二次函数与一元二次方程、不等式

第二章§23二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个

，并且未知数的最高次数是

的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数未知数2思考a2b＋2ab2＋9>0ab≠0可看作一元二次不等式吗？答案可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝a2＋b＋c，我们把使的实数叫做二次函数y＝a2＋b＋c的零点a2＋b＋c＝0思考二次函数y＝2－4的零点是什么？答案令y＝2－4＝0，解得＝±2，所以二次函数y＝2－4的零点是2和－2判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根知识点三二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系ax2＋bx＋c>0(a>0)解集________________________Rax2＋bx＋c<0(a>0)解集__________________{|<1，或>2}{|1<<2}∅∅思考一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？答案一元二次不等式a2＋b＋c>0a>0的解集就是一元二次函数y＝a2＋b＋ca>0的图象在轴上方的点的横坐标的集合；a2＋b＋c<0a>0的解集就是一元二次函数y＝a2＋b＋ca>0的图象在轴下方的点的横坐标的集合预习小测自我检验2<2的解集是_____________解析由2<2可得2－2<0，2－－1>0的解集是_______________3不等式－32＋5－4>0的解集为____∅解析原不等式变形为32－5＋4<0因为Δ＝－52－4×3×4＝－23<0，所以32－5＋4＝0无解由函数y＝32－5＋4的图象可知，32－5＋4<0的解集为∅2题型探究PARTTWO一、一元二次不等式的解法例1解下列不等式：1－22＋－6<0；解原不等式可化为22－＋6>0因为方程22－＋6＝0的判别式Δ＝－12－4×2×6<0，所以函数y＝22－＋6的图象开口向上，与轴无交点如图所示观察图象可得，原不等式的解集为R2－2＋6－9≥0；解原不等式可化为2－6＋9≤0，即－32≤0，函数y＝－32的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{|＝3}32－2－3>0解方程2－2－3＝0的两根是1＝－1，2＝3函数y＝2－2－3的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点－1,0和3,0，如图所示观察图象可得不等式的解集为{|<－1或>3}反思感悟解一元二次不等式的一般步骤1将一元二次不等式化为一端为0的形式习惯上二次项系数大于02求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根3画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中4观察图象中位于轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集跟踪训练解关于的不等式2－3a－1＋2a2－2>0解原不等式可化为>0，讨论a＋1与2a－1的大小1当a＋1>2a－1，即a<3时，不等式的解为>a＋1或<2a－12当a＋1＝2a－1，即a＝3时，不等式的解为≠43当a＋1<2a－1，即a>3时，不等式的解为>2a－1或<a＋1综上，当a<3时，不等式的解集为{|>a＋1或<2a－1}，当a＝3时，不等式的解集为{|≠4}，当a>3时，不等式的解集为{|>2a－1或<a＋1}二、含参数的一元二次不等式的解法二、含参数的一元二次不等式的解法例2解关于的不等式a2－2≥2－a∈R解原不等式可化为a2＋a－2－2≥0①当a＝0时，原不等式化为＋1≤0，解得≤－1综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{|≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；反思感悟解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算2＋b＋c>0的解集为{|－2<<3}，则方程a2＋b＋c＝0的两根分别为________－2,3解析不等式a2＋b＋c>0的解集为{|－2<<3}，所以方程a2＋b＋c＝0的两根分别－2,3三、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例3已知关于的不等式a2＋b＋c>0的解集为{|2<<3}，求关于的不等式c2＋b＋a<0的解集解由不等式a2＋b＋c>0的解集为{|2<<3}可知a<0，且2和3是方程a2＋b＋c＝0的两根，故不等式c2＋b＋a<0，反思感悟已知以a，b，c为参数的不等式如a2＋b＋c>0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循1根据解集来判断二次项系数的符号2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式3约去a，将不等式化为具体