数列的概念-柳州第三中学课件

第二章数列第二章数列1本章内容2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第二章小结本章内容2.1数列的概念与简单表示法2.2等差22.1数列的概念与简单表示法第一课时第一课时第二课时2.1数列的概念与简单表示法第一课时第一课时第二课时学习要点1.什么是数列?什么是数列的项?

2.什么是有穷数列?什么是无穷数列?什么是递增数列?什么是递减数列?3.什么叫数列的通项公式?学习要点1.什么是数列?什么是数列的项?4【数列的概念与表示】操作题:请同学们写出下面的数:(1)某地赶集的日期是逢三、逢六、逢九,按顺序写出一个月中的赶集日期;(2)从小到大的正偶数;(3)边长分别是1,2,3,4,5的正方形面积;(4)第一个数是2,以后每一个数是前一个数的一半;(5)2与(-3)的1次方、2次方、3次方、4次方、…的和;(6)本学期各周的天数;(7)第一、二个数都是1,以后的每一个数都等于前两个数的和.3,6,9,13,16,19,23,26,29.2,4,6,8,10,12,….1,4,9,16,25.-1,13,-19,97,….7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7.1,1,2,3,5,8,13,21,34,….【数列的概念与表示】操作题:请同学们写出按一定顺序排成的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫首项),排在第二位的叫第2项,…,排在第n位的叫第n项.1,2,3,…,n叫序号,数列的每一项都与它的序号有关.{bn}.一个数列的一般形式可写成a1，a2，a3，…，an，…或b1，b2，b3，…，bn，…简记为{an},如:从小到大的正偶数组成的数列{an}:2,4,6,8,10,12,….a1=2,a2=4,…按一定顺序排成的一列数叫做数列,数列中项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.如:

我们刚写出的一个月中的赶集日期:3,6,9,13,16,19,23,26,29.这是有穷数列.从小到大的正偶数:2,4,6,8,10,12,….这是个无穷数列.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.如上面的正偶数数列:2,4,6,8,10,12,….项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫摆动数列.各项都相等的数列叫常数列.如前面举到的后一个数是前一个数的一半组成的数列:如前面举到的本学期各周的天数:7,7,7,7,…如前面举到的2n+(-3)n:-1,13,-19,97,….从第2项起,每一项都小于它的前一项问题1.同学们写出的七个数列,它们的首项各是多少?如果都用{an}的表示,那么各数列的a4是多少?哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?哪些是递增数列,哪些是递减数列?哪些是常数列?哪些是摆动数列?

(1)3,6,9,13,16,19,23,26,29.

(2)2,4,6,8,10,12,….

(3)1,4,9,16,25.(4)(5)

-1,13,-19,97,-211,….

(6)7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7.

(7)1,1,2,3,5,8,13,21,34,….a4=13.a4=8.a4=16.a4=97.a4=7.a4=3.(1)(3)(6)是有穷数列;(2)(4)(5)(7)是无穷数列.(1)(2)(3)是递增数列;(4)是递减数列.(6)是常数列;(5)是摆动数列.问题1.同学们写出的七个数列,它们练习:(课本28页“观察”)下面的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)全体自然数构成数列0,1,2,3,….

(2)1996~2002年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132.

(3)无穷多个3构成数列3,3,3,3,….

(4)目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列(单位:元)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.

(5)

-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…,构成数列

-1,1,-1,1,….

(6)的精确到1,0.1,0.01,0.001,…,的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1.41,1.414,…;2,1.5,1.42,1.415,….递增数列递增数列常数列递减数列摆动数列递增数列递减数列练习:(课本28页“观察”)下面的数列,问题2.观察下列两个数列,它们的各项各有什么规律?是否可以用序号来表示它们的各项?(1)1,3,5,7,9,…;(2)6,12,24,48,96,….第(1)个数列是正奇数数列,设这个数列为{an},各项用序号表示为:a1=21-1,a2=22-1,a3=23-1,a4=24-1,……an=2n-1.第(2)个数列的规律是:后一个数是前一个数的2倍,a1=23,设这个数列为{an},a2=2a1=2

23a3=2a2=2(223)=223,=233,……an=32n.问题2.观察下列两个数列,它们的各有些数列,它的第n项an可用项数n(n∈N+)的函数来表示,如数列1，3，5，7，9，…an=2n-1;2，5，10，17，26，…an=n2+1;3，6，12，24，48，…an=3

2n-1;0，1，0，1，0，1，…象这样,用正整数n的关系式来表示某个数列的第n项an的式子，叫做这个数列的通项公式.数列也可以用列表和图象的方法表示,它的图象是一系列孤立的点.数列可看成是定义在正整数集合上的函数,其通项公式就是函数的解析式.有些数列,它的第n项an可用项例1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,(2)2,0,2,0.问:这两个通项公式还可以写成其它形式吗?(1)解:符号正负相间,且第一项是正,可用(-1)n+1表示符号;分子恒为1,分母是正整数.则通项可写成(2)考虑1+1=2,1-1=0,则数列即为1+1,1-1,1+1,1-1,…则通项可写成an=1+(-1)n+1.an=1-(-1)n例1.写出下面数列的一个通项公式,例2.如图的三角形称为谢宾斯基三角形.在图中的四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.(1)(2)(3)(4)解:由图知a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,由此规律可得an=3n-1.其图象是指数函数图象上的4个点.nano123413927····例2.如图的三角形称为谢宾斯基三角形.练习:(课本31页)第1、4题.练习:(课本31页)第1、4题.1.根据下列通项公式填表3(3+4n)…153……ann……5…21n21解:∵an=3(3+4n),则a1=3(3+41)=21,a2=3(3+42)=33,a5=3(3+45)=69,an=3(3+4n)=153,解得n=12.336912练习:(课本31页)1.根据下列通项公式填表3(3+4n)…153……ann4.数列的前5项分别是以下各数,写出各数列的一个通项公式:

(1)(2)(3)解:(1)数列的分母是正奇数,则(2)奇数项为负,则4.数列的前5项分别是以下各数,4.数列的前5项分别是以下各数,写出各数列的一个通项公式:

(1)(2)(3)解:(3)首项以后的每一项都是前一项的倍,a1=1,……4.数列的前5项分别是以下各数,【课时小结】按一定顺序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项,排在第n位的叫第n项,n叫序号,排在第一位的数称为第1项(通常叫首项)数列通常用{an},{bn}等表示.如{an}中的a1,a2,…,an等.【课时小结】按一定顺序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数【课时小结】项数无限的数列叫做无穷数列.项数有限的数列叫做有穷数列.每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.各项都相等的数列叫常数列.大小无序的数列叫摆动数列.【课时小结】项数无限的数列叫做无穷数列.项数有限的数列叫做有【课时小结】用正整数n的关系式来表示某个数列的第n项an的式子，叫做这个数列的通项公式.数列的通项公式是关于正整数n的函数.如:an=2n-1(n

N+)是关于n的一次函数,数列{an}是一个正奇数数列.(1)学会归纳简单数列的通项公式;要求:(2)能根据通项公式写出数列的项.【课时小结】用正整数n的关系式来表示某个习题2.1A组第1、3、5题.习题2.1A组第1、3、5题.习题2.1A组1.分别写出下面的数列:(1)0~20之间的质数按从小到大的顺序构成的数列;(2)0~20之间的合数的正的平方根按从小到大的顺序构成的数列;(3)精确到1,10-1,10-2,10-3,…,10-6的不足近似值与过剩近似值分别构成的数列.解:(1)2,3,5,7,11,13,17,19.(2)(3)1,1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205,1.732050.2,1.8,1.74,1.733,1.7321,1.73206,1.732051.习题2.1A组1.分别写出下面的数列3.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出各数列的一个通项公式:(1)(),-4,9,(),25,(),49;(2)1,(),2,(),1-16-36解:各项是一个平方数,符号正负相间.an=(-1)n+1n2.(1)(2)各项是正整数的算术平方根.3.观察下面数列的特点,用适当的数5.根据下面的图形及相应的点数,在空格和括号中分别填上适当的图形和点数,并写出点数构成的数列的一个通项公式.16111473815()()()()()()162110132435an=5n-4.an=3n-2.an=(n+1)2-1.5.根据下面的图形及相应的点数,在2.1数列的概念与简单表示法第二课时第一课时第二课时2.1数列的概念与简单表示法第二课时第一课时第二课时学习要点

1.什么是数列的递推公式?它与通项公式有什么区别?学习要点1.什么是数列的递推公式?27问题3.下面描述的两个数列有什么特点?能写出它们相邻两项的关系吗?(1)第一个数是2,以后每一个数是前一个数减去3的倒数;(2)第一、二个数都是1,以后的每一个数都等于前两个数的和.当n=1时,a1=2,当n>1时,an=(1)a1=2,=-1,……问题3.下面描述的两个数列有什么特点?问题3.下面描述的两个数列有什么特点?能写出它们相邻两项的关系吗?(1)第一个数是2,以后每一个数是前一个数减去1的倒数;(2)第一、二个数都是1,以后的每一个数都等于前两个数的和.(2)当n=1,2时,a1=a2=1,当n>2时,an=an-1+an-2.a1=a2=1,a3=a2+a1=1+1=2,a4=a3+a2=2+1=3,a5=a4+a3=3+2=5,a6=a5+a4=5+3=8,问题3.下面描述的两个数列有什么特点?如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是数列的一种表示方法.如以上问题中的两数列:(1)(2)如果已知数列{an}的第1项(或前例3.

设数列{an}满足写出这个数列的前5项.解:a1=1,=2,例3.设数列{an}满足写出这个数列的前5项.解2.已知数列{an}满足a1=1,an=

-1(n>1),写出它的前5项.解:a1=1,=12-1=0,=02-1=

-1,=(-1)2-1=0,=02-1=

-1.练习:(课本31页)2.已知数列{an}满足a1=1,

问题4.数列的递推公式是关于正整数n的函数吗?如果给定一个数列的递推公式,然后任给一个n的值,是否能由公式直接算出第n项的值?数列的递推公式与通项公式不同,它不是关于n的函数,它是一个数列相邻项的关系.如果给定了数列的通项公式,能直接算出第n项.如果给定了数列的递推公式,一般不能直接算出第n项,需逐项递推.如:给出{an}的通项公式为an=2n+1.a10=210+1=21.不能直接将n=10代入求得a10.若给出{an}的递推公式为问题4.数列的递推公式是关于正整数n【斐波拉契数列】1202年,意大利数学家斐波拉契的兔子问题.设一对兔子每月能生一对小兔子,每对小兔子在它出生后第三个月里,又能生一对小兔子.如此计算,由一对初生小兔子开始,各月的兔子数如下表:时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)11012011311241235235635875813881321【斐波拉契数列】1202年,意大利数学家斐波拉契的兔子时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)11012011311241235235635875813881321

问题:

(1)分别写出初生兔子数列{an},成熟兔子数列{bn},兔子总数数列{Fn}的递推公式.(2){Fn}与{an}、{bn}有什么关系?时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)1101时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)11012011311241235235635875813881321

问题:

(1)分别写出初生兔子数列{an},成熟兔子数列{bn},兔子总数数列{Fn}的递推公式.初生兔子a1=1,a2=0,an=an-1+an-2(n≥3).时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)1101时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)11012011311241235235635875813881321

问题:

(1)分别写出初生兔子数列{an},成熟兔子数列{bn},兔子总数数列{Fn}的递推公式.成熟兔子b1=0,b2=1,bn=bn-1+bn-2(n≥3).时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)1101时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)11012011311241235235635875813881321

问题:

(1)分别写出初生兔子数列{an},成熟兔子数列{bn},兔子总数数列{Fn}的递推公式.兔子总数F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3).这样的数列称为“斐波拉契数列”.特点:时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)1101时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)11012011311241235235635875813881321问题:

(2){Fn}与{an}、{bn}有什么关系?Fn=an+bn.时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)1101【课时小结】1.

递推数列给出数列的首项或前两项,以后的各项由它的前一项或前两项推出.递推公式是相邻项的关系式.2.

斐波拉契数列斐波拉契数列是一个递推数列,它的前两项都是1,以后各项都由前两项的和而得,即F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3).【课时小结】1.递推数列给出数列的首项或习题2.1A组第2、4、6题.B组第1、2、3题.习题2.1A组第2、4、6题.B组第1、2、32.根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项:(1)

(2)

an=(-1)n+1(n2+1).解:(1)=1,a1=(-1)1+1(12+1)=2,a2=(-1)2+1(22+1)=-5,(2)a3=(-1)3+1(32+1)=10,a4=(-1)4+1(42+1)=-17,a5=(-1)5+1(52+1)=26.习题2.1A组2.根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前54.写出下面数列{an}的前5项:(1)(2)解:(1)a2=4a1+1=3,a3=4a2+1=13,=43+1a4=4a3+1=53,=413+1a5=4a4+1=213.=453+14.写出下面数列{an}的前5项:解:(1)a2=44.写出下面数列{an}的前5项:(1)(2)解:(2)=5,=5.4.写出下面数列{an}的前5项:解:(2)=5,6.分别写出三角形数构成的数列的第5项,第6项和第7项,并写出它的一个递推公式.解:如图的三角形数中,第n个三角形的方块数比前一个三角形多n块.第4项为10,则第5项为10+5=15,第6项为15+6=21,第7项为21+7=28.递推公式为:a1=1,an=an-1+n(n>1).6.分别写出三角形数构成的数列的第5B组1.下图中的三个正方形块中,