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2.5.1直线与圆的位置关系目录TOC\o"13"\h\u☯知识清单☯1.直线与圆位置关系的判断 12.直线与圆相交时的弦长求法: 23.圆上一点到圆外一直线的距离 24.直线与圆相切时的切线问题 35.与圆的切线相关的结论 3☯典型例题☯母题1:直线与圆的位置关系判断 4母题2:由直线与圆的位置关系求参数 6母题3:圆的弦长问题 10母题4:求圆的切线方程 11母题5:与切线长有关的问题 14母题6:切点弦及其方程应用 16母题7:直线与圆的距离问题 19母题8:直线与圆的实际应用 202.6直线与圆的位置关系☯知识清单☯直线与圆位置关系的判断(1)几何法判断直线与圆的位置关系:直线与圆,圆心到直线的距离①直线与圆相离无交点;②直线与圆相切只有一个交点;③直线与圆相交有两个交点。(2)代数法判断直线与圆的位置关系:联立直线方程与圆的方程,得到,通过解的个数来判断:①当时,直线与圆有个交点,直线与圆相交;②当时,直线与圆只有个交点,直线与圆相切;③当时,直线与圆没有交点,直线与圆相离。直线与圆相交时的弦长求法:(1)几何法:利用圆的半径,圆心到直线的距离,弦长之间的关系,整理出弦长公式为:;(2)代数法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长;(3)弦长公式法:设直线与圆的交点为,,将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得到弦长或。圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇相离,圆上一点到直线的距离为,为圆心𝐸𝑀𝐵𝐸𝐷𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛.𝐾𝑆𝐸𝐸3\∗𝑀𝐸𝑅𝐺𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝑇到直线的距离,为圆半径,则,。直线与圆相切时的切线问题(1)求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,再求切线方程。①若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;②若点在圆外,过该点的切线有两条,此时应注意切线斜率不存在的情况。【注意】过圆内一点,不能作圆的切线。(2)求过圆上一点的切线方程法一:先求出切点与圆心的连线斜率,若不存在,则结合图形可直接写出切线方程;若,则结课图形可直接写出切线方程;若存在且,则由垂直关系知切线的斜率为,由点斜式写出切线方程。法二:若不存在,验证是否成立;若存在,设点斜式方程,用圆心到直线的距离等于半径列方程,解出方程即可。(3)过圆外一点的圆的切线方程法一:当斜率存在时,设为,则切线方程为,即由圆心到直线的距离等于半径,即可求出的值,进而写出切线方程;法二:当斜率存在时,设为,则切线方程为,即代入圆的方程,得到一个关于的一元二次方程,由,求得,切线方程即可求出。与圆的切线相关的结论(1)过圆上一点的圆的切线方程为;(2)过上一点的圆的切线方程(3)过外一点作圆的两条切线,切点分别为,,则切点弦所在直线方程为:(4)若圆的方程为,则过圆外一点的切线长为。(5)圆心的三个重要几何性质:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在某一条弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。☯典型例题☯母题1:直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.相交或相切圆与直线的位置关系为()A.相切B.相离C.相交D.无法确定(多选)直线和圆的位置关系是()A.相离B.相切或相离C.相交D.相切已知点在圆上,则直线与圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断直线与圆的位置关系是()A.相切B.相离C.相交D.不确定直线与圆的大致图象可能正确的是()A.B.C.D.母题2:由直线与圆的位置关系求参数已知圆与直线相切,则()A.B.C.D.已知对任意的实数,直线与圆有公共点,则实数的取值范围为()A.B.C.D.若直线与曲线恰有两个不同公共点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.(多选)若直线与曲线有公共点,则实数可以()A.B.C.D.直线与半圆有两个交点,则的值是。若圆与直线有公共点,则的取值范是。母题3:圆的弦长问题直线l:被圆C:截得的弦长为A.1B.2C.3D.4已知直线与圆:相交于、两点,则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件直线被圆所截得的最短弦长等于()A.B.C.D.已知直线:恒过点,过点作直线与圆C:相交于A,B两点,则的最小值为()A.B.2C.4D.母题4:求圆的切线方程已知直线经过点,且与圆相切,则的方程为()A.B.C.D.过点作圆的切线,则的方程为()A.B.或C.D.或过点作圆:的切线,则切线的方程为()A.B.C.或D.或求过点P(−1,4),圆x−22+y−3(多选)已知圆,下列命题正确的是()A.为过点的圆的一条切线B.为过点的圆的一条切线C.为过点的圆的一条切线D.为过点的圆的一条切线自点发出的光线经过轴反射,其反射光线所在直线与圆相切,则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为()A.B.C.D.母题5:与切线长有关的问题过点作圆的切线,切点为B,则()A.2B.C.3D.已知直线是圆的一条对称轴,过点向圆作切线,切点为,则()A.B.C.D.已知圆,P为曲线上的动点,过点P作圆的切线,则切线长的最小值为()A.1B.C.2D.3设是圆上的动点,是圆的切线,且,则点到点距离的最小值为()A.4B.5C.6D.15已知直线,圆,P为l上一动点,过点P作圆C的切线PM,PN,切点为M,N,则四边形PMCN面积的最小值为().A.B.7C.8D.母题6:切点弦及其方程应用过点作圆C:的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.B.C.D.过点作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为______.已知直线是圆的对称轴,过点作圆的两条切线,切点分别为、,则直线的方程为()A.B.C.D.已知点P为直线上的动点,过点P作圆的两条切线,切点分别为A、B,则直线必过定点()A.B.C.D.过圆:外一点作圆的切线,切点分别为、,则()A.2B.C.D.3母题7:直线与圆的距离问题已知圆与直线,则圆上到直线的距离为1的点的个数是()A.1B.2C.3D.4圆上到直线的距离为的点的个数是____.(多选)若圆上有且仅有三个点到直线的距离为,则的取值可()A.B.C.D.已知圆的方程为x2+y2-4x-6y+11=0,直线l:x+y-t=0,若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于,则参数t的取值范围为()A.(2,4)∪(6,8)B.(2,4]∪[6,8)C.(2,4)D.(6,8)已知圆,直线:,圆上至少有三个点到直线的距离都是,则的取值范围是________.母题8:直线与圆的实际应用已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A300km的海面点P处,并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为km.则城市A受台风影响的时间为()A.5hB.hC.hD.4h苏州有很多圆拱的悬索拱桥(如寒山桥),经测得某圆拱索桥(如图)的跨度米,拱高米,在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑,则与相距米的支柱的高度是()米.(注意:≈)某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域,一名工作人员持以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发,沿处西北方向走向位于设备正北方向的

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