函数的极值与导数

1如何正确理解极值剖析:极大值与极小值统称为极值在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值关于极值请注意以下几点:1极值是一个局部概念由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小2函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个4函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点5若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数的极值点也就是说,若f'c存在,则“f'c=0”是“f在=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件3极大值与极小值之间无确定的大小关系在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小如图所示6若f在区间a,b内有极值,则f在a,b内一定不是单调函数,即在某区间内单调的函数没有极值7如果函数f在上有极值,那么它的极值点的分布是有规律的相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地,当函数f在上的极大值点、极小值点是交替出现的的极值剖析:归纳总结极值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间的分界点极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值题型一题型二题型三题型四求函数的极值【例1】求下列函数的极值:1f=3-12;分析:求f的定义域→求f'→解方程f'=0→列表分析→结论题型一题型二题型三题型四解:1函数f的定义域为R;f'=32-12=32-2令f'=0,得=-2或=2当变化时,f',f的变化情况如下表:从表中可以看出,当=-2时,函数有极大值,且f-2=-23-12×-2=16当=2时,函数有极小值,且f2=23-12×2=-16题型一题型二题型三题型四反思求函数的极值应注意以下几点:1在讨论可导函数f在定义域内的极值时,若方程f'=0的实根较多时,应注意使用表格,使极值点一目了然2讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四已知极值求参数【例2】已知f=33a2ba2在=-1处取极值0,求常数a,b的值分析:求f'→建立关于a,b的方程组→求解a,b→将a,b代入原函数验证极值情况→根的取舍题型一题型二题型三题型四解:因为f在=-1时有极值0,

当a=1,b=3时,f'=3263=312≥0,所以f在R上为增函数,无极值,故舍去当a=2,b=9时,f'=32129=313所以当∈-∞,-3时,f为增函数;当∈-3,-1时,f为减函数;当∈-1,∞时,f为增函数所以f在=-1时取得极小值,因此a=2,b=9题型一题型二题型三题型四反思当已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:1常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知f=3a2bc,f在点=0处取得极值,并且在单调区间上具有相反的单调性1求实数b的值;2求实数a的取值范围分析:由函数在区间上具有相反的单调性,可以确定另一个极值点一定落在2到4之间题型一题型二题型三题型四极值的综合运用【例3】求函数f=3-32-aa∈R的极值,并讨论a为何值时函数f恰有一个零点分析:求出函数的单调区间和极值,借助函数图象判定函数零点的个数解:f'=32-6,函数f的定义域为R,由f'=0得1=0,2=2当变化时,f'与f的变化情况如下表:因此,函数f在=0处有极大值,极大值为f0=-a;在=2处有极小值,极小值为f2=-4-a题型一题型二题型三题型四函数f的零点即方程f=0的解,也就是方程3-32=a的解,f的零点个数为直线y=a与曲线y=3-32的交点个数,易知函数y=3-32的极大值为0,极小值为-4如图所示故当a>0或a<-4时,函数f恰有一个零点题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:把导数为零的点误认为极值点而致错【例4】若函数f=3a2ba2在=1处取得极值10,试求a,b的值错因分析:函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件,而非充分条件错解中忽略了对得出的两组解进行检验而出