双曲线几何性质省赛一等奖

双曲线的几何性质第二课时制作人：张汝波图像与性质

1标准方程范围对称性顶点焦点轴离心率渐近线12222=-byax≥a或≤-a关于轴,y轴,原点对称实轴A1A2虚轴B1B2F1(-c,0)F2(c,0)y=abx±xyA2OA1B1B2A1-a,0、A2a,0图像与性质

2标准方程范围对称性顶点焦点轴离心率渐近线关于轴,y轴,原点对称实轴A1A2虚轴B1B2F1(0,-c)F2(0,-c)y=bax±xyA2OA1B1B2y≥a或y≤-aA10,-a、A20,-a12222=-bxay练习:填表

标准方程x28y2=3225x249y2=25×49实轴长虚半轴长范围焦点坐标顶点坐标离心率渐近线||≥1014|y|≥50,±5例1:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:1双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;2双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1证明:1设已知双曲线的方程是:则它的共轭双曲线方程是:渐近线为：渐近线为:可化为：故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线证明：2设已知双曲线的焦点为Fc,0,F-c,0它的共轭双曲线的焦点为F1’0,c’,F2’0,-c’,∵∴c=c'所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？共轭双曲线和性质:1双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;

2双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上渐近线方程为,即渐近线方程为判断:双曲线与双曲线的渐近线相同吗?②若<0,则双曲线方程可化为∴双曲线的渐近线方程为说明：①若>0，则双曲线方程可化为∵焦点为4,0，∴c2=16=9λ4λ=13λ，∴∴双曲线方程为：例2．求中心在原点，一条渐近线方程为23y=0,且一焦点为4,0的双曲线标准方程解:方法一由已知设双曲线的标准方程为例2求中心在原点,一条渐近线方程为23y=0,且一焦点为4,0的双曲线标准方程解：（方法二）由已知设双曲线的标准方程为∵双曲线一条渐近线方程为又∵焦点4,0，∴c=42∵c2=a2b23，∴由1、2、3得∴双曲线方程为：设双曲线的方程为当>0时∵双曲线的实轴长为12∴9=36，=4此时双曲线方程为∴当<0时4=36，=9

此时双曲线方程为:2y2410=0和y2=22的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程解：∴渐近线方程为2y2410=0和y2=22的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程解：∴渐近线方程为当焦点在轴上时由∴所求双曲线方程当焦点在y轴上时由∴所求双曲线方程解：设所求双曲线方程为则解得m=8∴所求双曲线方程为xyA2OA1B1B2xyA2OA1B1B2xyA2OA1B1B2虚轴长=实轴长的双曲线叫等轴双曲线:(1)离心率e=;渐进线为y=±x(2)可化为x2-y2=a2.例5双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程精确到1m令点C’的坐标为（13,y），则点B’的坐标为（25,y55）因为点B、C在双曲线上，所以解：如图817，建立直角坐标系Oy,使A圆的直径AA′在轴上，′B