二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

§73二元一次不等式组与简单的线性规划问题基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1一般地，二元一次不等式A＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线A＋By＋C＝0某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线以表示区域＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成2由于对直线A＋By＋C＝0同一侧的所有点，y，把它的坐标，y代入A＋By＋C，所得的符号都，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点0，y0作为测试点，由A0＋By0＋C的 即可判断A＋By＋C>0表示的直线是A＋By＋C＝0哪一侧的平面区域1二元一次不等式表示的平面区域知识梳理平面区域不包括实线包括符号相同2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的

不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求

或

的函数线性目标函数关于x，y的

解析式一次最大值最小值一次可行解满足

的解可行域所有

组成的集合最优解使目标函数取得

或

的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的

或

问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：1直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；2特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取0,1或1,0来验证3重要结论1利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于A＋By＋C>0或A＋By＋C<0，则有1当BA＋By＋C>0时，区域为直线A＋By＋C＝0的上方；2当BA＋By＋C<0时，区域为直线A＋By＋C＝0的下方2最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个知识拓展判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集2不等式A＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线A＋By＋C＝0的上方3点1，y1，2，y2在直线A＋By＋C＝0同侧的充要条件是A1＋By1＋CA2＋By2＋C>0，异侧的充要条件是A1＋By1＋CA2＋By2＋C<0思考辨析√×√4第二、四象限表示的平面区域可以用不等式y<0表示5线性目标函数的最优解是唯一的6最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解7目标函数＝a＋byb≠0中，的几何意义是直线a＋by－＝0在y轴上的截距√×√×

1下列各点中，不在＋y－1≤0表示的平面区域内的是A0,0 B－1,1C－1,3 D2，－3考点自测答案解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.

答案解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C.

A0B3C4D5答案解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，几何画板展示答案解析0画出可行域为阴影部分.z＝－3x＋y，即y＝3x＋z过交点A时，z最小.几何画板展示5教材改编投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________用，y分别表示生产A，B产品的吨数，和y的单位是百吨答案解析用表格列出各数据

AB总数产品吨数xy

资金200x300y1400场地200x100y900所以不难看出，≥0，y≥0,200＋300y≤1400,200＋100y≤900题型分类深度剖析例11不等式－2y＋1＋y－3≤0在坐标平面内表示的区域用阴影部分表示，应是下列图形中的题型一二元一次不等式组表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题

答案解析

答案解析

命题点2含参数的平面区域问题答案解析又∵当m＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m＝1答案解析几何画板展示不等式组表示的平面区域如图所示思维升华1求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形如平行四边形或梯形，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可2利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解

答案解析几何画板展示由图可知，当m≤1时，函数y＝2的图象上存在点，y满足约束条件，故m的最大值为1

A1B－1C0D－2答案解析由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直.①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求.②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求.题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值答案解析命题点2求非线性目标函数的最值解答几何画板展示如图中阴影部分所示∴的取值范围是[2，＋∞2若＝2＋y2，求的最大值与最小值，并求的取值范围解答＝2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此2＋y2的最小值为OA2，最大值为OB2∴的取值范围是引申探究解答∴z的取值范围是(－∞，0].＝2＋y2－2－2y＋的最大值、最小值解答z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，命题点3求参数值或取值范围5答案解析显然，当m<2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A1,1此时min＝1－1＝0≠－1显然都不符合题意平面区域为一个三角形区域，由图可知，当直线y＝－经过点C时，取得最小值，答案解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分思维升华1先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值2当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，3当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件

答案解析A－2 B－1 C1 D2对于选项A，当m＝－2时，可行域如图①，直线y＝2－的截距可以无限小，不存在最大值，不符合题意，故A不正确；对于选项B，当m＝－1时，m－y≤0等同于＋y≥0，可行域如图②，直线y＝2－的截距可以无限小，不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m＝1时，可行域如图③，当直线y＝2－过点A2,2时截距最小，最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m＝2时，可行域如图④，直线y＝2－与直线OB平行，截距最小值为0，最大为0，不符合题意，故D不正确答案解析题型三线性规划的实际应用问题例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元1试用每天生产的卫兵个数与骑兵个数y表示每天的利润ω元；解答依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.2怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解答目标函数为ω＝2＋3y＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，∴最优解为A50,50，此时ωma＝550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元思维升华解线性规划应用问题的一般步骤1审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系2设元：设问题中起关键作用或关联较多的量为未知量，y，并列出相应的不等式组和目标函数3作图：准确作出可行域，平移找点最优解4求解：代入目标函数求解最大值或最小值5检验：根据结果，检验反馈跟踪训练3某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解答设生产A型电视机台，B型电视机y台，线性目标函数为＝6＋4y根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l0：3＋2y＝0，当直线l0平移至点A时，取最大值，所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大含参数的线性规划问题现场纠错系列81含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答2目标函数含参的线性规划问题，要根据的几何意义确定最优解，切忌搞错符号错解展示典例1在直角坐标系Oy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数的取值范围是________2已知，y满足约束条件若＝a＋y的最大值为4，则a＝_____现场纠错纠错心得解析1如图，直线y＝－1－1过点1，－1，作出直线y＝2，当<－1或0<<2或>2时，不等式组表示一个三角形区域2由不等式组表示的可行域，可知＝a＋y在点A1,1处取到最大值4，∴a＋1＝4，∴a＝3答案1－∞，－1∪0,2∪2，＋∞23返回解析1直线y＝－1－1过定点1，－1，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为－∞，－1，只有此时可构成三角形区域2作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示＝a＋y等价于y＝－a＋，因为的最大值为4，即直线y＝－a＋的纵截距最大为4若＝a＋y在A1,1处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有直线y＝－a＋过点2,0且－a<0时符合题意，∴4＝a×2＋0，即a＝2答案1－∞，－122返回课时作业1若点m,1在不等式2＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是Am≥1Bm≤1Cm<1Dm>1√答案解析由2m＋3－5>0，得m>1123456789101112131415√答案解析如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图象过点(2,1)时，实数m有最大值1.123456789101112131415＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有答案解析A0个 B1个C2个 D无数个√123456789101112131415由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分直线2＋y－10＝0恰过点A5,0，且其斜率＝－2<AB＝，即直线2＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A5,0123456789101112131415√答案解析123456789101112131415求A，B两点的坐标分别为和1,0，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a≤1或a≥不等式组表示的平面区域如图阴影部分，12345678910111213141552016·天津设变量，y满足约束条件则目标函数＝2＋5y的最小值为答案解析A－4B6C10D17√123456789101112131415由约束条件作出可行域如图所示，平移该直线，易知经过点A时最小又知点A的坐标为3,0，∴min＝2×3＋5×0＝123456789101112131415，y满足约束条件则＝2－y的最大值为答案解析A10B8C3D2√123456789101112131415画出可行域如图所示由＝2－y，得y＝2－，欲求的最大值，可将直线y＝2向下平移，当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距－最小时，即得的最大值，如图，可知当过点A时最大，即A5,2，则ma＝2×5－2＝81234567891011121314157某公司生产甲、原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是A1800元 B2400元C2800元 D3100元√答案解析123456789101112131415设每天生产甲种产品桶，乙种产品y桶，则根据题意得、y满足的约束条件为设获利元，则＝300＋400y画出可行域如图123456789101112131415画出直线l：300＋400y＝0，即3＋4y＝0平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值即M的坐标为4,4，∴ma＝300×4＋400×4＝2800元故选C123456789101112131415A－2 B2C－1 D1√答案解析123456789101112131415作出不等式组对应的平面区域如图，由图象可知当P位于点D1,0时，直线AP的斜率最小，123456789101112131415答案解析√123456789101112131415作出可行域，如图所示，则目标函数＝－2y在点1,0处取得最大值1，在点－1,1处取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，从而可知方程2－＋1＝0在区间－3，1上有两个不同实数解123456789101112131415令f＝2－＋1，，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________答案解析123456789101112131415直线－y＋1＝0过点0,1，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线－y＋1＝0垂直于y轴如图1或与直线＋y＝0垂直如图2时才符合题意123456789101112131415，y满足约束条件若目标函数＝a＋y其中a>0仅在点3,0处取得最大值，则a的取值范围是__________答案解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<

，123456789101112131415答案解析123456789101112131415设′＝，则′的几何意义为动点P，y到定点D－1，－1的斜率画出可行域如图阴影部分所示，则易得′∈，∴＝1＋2·′∈123456789101112131415答案解析作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线