有限元-第2讲-有限元法基本理论

第2章有限元法基本理论张洪伟弹性力学问题基本描述弹性问题参量原理12内容提要3有限元分析基本步骤4有限元解的误差分析工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。基本假设的必要性弹性力学问题的基本描述弹性力学的基本假设1.连续性假设

——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。——变形后仍然保持连续性。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。微观上这个假设不成立——宏观假设。弹性力学的基本假设2.

均匀性假设

——

假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。——

物体的弹性性质处处都是相同的。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。弹性力学的基本假设3.各向同性假设

——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。——宏观假设，材料性能是显示各向同性。当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。弹性力学的基本假设4.完全弹性假设

——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。弹性力学的基本假设5.小变形假设

——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。弹性力学的基本假设——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。6.无初始应力假设

弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。弹性力学的基本假设物体外力——分为两类体力

分布在物体整个体积内的外力如重力，惯性力，电磁力等面力

分布在物体表面上的外力，如液体压力、风力和接触力等弹性力学基本概念一外力弹性力学基本概念二内力内力：物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力。内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。

弹性力学基本概念

物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：三应力的概念弹性力学基本概念

其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。取截面的一部分，它的面积为ΔA，为物体在该截面上ΔA点的应力。ΔQΔA平均集度为ΔQ/ΔA，其极限作用于其上的内力为ΔQ，三应力的概念弹性力学基本概念通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为Sστ正应力σ切应力τ三应力的概念应力分量xyzo应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关。描述应力，通常用一点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量来表称为应力分量。物体内各点的内力平衡，因此相对平面上的应力分量大小相等，方向相反。弹性力学基本概念三应力的概念

平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx

、τyz表示，其第一下标y表示所在的平面法线方向，第二下标x、y分别表示力的方向。如图示的τyx、τyz。σyτyxτyzxyzo符号规定：图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。三应力的概念

平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。图示单元体面的法线为y的负向，正应力记为

,沿y轴负向为正。符号规定三应力的概念弹性力学材料力学注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。符号规定三应力的概念其它x、z正面上的应力分量的表示如图所示。凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。独立应力分量：三应力的概念外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。四应变的概念1、线应变2、切应变1）切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。2）主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。3）主平面上的正应力称为主应力。根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程。五主平面、应力主方向与主应力

弹性体内部各点位置的变化，称为位移位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。位移u，v，w是单值连续函数五位移的概念弹性力学基本方程平衡微分方程几何方程变形协调方程物理方程平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。一平衡微分方程一平衡微分方程正应变示意图二几何方程由几何方程可知，u,v,w函数已知，则该点应变分量确定。但是，应变分量确定，无法求出位移分量。空间几何方程二几何方程变形协调方程也称变形连续方程，或相容方程。描述六个应变分量之间所存在的关系式。同一平面内的正应变与剪应变之间的关系

三变形协调方程不同平面内的正应变与剪应变之间的关系：

三变形协调方程杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明，在弹性范围内有

泊松比，也称横向变形系数。应变和应力关系取一个单元体，在各正应力作用下，沿Ｘ轴方向的正应变：四物理方程广义虎克定律

剪应变：应变和应力关系四物理方程写成矩阵形式：简记为其中，[Ｄ]为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数Ｅ和μ。应变和应力关系四物理方程2.4边界条件弹性力学的基本未知量：位移分量，应力分量和应变分量。基本方程：平衡微分方程，几何方程和物理方程。要使基本方程有确定的解，还要有对应的面力或位移边界条件。

边界条件一般分为：静力（面力）边界条件、位移边界条件和混合边界条件。

弹性力学的任务：就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。边界条件静力边界条件：结构在边界上各点所受的面力为坐标的已知函数，建立起面力分量与应力分量之间的关系。由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz

，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得

一静力（面力）边界条件位移边界条件：结构在边界上位移为位置坐标的已知函数。

混合边界条件：结构在一部分边界上位移为位置坐标的已知函数，其它边界上所受的面力为已知函数，或者结构在边界上部分面力分量和位移分量为位置坐标的已知函数。二位移边界条件势能—系统在某一位置所具有的对外作功的能力，称为系统在这一位置的势能。

势能零点—人为选定的势能为零的位置，称为零势位置，又称为势能零点。保守力—如果力在有限路程上所做之功只与其起点和终点有关而与路径无关，这种力称为保守力。保守力做功与势能增量的关系：

V=–W弹性问题的能量原理弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。单位体积的应变能（应变比能）：包括正应变和剪应变变形能微元变形能（正应变）ΔuF单位体积力面力外力包括作用在物体上的面力和体力外力功II＝U-WU－弹性势能或变形(应变)能W－外力功对于保守力场作用下的弹性体系统总势能：虚位移：假定的、在约束条件允许范围内，弹性体可能发生的、任意的、微小的位移，只说明位移产生的可能性，必须满足变形协调条件和几何边界条件。变形势能：弹性体受力变形后，弹性体内部应力在其应变上所做的功。虚位移原理：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移时，所有作用在弹性体上的外力在虚位移上所做得虚功等于弹性体所具有的虚变形势能。虚位移原理（虚功原理）虚功原理—虚位移原理外力作用下处于平衡状态的弹性体，产生约束许可的微小虚位移（并同时在弹性体内产生虚应变），外力在虚位移上所作的虚功等于弹性体内各点的应力在相应的虚应变上所作的虚功。弹性体平衡

We=Wi

Wi=

We=

We=Wi弹性问题中等价于最小势能原理！变分原理设u是未知函数，F和E是u及其偏导数的函数，V是求解域，S是V的边界，则如下积分形式∏称为未知函数u的泛函，∏随函数u的变化而变化，即它是未知函数的函数。变分法所研究的是如何求得使泛函∏取驻值的函数u，以及驻值点的性质（极大值、极小值或驻值）。泛函∏取驻值的条件是，对于函数u的微小变化δu，泛函的变分（即变化量）δ∏等于零，即许多物理问题可以表达为泛函的极值问题，采用变分法求解，这种求解方法称为变分原理。连续介质问题中经常存在着和微分方程及边界条件不同的却等价的表达形式，变分原理是另一种表达连续介质问题的积分表达形式。泛函变分提法弹性问题的势能就是一种泛函，可以通过平衡微分方程和边界条件的等效积分的弱形式得到。弹性体变分原理—最小势能原理弹性体在外力作用下保持平衡，在满足位移边界条件的所有可能位移中，真实位移使系统的总势能取最小值。（证明从略）II＝U-W

II＝0真实位移总势能一般弹性问题三大类基本方程和边界条件：设有许可位移场，满足位移边界条件，可使系统势能取极小值，由于许可位移场，因此几何方程及物理方程也可满足，这样如果可推导出力平衡方程及力的边界条件，即最小势能原理与原有方程等价：最小势能原理的等价性分部积分说明：满足位移边界条件：高斯定理几何方程代入平衡方程力边界条件等价于以上证明过程说明，总可以找到满足位移边界条件的试函数即许可位移场，在满足几何方程和物理方程的前提下，当势能取最小值时，其结果可精确满足所剩下的平衡方程以及边界条件；但实际上，由于对于许可位移场的选择具有相当的局限性和盲目性，一般很难将真正精确的位移场包含在许可位移场中，这样，就不可能由最小势能原理求出精确解，只能在所选择的试函数范围内，通过最小势能原理求解出最好的一组解，这组解是在使其加权值最小的意义下对平衡方程及力边界条件的逼近。比较：虚功原理和能量变分原理虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于一切非线性力学问题。最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非常方便。能量变分原理方法可以很方便的扩展到结构位移场以外的不含非线性的领域，如求解热传导、电磁场、流体动力学等问题。关于集中力的说明体积力分布面力集中力单独考虑集中力外力载荷作业：一维拉杆问题1、应用弹性力学的基本方程和边界条件求解拉杆应力、应变及位移分布。2、应用最小势能原理求解该问题。3、应用虚位移原理求解该问题。有限元分析一般步骤一阶梯形状二杆Step1:几何离散——自然离散为2个杆单元Setp2:单元特征分析构造单元位移函数应变的表达应力的表达单元的应变能单元的外力功Step3:单元集成—系统的总势能Step4:变分处理—线性方程组Step5:处理位移边界条件并求解Step6:计算每个单元的应变及应力Step1.几何离散2个单元（编号：1，2）3个节点（编号：1，2，3）整体节点位移列阵整体等效节点力列阵Step2.单元特征分析—位移函数单元节点位移列阵：单元等效节点力列阵：单元节点坐标列阵：xixj利用节点条件：构造单元位移函数：单元特征分析—应变、应力形状函数矩阵应变矩阵应力矩阵由几何方程由物理方程单元特征分析—应变能、外力势能单元应变能计算：Ke—单元刚度矩阵单元外力功要求单元的外力功，关键是求出单元上的体积力和面积力等效作用到节点上的力的大小。单元等效节点力Step3.单元集成——应变能扩充叠加K—整体刚度矩阵整体集成Step3.单元集成——外力功扩充叠加Step3.单元集成——系统总势能Step4.变分处理Step5:处理位移边界条件并求解Step6:计算每个单元的应变及应力换个思路：多元函数求极值总结：有限元求解基本步骤几何离散：m个单元和n个节点的组合体单元特征分析：单元应变能，单元外力势能（等效节点载荷）单元集成：系统的总势能变分处理：系统的平衡方程（组）应用位移边界条件求出节点位移由节点位移求出单元的应变、应力整体节点位移列阵整体等效节点力列阵几何离散单元的节点描述单元分析单元位移场模式，所有物理量的表达（均用节点位移表示）整体平衡方程扩充叠加单元集成扩充叠加处理边界条件，求得满足位移边界条件的位移场求解其他力学量，如应变和应力等有限元解的误差及收敛性有限元解的误差收敛性相关准则位移单元解的下限性有限元解的误差模型误差：离散误差、边界条件误差计算误差：舍入误差、截断误差对于有限元这种数值计算方法，一般总是希望随着网格的逐步细分所得到的解能够收敛于问题的精确解。根据前面的分析，可知在有限元分析中，一旦确定了单元的形状之后，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立等等，都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，那么就很难获得良好的数值解。为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即1）位移模式必须包含单元的刚体位移。2）位移模式必须包含单元的常应变。3）位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。

1）位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。2）位移模式必须包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。3）位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以保证位移的协调性。在有限单元法中，把能够满足条件1和2的单元，称为完备单元，完备单元是收敛的必要条件。满足条件3的单元，叫做协调单元或保续单元。如三节点三角形单元，均能同时满足上述三个条件，因此属于完备的协调单元，完备的协调单元是收敛的充分条件。在某些梁、板及壳体分析中，要使单元满足条件3比较困难，所以实践中有时也出现一些只满足条件1和2的单元，其收敛性往往也能够令人满意。目前，完备而不协调的单元，已获得了很多成功应用。在有限元分析中，将实际连续体分成许多单元体的组合后，根据线性或非线性位移的假定，人为地选择一个位移场，通过这些措施所得到的模型比实际连续体的刚性要高。

因而，近似模型的刚度是实际连续体刚度的上界。若选择不协调单元，那么这种模型可能由于单元分离、叠加或单元之间形成铰而降低刚性，这种影响就有可能使得不协调元比应用协调元所得的结果要好。不过，应用不协调单元事先不能肯定所得的刚度是真实刚度的上界。换句话说