两角差的余弦公式市赛一等奖

第五章三角函数§551两角差的余弦公式探要点·究所然情境导学探究点一两角差余弦公式的探索思考1有人认为cosα－β＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举两例加以说明．答不正确．cosα－β≠cosα－cosβ；cosα－β≠cosα－cosβ思考2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝＝；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝ ＝；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝＝；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝＝．猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝；即： 1cos0°cos30°0cos－90°cos－60°cosα－βcosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考1若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？答cosα＝cos＝cosα＋βcosβ＋sinα＋β·sinβ思考2利用α－α－β＝β可得cosβ等于什么？答cosβ＝cos＝cosαcosα－β＋sinα·sinα－β．探究点三两角差余弦公式的应用思考3若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cosα－β等于什么？例1利用两角差余弦公式求cos75°、cos15°的值．解cos75°＝cos120°－45°＝cos120°·cos45°＋sin120°·sin45°cos15°＝cos45°－30°＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°反思与感悟在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15°＝cos60°－45°，要学会灵活运用跟踪训练1求cos105°＋sin195°的值．解cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin90°＋105°＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos135°－30°＝2cos135°cos30°＋sin135°sin30°反思与感悟1注意角α、β的象限，也就是符号问题．2三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝α＋β－β，α＝β－β－α，α＝2α－β－α－β，又∵β＝α＋β－α，∴cosβ＝cos＝cosα＋βcosα＋sinα＋βsinα反思与感悟1本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围找区间；③确定角的值．2确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．cos2β＝cos＝cosα＋βcosα－β＋sinα＋βsinα－β当堂测·查疑缺12378°cos18°＋sin78°sin18°的值为A123165°等于C解析cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－123所以cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ呈重点、现规律1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些