2021年中考数学复习-数式规律(解析版)

类型一数式规律1．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=，我们称它为数字“黑洞”T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的丁是()A.363B.153C.159D.456【答案】B;【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153.故选B.【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数.可以任意找一个3的倍数，如6.第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153.2342.⑴有一列数-亍匸，-石，石，…，那么依此规律，第7个数是；51017(2)已知112113114门_1a=+=一,a=+—=—,a=+=,aA—11x2x32322x3x43833x4x541544x5x615+=,,TOC\o"1-5"\h\z524依据上述规律，则a—.997【答案】⑴—肓；(2)卫0509999【解析】(1)符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第77个数是-5011100(2)a—+—.9999x100x1011009999

n【点评】(1)规律：(―l)n•(n为正整数)；n+1(2)规律：-+丄=出丄(n为正整数).n(n+1)(n+2)n+1n(n+2)3．(1)先找规律，再填数：111111—+——1——,—+———12111111—+——1——,—+———12234,+———,—+———,12563307845611

11

+

2011201212011x2012Iab(a>b,a丰0)(2)对实数a、b,定义运算★如下：a^b=彳[a-b(a<b,a丰0)1例如2*3=2-3=6.计算[2*(-4)]X[(-4)^(-2)]=81【答案】⑴1006；(2)1；【解析】(1)规律为：+——(n为正整数).nn+1n+1n(n+1)2(2)[2*(-4)]X[(-4)*(-2)]=2-4X(-4)2=1.114.a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数.如:2的差倒数是——1,—11—a．．．1—2的差倒数是-.已知a——1—(—1)2a2的差倒数是-.已知a——1—(—1)2a2是ai的差倒数,a3是a2的差倒数，a是a的差倒数，…，依此类推，则2009【答案】因为a——1—3'—a2009..三个一循环，因此5.在快速计算法中，法国的“小九九”从“5.在快速计算法中，法国的“小九九”从“得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算8X9和6X7的两个示例.SXP=?左手右手右手SXP=?左手右手右手•・•两手伸出的手指数的和为7，•・•两手伸出的手指数的和为7，

耒伸出的手指敷的祝肯2』8x9=72.\囲=10^(3+4)+2x1=72)V・.•两手伸出的手指数的和为一

未伸出的手指数的积妁二，6x7=42.x7=iax(l+2)+4x3=用法国“小九九”计算7X8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算aXb的正确性？【答案】2,3【解析】按照题中示例可知：要计算7X8,左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；按照题中示例可知：要计算aXb,左手应伸出(a-5)个手指，未伸出的手指数为5-(a-5)=10-a；右手应伸出(b-5)个手指，未伸出的手指数为5-(b-5)=10-b两手伸出的手指数的和为(a-5)+(b-5)=a+b-10,未伸出的手指数的积为(10-a)X(10-b)=100T0aT0b+aXb根据题中的规则，aXb的结果为10X(a+bT0)+(100T0aT0b+aXb)而10X(a+bT0)+(100T0aT0b+aXb)=10a+10bT00+100T0aT0b+aXb二aXb所以用题中给出的规则计算aXb是正确的.6.将正偶数按下表排列：第1列第2列第3列第4列第1行2第2行46第3行81012第4行14161820根据上面的规律，则2006所在行、列分别是【答案】第45行第13列【解析】观察数列2,4,6,8,10,...每个比前一个增大2,2006是这列数字第1003个.个.每行数字的个数按照1,2,3,4,5,...,n递增，根据等差数列求和公式，第n行（包括n行）以前的所有数字的个数n(n+1)（包括n行）以前的所有数字的个数n(n+1)""2如果2006在第n行，那么(n+1)n_2->1003(n+1)n""2二1003，解得n约为44.5,n取整数，因此n=45。到第44行（含44行）共有数字（44+1）X44=990个;2到第45行（含到第45行（含45行）共有数字（45+1）45x-=1035个;2006是第1003个，在45行13列.7•在数学活动中’小明为了求2+2-+2+2-+…+的值（结果用“表示），设计如图（1）所示的几何图形.TOC\o"1-5"\h\z（1）请你利用这个几何图形求T+亍+亍+亍—的值为.22223242n（2）请你利用图（2）再设i^一个能求怎+亍++++的值的几何图形.22223242n(1)C2)【答案】!]2(1)C2)【答案】!]2123048.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题A21A1(1)由题意可知，A21A1(1)由题意可知，(:n)+1=n+1,S图形满足勾股定理，n2C1)+1二2,s12+1二3,S二空22+1二4,S二空32(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA1。的长;12(3)求出S2+S22+S32+・+S102的值.12答案】(2)因为0A=订1,0A=t2,0A=g3…,TOC\o"1-5"\h\z123所以0A二百1010(3)S2+S2+S2+・・・+S2123102310)2=―2+(一)2+一)2+…+(宁)22222=丄(1+2+3+…+10)4=5549.根据以下10个乘积，回答问题：11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；9.根据以下10个乘积，回答问题：11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2-02”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明)答案】(1)11X29=202-92；12X28=202-82；

13X27=202—72；14X26=202—62；15X25=202-52；16X24=202—42；17X23=202—32；18X22=202—22；19X21=202—12；20X20=202—02；例如：11X29；假设11X29=^2—02；因为口2—02=(口+0)(口—0)所以，可以令□-0=11,口+0=29解得，口=20,0=9，故11X29=202-92(或11X29=(20—9)(20+9)=202—92)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11X29〈12X28〈13X27〈14X26〈15X25〈16X24〈17X23〈18X22〈19X21〈20X20.①若a+b=40,a,b是自然数，则abW202=400.②若a+b=40，则abW202=400.ab<ab<③若a+b=m，a，b是自然数，则ab<(―若a+b=m，则若a+b=a+b=a+b=^=a+b=40，且|a-b|三|a-b|三|a-b|三…三|a-b|，112233nn112233nn贝9abWabWabb.112233nn若a+b=a+b=a+b=^=a+b=m，且|a-b|三|a-b|三|a-b|三…三|a-b|，112233nn112233nn贝9abWabWabW・・・Wab.112233nn10、有一组数：1，2,5，10，17,26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为.【答案】：50【解析】仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；第一个数是1，第二个数数1+1,第三个数是1+1+3,第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9,为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0，这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0,1,4,9,16中，而0,1,4,9,16这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+(1-1)2,2=1+(2-1)2,5=1+(3-1)2,10=1+(4-1)2,17=1+(5-1)226=1+(5-1)2，这样，第n个数为1+(n-1)2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+(n-1)2的值，此时，代数式1+(n-1)2的值为1+(8-1)2=50。所以，本空填50。古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为.【答案】：199【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。当序号为1时，对应的值是1，有序号和对应的数值构成的点设为A,则A(1,1)；当序号为2时，对应的值是3,有序号和对应的数值构成的点设为B,则B(2,3)；当序号为3时，对应的值是6,有序号和对应的数值构成的点设为C,则C(3,6)；-1宀6-3c3-16-3、、因为，21=2，32=3，所以有：21丰32成立，所以，对应的数值y是序号n的二次函数，因此，我们不妨设y=an2+bn+c.把A(1,1),B(2,3),C(3,6)分别代入y=an2+bn+c中，TOC\o"1-5"\h\z11得：a+b+c=1,4a+2b+c=3,9a+3b+c=6，解得：a=—,b=—,c=0,厶厶1111所以’y=2n2+—n,因此’当n=100时’y=—X1002+—X100,111111当n=98时，y=X982+X98,因此(X1002+X100)-(X982+X98)=199,222222所以该空应该填199。12、为庆祝“六口一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:①②③按照上面的规律，摆"个“金鱼”需用火柴棒的根数为()

B^+切c4+4«【答案】A【解析】第一个图需要火柴的根数是8,有序号和对应的数值构成的点设为A,则A(l,8)；第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B,则B(2,14)；第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C,则C(3，20)；因为,20-14r=因为,20-14r=63-2所以有:14-82-120-143-2成立，所以，每个图形中所需要的火柴的总根数y是这个图形的序号n的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b.把A（1,8）,B（2,14）分别代入y=kn+b中得：k+b=8,2k+b=14,解得：k=6,b=2,所以，y=6n+2。因此选A。13、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为□第第？于第亍T【答案】：50【解析】仔细观察第一个图，正方形的个数为1,第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1,分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5++(2n-1)++5+3+1=2n2-2n+1,这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=2X52-2X5+1=41个。所以，本空填50。14、按如下规律摆放三角形：

A-△△△⑶△△△△△不△△△△A-△△△⑶则第(4)堆三角形的个数为；第(n)堆三角形的个数为.【答案】：14,3n+2【解析】：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个，左右两边各2个,即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三角形的特点是中间是5=(3+2)个，左右分别是3个,即为3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中三角形的个数为n+(n+2)+n=3n+2，这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就是当n=4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3n+2=3X4+2=14个。所以，本题的两个空分别填14和3n+2。15、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有个。123n【答案】：2n+1【解析】：仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形,仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第n个图形中有2n+1个菱形。16、试观察下列各式的规律，然后填空:(X-1)(兀+1)」-1(X-1)(兀彳+兀+1)=F—1(x-1)(F+x3+1)=十一1贝1兀十0+屮+……+H+1)=。【答案】：x11-1【解析】要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。仔细观察式子，不难发现等式左边中的(X-1)是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1,第二个等式中的多项式的次数为2,所以，第n个等式中的多项式的次数为n这是等式左边的变化规律；等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母x的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为x11—117、观察下列各式：153=lx(l+l)xl00+52=225253=2x(2+l>100+53=625S33=3x(3+1>100+=1225依此规律，第n个等式(n为正整数)为。【答案】：(10n+5)2=n(n+1)X100+52o【解析】要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。等式左边底数的特点是，个位数字都5,是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4；等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100;第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第n个等式的序号为n,所以第n个等式应该是：(10n+5)2二n(n+1)X100+52。

18、观察下列等式：第一行3=4-1第二彳丁5=9—4第三行7=16—9第四行9=25—16……按照上述规律，第n行的等式为【答案】：2n+1=(n+1)2-少。【解析】：等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9…，这些奇数可以用对应的序号表示，3=2X1+1,5=2X2+1,7=2X3+1,9=2X4+1,其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是22,32,42,52,…等对应的幕，幕的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律，第n个被减数为(n+1)2