000B钢管订购和运输由钢管厂订购钢管，经铁钢厂的产量和销价（1单位钢管=1km管道钢管）钢厂产量的下限：500单位钢管1单位钢管的铁路运价1000km以上每增加1至100km运价增加5万元1单位钢管的公路运价：0.1万元/km（不足整公里部分按整公里计）601=300+30144>20+23?钢厂的产量和销价（1单位钢管=1km管道钢管）钢厂产量的下限（1）制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小.（2）分析对购运计划和总费用影响：哪个钢厂钢管销价的变化影响最大；哪个钢厂钢管产量上限的变化影响最大？A1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16130A17A18A19A20A21190260100（3）讨论管道为树形图的情形（1）制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小.（2）分析对购问题1的基本模型和解法总费用最小的优化问题总费用：订购，运输（由各厂Si经铁路、公路至各点Aj,

i=1,…7;j=1,…15

），铺设管道AjAj+1（j=1,…14)由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij

由Si至Aj的最优运量xij由Aj向AjAj-1段铺设的长度yj及向AjAj+1段铺设的长度zj最优购运计划约束条件钢厂产量约束：上限和下限（如果生产的话）运量约束：xij对i求和等于zj加yj；

zj与

yj+1之和等于AjAj+1段的长度ljyj

zjAj问题1的基本模型和解法总费用最小的优化问题总费用：订购，运输基本模型由Aj向AjAj-1段铺设的运量为1+…+yj=yj(

yj+1)/2由Aj向AjAj+1段铺设的运量为1+…+zj=zj(

zj+1)/2二次规划基本模型由Aj向AjAj-1段铺设的运量为1+…+y求解步骤1）求由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij

难点：公路运费是里程的线性函数，而铁路运费是里程的分段阶跃函数，故总运费不具可加性。因而计算最短路常用的Dijkstra算法、Floyd算法失效。A17010881070627030202030300220210420500170690462160320160110290A10A11A12A13A14A15S4S5S6S7需要对铁路网和公路网进行预处理，才能使用常用算法，得到最小购运费用路线。--至少求3次最短路如S7至A10的最小费用路线先铁路1130km，再公路70km,运费为77（万元）先公路（经A15）40km,再铁路1100km，再公路70km,运费为76（万元）求解步骤1）求由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij实际上只有S4和S7需要分解成子问题求解每个子问题是标准的二次规划，决策变量为xij,yj,zj,不超过135个。实际上只有S4和S7需要分解成子问题求解每个子问题是标准的二fi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量yj是从节点j向左铺设的钢管量；zj是向右铺设的钢管量

c)比较好的方法：引入0-1变量LINDO/LINGO得到的结果比matlab得到的好cumcm2000b.lg4yj

zjjfi表示钢厂i是否使用；xij是从钢厂i运到节点j的钢管量c问题1的其它模型和解法1）运输问题的0-1规划模型将全长5171km的管道按公里分段，共5171个需求点，钢厂为7个供应点，构成如下的运输问题cij为从供应点i到需求点j的最小购运费xij=1表示从点i到点j购运1单位钢管求解时要针对规模问题寻求改进算法问题1的其它模型和解法1）运输问题的0-1规划模型将全长512）最小费用网络流模型SourceS1S2S7A1A2A15P11P1l1P21…………Sink(si,pi)(+

,cij)(1,1),…(1,li)(1,0)SourceS1S2S7A1A2A15P1P2………Sink(si,pi)(+

,cij)(li,f(f+1)/2)(li,0)线性费用网络(只有产量上限)非线性费用网络(只有产量上限)边的标记（流量上限，单位费用）用标准算法(如最小费用路算法)求解无单位费用概念(f(f+1)/2),需修改最小费用路算法2）最小费用网络流模型SourceS1S2S7A1A2A152）最小费用网络流模型产量有下限ri时的修正SourceSiSi’(si-ri,pi)(ri,0)(+

,0)得到的结果应加上才是最小费用注：该模型获当年的惟一最高奖（网易杯）2）最小费用网络流模型产量有下限ri时的修正SourceSiS1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最小面积模型A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15cx作图：Si到管道x单位钢管的最小购运费用c由各条Si首尾相连(横坐标)组成的一条折线对应一个购运方案，折线下面的面积对应方案的费用在产量约束下找面积最小的折线S1S2S3S6S5S1S2S2S3S3S5S5S63)最问题2:分析对购运计划和总费用影响(哪个钢厂销价变化影响最大；哪个钢厂产量上限变化影响最大)规划问题的灵敏度分析问题3：管道为树形图701088107062300220210170690462160320160A10A11A12S4S5S6130A17A18A19A20190260100(jk)是连接Aj,Ak的边，E是树形图的边集，ljk是(jk)的长度，yjk是由Aj沿(jk)铺设的钢管数量问题2:分析对购运计划和总费用影响(哪个钢厂销价变化影响最论文中发现的主要问题1）针对题目给的数据用凑的方法算出结果，没有解决这类问题的一般模型2）局部最优，如将管道分为左右两段，分别寻求方案；如将问题分为购运和铺设两部分，分别寻优（会导致每段管道都从两端铺到中点）4）由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij不对5）数字结果相差较大(如最小费用应127.5至128.2亿元)论文中发现的主要问题1）针对题目给的数据用凑的方法算出结果，1995年全国大学生数学建模竞赛A题

(CUMCM-1995A)

一个飞行管理问题

1995年全国大学生数学建模竞赛A题

(CUMCM-1995在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达边界区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞.现假设条件如下:一个飞行管理问题

在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内,经常有1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;3)所有飞机飞行速度均为每小时为800km;4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60km以上;5)最多考虑6架飞机;6)不必考虑飞机离开此区域后的状况;请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型.列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;飞机编号横坐标x纵坐标y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052注:方向角指飞行方向与x轴正向的夹角试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.区域4个顶点坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160).记录数据为:飞机编号