江苏省八年级数学上册第1-27讲讲义(打包27套)(新版)苏科版

第1讲图形的全等新知新讲知识点1.全等的概念在全等图形中，我们研究得最多的就是全等三角形，例如图中这两个三角形。EAFCDB△ABC经过一定的旋转、平移之后，是可以与△DEF重合的，所以这两个三角形是全等的。我们记作：△ABC≌△DEF.其中重合的顶点、边、角我们叫做对应顶点、对应边、对应角。注意：在全等的书写过程中，对应的顶点一定要写在对应位置上。例1：如图，D、E分别为△ABO和△ACO的边AB、AC上一点，沿AO对折后，△ABO和△ACO可重合，OE、OD也可重合，则△AOB≌，点B的对应点是点，边CO的对应边是．图中的全等三角形还有两对，分别是≌，______≌．ADEOCB金题精讲题一：如图，两个全等的等边三角形的边长为1m，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2014m停下，则这个微型机器人停在（）．A．点A处B．点B处C．点C处D．点E处ADBEC题二：全等三角形又叫做合同三角形．平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如△ABC和△A′B′C′是全等三角形，且点A与点A′对应，点B与点B′对应，1点C与点C′对应．当沿周界A-B-C-A及A′-B′-C′-A′环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②）．两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个翻转180度．下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的是（）．A．C．B．D．2第1讲图形的全等新知新讲例1：△AOC，C，BO，△AOE，△AOD，△BOE，△COD．金题精讲题一：B．题二：C．第2讲全等图形的性质新知新讲知识点1.全等的性质因为全等图形可以完全重合，那些重合的边和角在大小上就一定是相等的，所以全等图形有以下重要的性质：对应边相等，对应角相等例1：已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）．A．72°B．60°C．58°D．50°50°aca58°72°αbc金题精讲题一：如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．DGECFBA题二：如下图所示，已知△ABD≌△ACE，试说明BE=CD．34第2讲全等图形的性质新知新讲例1：D．金题精讲题一：∠DFB=∠FAB+∠B=65°+25°=90°∠DGB=∠DFB-∠D=65°．题二：△ABD≌△ACE，AD=AE，AB=AC，AD-AC=AE-AB，CD=BE．第3讲全等三角形的判定之SSS知识引入阿基米德曾经说过一句话：“给我一个支点，我就能撬动地球”，我今天把这句话山寨一下，如果给我们三条边，我们就能组成一个三角形。当然了，前提是这三条边满足三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。在这三条边长度确定的情况下，我们所组成的三角形之间是什么关系呢？这就是我们今天要探究的问题。我们一起来探索：1、三条边分别相等的三角形有什么关系？新知新讲知识点1.边边边（SSS）是不是所有的三边分别相等的三角形都是全等的呢？我们从尺规作图的角度来分析一下这个问题。ACB5同样是三角形ABC，我们用圆规截取AB、AC的边作弧，在边BC的同侧，只有这一个交点，证明这样的三角形是唯一的，也就是说形状和大小是确定的。有的同学可能会说在另一侧也有一个交点，但其实那个交点所组成的三角形和这个三角形也是全等的。所以我们可以得出结论：如果两个三角形三条边分别相等，那么这两个三角形全等，简称“边边边（SSS）”这是全等三角形的第一条判定。（再强调一遍性质和判定的区别）例1：如图，线段BC是△ABC和△BCD的公共边，且AB=CD，AC=BD，求证：△ABC≌△DCB．DBAC金题精讲题一：如图，△ABC中，AB=AC，M、N为边BC上两点，且BN=CM，AM=AN，求证△ABM≌△ACN．ABCMN题二：如图，C、D两点在线段BF上，A、E为线段CD外两点，连接AC、AB、ED、EF，且AB=EF，AC=ED，FC=BD，求证：EF∥AB．FECDAB6第3讲全等三角形的判定之SSS新知新讲例1：证明略．金题精讲题一：思路：BN=CM，所以BM=CN，所以△ABM≌△ACN．题二：思路：因为FC=BD，所以FD=BC，所以△ABC≌△EFD，所以∠B=∠F，所以EF∥AB．第4讲全等三角形的判定之SAS知识引入大家有没有想象过如果时间停滞了，这个世界会怎么样？落叶不再飘，河水不再流，我们不再成长，一切都是静止的，就像是这幅图片中的烟火一样，都凝固住了。大家不要误会，今天我可不是让大家写一篇命题作文。我们再想想，平时钟表都在这里转啊转，如果时间停滞了，钟表上的指针会成什么样子呢？我们一起来探索：2、钟表停滞的时候，指针会呈现出什么图形？新知新讲知识点1.边角边（SAS）同样，我们用尺规作图来说明这个问题。取△ABC，然后我作一个和∠A相等的角MA'N，在MA'上截取A'B'=AB，在NA'上截取A'C'=AC，那这样最后也只能够确定唯一的一个三角形，也就是说，如果我按照这个条件继续画很多个三角形的话，都只能画出这一种来，这些三角形都是全等的。CBA2NNNC'C'MMA'B'A'B'MA'这就是全等三角形的第二条判定如果两个三角形两条边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等，简称“边角边（SAS）”例1：如图，线段AB、AC交于点A，D、E分别是AB、AC上一点，且AD=AE，AB=AC，求证：△ABE≌△ACD．BDAEC金题精讲题一：如图，线段AC、BD交于点O，且O分别是AC、BD的中点，求证△AOD≌△COB．ABODC题二：如图，两个正三角形△ABC和△DCE的底边BC和CE在同一条直线上，连接BD、AE，求证：△ACE≌△BCD．3ADEBC4第4讲全等三角形的判定之SAS新知新讲例1：思路：AD=AE，AB=AC，∠A为公共角，所以△ABE≌△ACD．金题精讲题一：思路：AO=CO，DO=BO，∠AOD=∠BOC，所以△AOD≌△COB．题二：思路：BC=AC，CD=CE，∠BCD=∠ACE，△BCD≌△ACE．第5讲全等三角形的判定之ASA知识引入我们之前学过了全等三角形的两条判定，分别是边边边（SSS）和边角边（SAS），那我们今天来看另外一条判定。我们一起来探索：3、全等三角形的第三条判定？新知新讲知识点1.角边角（ASA）我们先来看，已知两个内角的大小后，如果相等的边正好是这两个内角的夹角的话，我们把这一条判定称为角边角（ASA）。同样，我们用尺规作图来说明这个问题。取△ABC，然后我作一个和AB相等的线段A'B'，以A'为顶点做一个与∠A相等的∠A'，同样做一个与∠B相等的∠B'，那这样最后也只能够确定唯一的一个三角形，也就是说，如果我按照这个条件继续画很多个三角形的话，都只能画出这一种来，这些三角形都是全等的。CBAA'B'5C'B'A'B'A'这就是全等三角形的第三条判定如果两个三角形两个内角及其夹边分别相等，那么这两个三角形全等，简称“角边角（ASA）”例1：已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：△AED≌△ABC．EA21DBC金题精讲题一：如图，AC∥DE，AB∥EF，CF=BD，求证AB=EF．FECDAB题二：求证：全等三角形对应角的角平分线长度相等．6CDBAC'D'A'B'7第5讲全等三角形的判定之ASA新知新讲例1：思路：∠1=∠2，所以∠EAD=∠BAC又因为∠B=∠E，AB=AE，所以△AED≌△ABC．金题精讲题一：思路：AC∥DE，AB∥EF，∠B=∠F，∠ACB=∠EDF，CF=BD，CD为公共边，所以△ABC≌△EFD．所以：AB=EF．题二：思路：用ASA证明△ACD≌△A’C’D’或证明△ABD≌△A’B’D’．第6讲全等三角形的判定之AAS知识引入我们上一讲提到过，三角形的角度决定了它的形状，边长决定了它的大小。如果有两个三角形它们有两个内角分别相等的话，那么这两个三角形的形状就是一样的，如果再加上一条边大小也相等了，也就是出现了全等。相等的话，那么这两个三角形我们一起来探索：4、全等三角形的第4条判定？新知新讲知识点1.角角边（AAS）我们已经知道，如果这两条边相等的话，这两个三角形是全等的，那这种情况怎么来描述呢？解AAS，两个角相等，并且其中一个等角的对边也相等分两种情况讲。我们称为角角边（AAS）8CC'BAA'B'这就是全等三角形的第4条判定如果两个三角形两个内角及其中一个角的对边相等，那么这两个三角形全等，简称“角角边（AAS）”例1：如图，点E是四边形ABCD对角线BD上一点，连接四边形对角线AC，且∠BAC=∠EAD，∠ABE=∠ACD，BE=CD.求证；AB=AC.ADEBC金题精讲题一：如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．CDEABF题二：已知：如图，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，且AC=CE．求证：△ABC≌△CDE．DECBA9题三：以下的边角相等关系的缩写中，有（）个不能用于证明三角形全等SASASASSAAASSSSAAAA．0B．1C．2D．310第6讲全等三角形的判定之AAS新知新讲例1：思路：由公共角得∠BAE=∠CAD，然后用AAS判定．金题精讲题一：思路：两种方法证明，法一，∠C=∠F，∠ABC=∠EDF，AB=DE；法二，∠C=∠F，∠A=∠E，AB=DE．题二：思路：三个垂直得到两个角相等（AA），加上AC=CE得到全等．题三：C．（SSA和AAA）第7讲全等三角形的判定之HL知识引入我们之前已经讲过了全等三角形的4条判定，这4条判定适用于所有的三角形。一开始就和大家说过，全等的判定有4+1条，其中的4是指之前适用于任意三角形的4条判定，那今天讲的内容就是这后面的“1”。对于直角三角形来说，除去之前的4条判定，让我们来看看还有1条判定是什么？我们一起来探索：直角三角形全等的第5条判定是什么？新知新讲知识点1.斜边直角边（HL）我们同样用尺规作图的方法验证一下，如果只知道一条斜边和一条直角边是否可以证明两个直角三角形全等呢？LH2我们可以看出，当斜边和一条直角边都确定的时候，那这个直角三角形的形状和大小也都确定了。也就是说，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等的话，那这两个直角三角形也就全等了。这就是直角三角形全等的特殊判定斜边和一条直角边相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边（HL）”例1：已知：如图，△ABC中，AB=AC，过点A作BC边上的高AD，求证：△ABD≌△ACD．ABCD金题精讲题一：已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD=CB，DE=BF，求证：AF=CE．BAFECD题二：已知：如图，AB⊥BD，AC⊥CD，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件，若加条件∠BAD=∠CAD，则可用判定．BDAC3题三：如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，由点D分别向AB、AC两边引垂线，并与AB、AC交于E、F两点，且BE=CF，请判断AD是否为∠BAC的角平分线，并证明．AEFBCD4第7讲全等三角形的判定之HL新知新讲例1：思路：AB=ACAD=ADRt△ABD≌Rt△ACD．金题精讲题一：思路：利用公共边EF，用HL证全等．题二：AB=AC或BD=CD；角角边或AAS．题三：思路：用了两次HL，先证明△BDE≌△CDF，再证明△AED≌AFD．第8讲全等三角形综合知识引入我们已经学完了全等三角形的全部的判定，总共有4+1条，那今天的课程我们主要是进行一个小结，通过一些比较基础的题目来练一练如何选择全等三角形的这几条判定。我们一起来探索：如何选择合适的全等三角形的判定方法？新知新讲知识点1.回顾全等三角形的判定首先，我们按照顺序来回忆一下这几条判定：1.已知两个角分别相等：2.已知两条边分别相等：3.直角三角形：例1：如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是（）．A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DCADBC金题精讲题一：如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）．A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF5BEFADC题二：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，且AD平分∠BAC，则下列结论中不正确的是（）．A．△ADF≌ADEB．△BDF≌CDEC．△ABD≌△ACDD．BD=ADBFDACE题三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．BEDAC6第8讲全等三角形综合新知新讲例1：D．其中，A选项SSS，B选项SAS，C选项AAS，D选项SSA．金题精讲题一：B．题二：D．其中，A选项AAS，B选项ASA，C选项AAS．题三：思路：已知一条斜边和一个直角边，然后通过导角可得∠BCE=∠ACD．第9讲角平分线的重要性质知识引入我们今天要讲一个之前讲过的重要的线段，就是之前和大家讲过的，看到角相等的时候要想到什么呢？对！就是角平分线。之前和大家说过，角平分线的性质有很多，不仅仅是平分角。那它还有什么性质呢，我们一起来看看。我们一起来探索：5、角平分线的重要性质是什么？新知新讲首先，我们一起来看一下上一讲讲过的一道题目。如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，且AD平分∠BAC，则下列结论中不正确的是（）A．△ADF≌ADEB.△BDF≌CDEC.△ABD≌△ACDD.BD=ADBFDACE知识点1.角平分线的重要性质我们就来作图看看：射线AD平分∠BAC，过AD上一点P作PM⊥AB，PN⊥AC，那么PM和PN相等吗？BMPANC用AAS简单再说明一下，和上一道题的方法一样。7那我们看，这个性质如何描述呢？首先我们做出了角平分线，然后再角平分线上任取了一点，过这一点向角两边引垂线段，拿着两个垂线段是相等的。我们之前还学过，过一点作直线的垂线段，那么这个线段的长度就叫作点到直线的距离对吧，所以这个性质应该描述为：角平分线上一点到角两边距离相等。例1：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）．A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OPAPOB金题精讲题一：如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．EDCABF题二：如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．AMDPNBC题三：已知，在四边形ABCD中对角线AC平分∠DAB，且∠DAB=120°，∠B和∠D互补．求证：AB+AD=AC．8CDAB9第9讲角平分线的重要性质新知新讲例1：D．金题精讲题一：由SSS证明△ABC≌△ADC，所以AC平分∠EAF，所以CE=CF．题二：由SAS先证明△ABD≌△CBD，然后说明BD平分ADC，然后说明PM=PN．题三：证明略．第10讲角平分线的判定知识引入大家回忆一下平行线、全等部分的内容，在学习几何知识的过程中，出现“性质”的地方往往要出现什么呢？是判定。玩过三国杀的同学对判定这个词很熟悉，因为闪电、乐不思蜀就经常也要用到判定。我们之前说过，性质是我们已经知道一个东西是什么了，然后让你去看看他有什么特点，而判定是告诉你一些特点，让你来判断这个东西是什么。我们昨天学习了角平分线的性质，今天就来看看：我们一起来探索：6、何如判定是角平分线？当然了，如果我们已经知道一条射线或线段把一个角分成了相等的两部分，他就是角平分线了，其实还有其他的判定。新知新讲知识点1.角平分线的判定我们就来作图看看：点P是∠BAC内一点，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，如果PM=PN，AP平分∠BAC吗？BMPANC2用HL证明。到角两边距离相等的点其实我们能够在∠BAC内找到无数个，但是这些店都有一个共同的特点，就是将顶点与它连接起来得线都能够平分∠BAC。那其实我们就找到了角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在该角的平分线上。例1：如图，在△ABC中，D为△ABC边BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（）．A．AD平分∠BACB．ME＝MFC．AE＝AFD．BD＝DCAMEFBCD金题精讲题一：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．BFADEC题二：如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC中点，且AE平分∠DAB。求证：BE平分∠ABC．题三：已知：△ABC中，PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB.求证：AP平分∠BAC．3APBC4第10讲角平分线的判定新知新讲例1：D．金题精讲题一：证明略．题二：证明略．题三：思路：作出辅助线，将角分线的性质与判定联系起来．第11讲与角平分线有关的问题知识引入我们前两讲学到了角平分线的性质和判定，先一起复习一下（重复一下性质和判定）。我们是通过全等的方法证明了这两条结论，这两条结论又可以应用于很多三角形的问题中，今天我们就一起来看看角平分线问题的“升级版”。我们一起来探索：7、角平分线上的长度问题8、角平分线相关的面积问题新知新讲知识点1.角平分线上的长度问题我们先来看一下这道题目。例1：如图，两条笔直的公路l、l相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、12B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l的距离为4公里，则村庄C到公路l的12距离是（）．A．3公里B．4公里C．5公里D．6公里l2CDBAOl1知识点2.角平分线相关的面积问题我们知道，角平分线涉及到了一个关键词——距离，点到直线的距离与垂直有关，这个垂直2关系经常能够作为底和高被利用，也就是说，角平分线经常与面积问题结合进行考察。例2题面：已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB:AC=3:1，则△ABD与△ACD的面积之比为．ABCD金题精讲题一：已知如图，OP是∠AOB的平分线，M为OP上一点，E，F是OA上任意两点，C，D是OB上任意两点，且EF=CD，则△FEM与△CDM的面积大小关系为：S_____S．（请填“＞”、△FEM△CDM“＜”或“=”）AFPEMBOCD题二：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，则△ABC的周长为cm．BEDCA3第11讲与角平分线有关的问题新知新讲例1：B．例2：3:1．金题精讲题一：=．题二：12cm．第12讲轴对称新知新讲知识点1.轴对称图形vs.关如果一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.于某条直线对称对称轴：这两个定义中的这条直线就是对称轴对称点：在两个图形关于某条直线对称中，能够重合的点就叫做对称点.例1：以下图形中，是轴对称图形的有；能够体现两个图形关于某条直线对称的有.知识点2.垂直平分线的概念4MAPA'QBB'RCC'N经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.例2：如图，点A、A’，B、B’,C、C’分别为轴对称图形的三组对应点，则下列说法不正确的是（）A．这个脸谱是一个轴对称图形B．线段AA’的中点M是点C．直线MN是线段CC’的垂直平分线D．∠MNB≠∠MNB’AA'MNBCB'C'P金题精讲题一：请作出△ABC关于直线MN的轴对称图形△A’B’C’MABCN5题二：将军饮马问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？BA河流题三：将△ABC的内角∠A沿直线DE对折，点A落在了△ABC内部，请探究一下∠A，对折后∠ADB和∠AEC之间的关系.BDACE6第12讲轴对称新知新讲例1：ABCDE例2：D金题精讲题一：略题二：略题三：2∠A=∠ADB+∠AEC第13讲垂直平分线新知新讲知识点1.垂直平分线的性质MAPA'QBB'RCC'N垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.例1：请你用全等的方法证明一下：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.MPOABN知识点2.垂直平分线的判定PAB到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.例2：如图，点D是△ABC内一点，且AB=AC，DB=CD，求证：线段AD在线段BC的垂直平分线上.7ADBC金题精讲题一：已知：△ABC中，BC边的垂直平分线交AC于D，交BC于E，△ABD的周长为17，BE=4，则△ABC的周长为.BEACD题二：求证：三角形的三条垂直平分线交于一点.ADEOBC8第13讲垂直平分线新知新讲例1：略例2：略金题精讲题一：25题二：略第14讲等腰三角形新知新讲知识点1.等腰三角形的定义如果一个三角形有两条边相等的话，那么这个三角形就被称为等腰三角形.相等的这两条边就叫做三角形的腰，另一条边就叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角，下面这两个角叫做底角.例1：（1）已知一个等腰三角形的底为4，腰为7，则该三角形的周长是多少？（2）已知一个等腰三角形有一条边长度为4，还有一条边长度为7，则该三角形的周长是多少？（3）已知一个等腰三角形有一条边长度为3，还有一条边长度为7，则该三角形的周长是多少？知识点2.等腰三角形的性质MADBCN等边对等角例2：已知一个等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是多少度？已知一个等腰三角形的底角为50°，则它的顶角是多少度？2已知一个等腰三角形有一个内角为70°，则它的底角是多少度？知识点3.等腰三角形的性质MADBCN三线合一例3：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等共有（）（底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线）三角形AEFBCDA、2对B、3对C、4对D、5对金题精讲题一：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的腰的长．题二：如图，△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=50°，求∠B、∠C的度数．ACBD3题三：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF=ED．AGFEBCD4第14讲等腰三角形新知新讲例1：1815或1817例2：65°80°70°或55°例3：B金题精讲题一：8cm或10cm题二：65°,32.5°题三：略第15讲等腰三角形的判定新知新讲等角对等边例1：△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=ACABC金题精讲题一：如图，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA=OB，试说明△OCD是等腰三角形.CDOAB题二：如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm5ADCBO题三：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BCD．点D是线段AC的中点AEDBC6第15讲等腰三角形的判定新知新讲例1：略金题精讲题一：略题二：A题三：D第16讲等边三角形的性质新知新讲等边三角形的角例1：已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：BD=DE．ADBEC重要的30°直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.1例2：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好2是∠ADB的平分线，求证：CD=1DB．2AECBD金题精讲题一：如图，在一场足球比赛中，球员A欲传球给同伴B，对方球员C意图抢断传球，已知球速为16m/s，球员速度为8m/s．当球由A传出的同时，球员C选择与AC垂直的方向出击，恰好在点D处将球成功抢断，则角α=。（球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑）7AαDBC题二：如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：PE+PF+PD=AH．AEFPBCHD题三：如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，求证：△ABD≌△CAEAEFBCD8第16讲等边三角形的性质新知新讲例1：略例2：略金题精讲题一：30°题二：略题三：略第17讲等边三角形的判定新知新讲等边三角形的判定ABC三条边都相等的三角形三个内角是等边三角形.是60°的等是等边三角形.例1：下列三角形：①有两个角等于60°；②有一；③三个外角（每个顶点处各取一）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰．其中是等边三角形的有（）是等边三角形.都相等的三角形有一个内角腰三角形个角等于60°的等腰三角形个外角三角形A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④金题精讲题一：如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC上两点，下列结论：①若AD=AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对ADEBC题二：如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形.9ADFBCE题三：如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？请说明理由.AEDBC10第17讲等边三角形的判定新知新讲例1：D金题精讲题一：C题二：略题三：△CDE是等边三角形，证明略第18讲勾股定理新知新讲知识点勾股定理的证明例题1：如图所示，用四块底为b、高为a、斜边为c的直角三角形拼成一个正方形，则大正方形的面积S有两种求法。第一种方法：直接使用正方形面积计算公式，则S=4个直角三角形面积，则S=；第二种方法：用小正方形面积加上；根据以上两种求面积的方法，可以建立等式：，化简后得：。（提示：可以用乘法公式(b－a)=2b2－2ab+a2）abc金题精讲题一：曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．下面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法可得．化简，可得a2+b2=c2．他的这个证明也被称为“总统法”．（提示：可以用乘法公式(a+b)=2a2+2ab+b2）11cbcaab题二：如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE并延长交AB于点F．（1）求证：DE⊥AB；1（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S=c(c+x)2△ABD你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．AFEDBC题三：大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h、h．12（1）请你结合图形来证明：h+h=h；1212ADEFBCM（2）当点M在BC延长线上时，h、h、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并证明12你的结论.AEDMBCF13第18讲勾股定理新知新讲例1：c2(b－a)+22abc2=(b－a)+22abc2=a2+b2金题精讲题一：(a+b)2ab+1c2(a+b)=2ab+1c1122222题二：用△ABC≌△DEC来说明垂直关系也是用双求法计算△ABD的面积题三：略第19讲勾股定理的使用新知新讲知识点1.勾股定理的基础应用Rt△ABC中，∠C=90°，则a+b2=c2.2注意：c一定是直角三角形中最长的边，也就是斜边，在计算过程中一定要弄清楚，不能搞混.勾股定理最基础的应用就是已知两边，求第三边.题一：如图，求直角三角形未知边的长度.（1）68（2）1312（3）判断：一直角三角形的两条边长度分别为4和5，则第三边长度一定是3.题二：Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，c=34,a:b=8:15，则a=，b=.金题精讲题一：如图，以数轴的4个单位长度为长，3个单位长度为宽作一个长方形，以数轴的原点为圆心，长方形对角线长为半径画圆，交数轴于点A，则点A表示的数是____________.2-10123456题二：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=12，AC=5，则△ABC的面积是，斜边AB上的高是.BDAC题三：铁匠Mr.Smith准备从一根长为90cm的铁丝上截取一段，和另外两根长为60cm和100cm的铁丝组装一个直角三角形，则他可以截取的铁丝长为___________cm.3第19讲勾股定理的使用新知新讲题一：（1）10.（2）5.（3）错.题二：16,，30.金题精讲题一：±5.题二：30，60.题三：80.13第20讲勾股定理的逆定理新知新讲知识点1.勾股定理的逆定理例1：判断正误：这样描述勾股定理的逆定理正确吗？如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．知识点2.如何判定直角三角形例2：分别以下列四组数为一个三角形的边长（1）1，2，3；（2）3，4，5；（3）5，12，13；（4）6，8，10．其中能组成直角三角形的有（）．A．4组B．3组C．2组D．1组金题精讲题一：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．A．CD、EF、GHB．AB、EF、GHC．AB、CF、EFD．GH、AB、CDEBCHDFAG题二：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列说法中错误的是（）．A．如果∠C－∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°B．如果a：b：c=3：4：5，则∠B=60°，∠A=30°C．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，那么△ABC是直角三角形D．如果c2－a2=b2，那么△ABC是直角三角形题三：如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．2DABC3第20讲勾股定理的逆定理新知新讲例1：错．例2：B．金题精讲题一：B．题二：B．题三：36．第21讲勾股定理的应用——知二求一算长度新知新讲知识点1.长度问题.题一：公园里有间距为3m的两棵树，其中大树高6m，小树高2m，有一只愤怒的小鸟从大树顶端沿直线飞到了小树顶端，问愤怒的小鸟飞了多少米？知识点2.行程中的距离问题.题二：已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里北西东南金题精讲5题一：在一次台风天气过后，一旗杆在其的B处折断，量得AC=6m，则旗杆原来有多高？18BCA4题二：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到万能的小明头顶正上方4km处，小明站在原地看着灰机灰灰灰，过了20秒，飞机距离小明头顶5km，问：飞机的速度是多少km/s？CBA5第21讲勾股定理的应用——知二求一算长度新知新讲题一：5m.题二：D.金题精讲3题一：9m.题二：km/s.20第22讲勾股定理的应用——用平方求面积新知新讲知识点1.梯子问题题一：在一次火灾中，消防员要通过梯子登上12米高的房顶，按照规定，为保证安全，梯子底端离建筑物最少要5米，则梯子长至少是米．知识点2.面积问题题二：问题1：以直角三角形的三边为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别为S、S、12S，探究S、S与S的关系（如图1）．3123问题2：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，面积分别为S、S、S，探究S、S与12312S的关系（如图2）．3S2Sa1bcSS1a2Sbc3S3图1图22金题精讲题一：如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到大厦楼顶，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的大厦楼顶距离地面多高？题二：如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，梯足也将向外移0.4米吗？如果不是的话，移动了多少米？AA'CBB'题三：如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）．A．4B．6C．16D．553第22讲勾股定理的应用——用平方求面积新知新讲题一：13．题二：（1）S+S=S；（2）S+S=S．123123金题精讲题一：14米．题二：不是0.4米，是0.8米．题三：C．第23讲勾股定理的应用——立体图形也能用勾股新知新讲知识点1.容纳问题题一：如图是一个长方体盒子，棱长AB=3cm，BF=4cm，BC=12cm．（1）连接AF，求AF的长；（2）一根长为15cm的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由．DCABGHEF知识点2.爬行问题题二：如图，一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________cm.BA金题精讲题一：将一根24cm的吸管，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设吸管露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm2题二：已知一辆卡车装满货物后，横截面为长方形，高为3.0米，宽为1.6米.这辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工厂厂门（厂门上方为半圆）？2.3m2m题三：如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，有一动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点M的最短距离的平方为.（结果保留π）DCMBA3第23讲勾股定理的应用——立体图形也能用勾股新知新讲题一：（1）5cm.（2）不能放进去，AG=13cm，能放进去的最长的木棒是13cm，所以15cm的木棒放不进去.题二：10.金题精讲题一：D．题二：当卡车宽为1.6米时，能通过的最大高度为2.9米，而卡车高3米，因此不能通过.题三：π2+1.第24讲平方根与算术平方根3孤独的IfearthatIwillalwaysbealonelynumberlikerootthreeWhen,hark,justwhatisthisIsee?AnothersquarerootofathreeHasquietlycomewaltzingbyTogethernowwemultiplyToformanumberwepreferRejoicingasaninteger新知新讲知识点1.平方根像这样，5和－5就叫作25的平方根。也就是说：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根。例题1：一个正数有几个平方根？他们是什么关系？0有几个平方根？一个负数有几个平方根？知识点2.算术平方根我们刚才题目中说到了，正数有2个平方根，0的平方根就是0，负数没有平方根。如果一个数有平方根的话，其中非负的那一个我们叫做这个数的算术平方根。也就是说：如果正数x满足x=2a，那么x叫做a的算术平方根。我们知道正方形的面积求周长正是求得面积的算术平方根。这时，我们记作：x=2a，读作“二次根号a”，简写为a，读作“根号a”例题2：请写出以下描述中正确的号序：。①16=±4②3是9的平方根③9的平方根是3④a是正数a的算术平方根，正数a的平方根是±a2⑤4有平方根，5没有平方根⑥0的平方根和算术平方根一样金题精讲25题一：7的平方根是，|－9|的算术平方根是，的平方根是，6416的平方根是。题二：3介于哪两个整数之间？5呢？和360最接近的整数是多少？3第24讲平方根与算术平方根新知新讲例1：2，互为相反数，1，0例2：②④⑥金题精讲5题一：±7，3，±，±2题二：1，2，198第25讲立方根新知新讲知识点1.立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫作a的立方根。例题1：一个正数有几个立方根？0有几个立方根？是谁？负数有立方根吗？知识点2.立方根的表示方法要想知道怎么表示立方根，我么先看看算术平方根是怎么表示的：x=2a，读作“二次根号a”，简写为，读作“根号a”a类似，我们用3a，读作“三次根号a”，表示立方根27是，的立方根是；125例题2：①－216的立方根②17的立方根是，的立方根是；③10的平方根是，10的算术平方根是，10的立方根是.金题精讲题一：请求出下列各数的立方根17125729，4，，(-5)327216题二：平方根等于本身的数有等于本身的数有等于本身的数有算术平方根立方根2题三：在立方根计算中，有一个公式是3ab3ab。3（1）万能的小明在验证32223是否正确的过程中，2运用了以上公式。他的思路是：77因为238，所以右边38323，左边33，所以上式成立。161421677777请你模仿一下万能的小明，判断一下下列式子是否正确：33333326263444346363355535124124含有n（n为正整数）的式（2）你是否发现了什么规律呢？能否用一个子来表示你发现的规律呢？3第25讲立方根新知新讲3例1：1；1，是0；有例2：，②317，35③±10，10，3105金题精讲55题一：9，，，题二：nn0,1；0，±1题三：n30；n3n31n3136第26讲实数新知新讲知识点1.无理数无限不循环小数叫做无理数。我们现在接触到的无理数主要分为