【解析】高中数学人教新课标A版必修1 第二章 基本初等函数(I) 2.2.2 对数函数及其性质

第第页【解析】高中数学人教新课标A版必修1第二章基本初等函数(I)2.2.2对数函数及其性质高中数学人教新课标A版必修1第二章基本初等函数(I)2.2.2对数函数及其性质

一、选择题

1．已知,则（）

A．B．C．3D．

【答案】A

【知识点】对数函数的值域与最值

【解析】【解答】∵，∴.

故答案为：A.

【分析】求对数函数的函数值,只要将自变量代入函数式即可.

2．函数的定义域为（）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．[，）

【答案】C

【知识点】对数函数的概念与表示

【解析】【解答】由题意得解得1＜x＜，所以所求函数的定义域为（1，）.

故答案为：C.

【分析】求函数的定义域，就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.

3．设则f[f（2）]的值为（）

A．0B．C．2D．

【答案】C

【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的概念与表示；对数函数的值域与最值

【解析】【解答】由题意可知，，

所以.

故答案为：C.

【分析】对于求指数对数型分段函数的多层函数值,由内到外的原则进行.

4．设则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】利用对数函数的单调性比较大小

【解析】【解答】因为01,再得出01时，有a>，即a>1；当0综上可知，a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞）．

故答案为:D.

【分析】先将不等式两边同底化,分类讨论函数的单调性求解.

8．下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取，，，，则图象C1，C2，C3，C4对应的a值依次是（）

A．，，，B．，，，

C．，，，D．，，，

【答案】D

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】过（0，1）作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的坐标为（a1，1），（a2，1），（a3，1），（a4，1），其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底数，显然a1>a2>a3>a4，

所以C1，C2，C3，C4对应的a值依次是，，，．

故答案为:D.

【分析】根据对数函数图象和性质判断.

9．下列函数在其定义域内为偶函数的是（）

A．y=2xB．y=2xC．y=log2xD．y=x2

【答案】D

【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】选项A为奇函数，选项B为非奇非偶函数，选项C为非奇非偶函数，选项D为偶函数.

故答案为:D.

【分析】由幂指对函数的性质判断其奇偶性.

10．函数的定义域是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】对数函数的概念与表示

【解析】【解答】由，解得或.

故答案为：D.

【分析】对数型号函数的定义域是由真数大于0的不等式的解集决定的.

11．在同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当时，函数，，所以图象过点，在其定义域上是增函数；函数的图象过点，在其定义域上是减函数.

故答案为：C.

【分析】分类讨论a>1和012．已知f(x)=log3x，则的大小是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】由函数y=log3x的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x的增大，函数值y也在增大，故．

故答案为:B.

【分析】由于对数函数的底数为3,则函数是单调递增的,从而比较函数值的大小.

13．（2023高一上·黑龙江期中）设a=log3π，b=log2，c=log3，则（）

A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．b＞c＞a

【答案】A

【知识点】利用对数函数的单调性比较大小

【解析】【解答】解：∵

∵，故选A

【分析】利用对数函数y=logax的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，

如果底a不相同时可利用1做为中介值．

14．函数f(x)=log2(3x＋3x)是（）

A．奇函数B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数

【答案】B

【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】∵3x＋3x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.又∵f(x)=log2(3x＋3x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，

故答案为:B.

【分析】根据函数奇偶性进行判断其奇偶性.

15．已知是(∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是（）

A．(0,1)B．C．D．

【答案】C

【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；对数函数的单调区间

【解析】【解答】由题意得，∴.

故答案为:C.

【分析】分段函数在区间上单调递减,则各段函数递减,且在分段交接处左段函数值不大于右段函数值.由关于a的不等式组求a的范围.

16．已知函数f(x)=loga(x2＋2x3)，若f(2)＞0，则此函数的单调递增区间是（）

A．(∞，3)B．(∞，3)∪(1，＋∞)

C．(∞，1)D．(1，＋∞)

【答案】D

【知识点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】∵f(2)=loga5＞0=loga1，∴a＞1.由x2＋2x3＞0，得函数f(x)的定义域为(∞，3)∪(1，＋∞)．设u=x2＋2x3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．又∵y=logau(a＞1)在(1，＋∞)上也为增函数，

∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).

故答案为：D.

【分析】由f(2)>0求出a>1,由对数型复合函数的单调性求单调区间,要注意函数的定义域.

17．已知函数在[1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A．8≤a≤6B．8【答案】C

【知识点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】.

故答案为：C.

【分析】由于底数小于1,则真数部分在区间上单调递增,且在左端点处函数值大于0.

18．已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数a满足,则a的最小值是（）

A．B．1C．D．2

【答案】C

【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数图象与性质的综合应用

【解析】【解答】由于为偶函数,所以且因为在区间上单调递增，所以即的最小值为.

故答案为：C．

【分析】由偶函数的性质将不等式转化为f(log2a)≤f(1),再由函数的单调性脱去f得关于a的不等式求a的范围.

19．函数f(x)=ax2＋loga(x1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点．

【答案】(2,2)

【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当x=2时，f(2)=a0＋loga1＋1=2，所以图象必经过定点(2,2)．

故答案为:(2,2).

【分析】对于指数型函数,由a0=1,对数型函数由loga1=0,可得过定点的情形.

20．函数y=2＋log2x(x≥1)的值域为．

【答案】[2，＋∞)

【知识点】对数函数的值域与最值

【解析】【解答】设y=2＋t，t=log2x(x≥1)，∵t=log2x在[1，＋∞)上是单调增函数，

∴t≥log21=0.∴y=2＋log2x的值域为[2，＋∞)．

故答案为:[2,+∞).

【分析】先求出真数部分的值域,再由底数为2即大于1得对数函数是增函数,求函数的值域.

21．已知函数f(x)满足当x≥4时；当x4时对应函数值，由已知解析式求值.

二、填空题

22．函数y＝loga（x1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点．

【答案】（2，1）

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当x1=1，即x=2时，不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y=1.

故答案为:(2,1).

【分析】对数型函数由loga1=0,可得到其过定点的坐标.

23．已知，则实数x的取值范围是．

【答案】

【知识点】对数函数的图象与性质；绝对值不等式

【解析】【解答】原不等式等价于或解得或.

故答案为：(1，]∪[1，+∞).

【分析】将绝对值不等式通过讨论去掉绝对值，得对数不等式组，由对数函数的单调性求x的范围.

24．若函数y=f（x）是函数（a>0，且a≠1）的反函数，且f（x）的图象经过点,则a=.

【答案】

【知识点】指数函数的概念与表示；互为反函数的两个函数之间的关系

【解析】【解答】函数（a>0，且a≠1）的反函数是（a>0，且a≠1），

因为f（x）的图象经过点，所以，所以，又a>0，所以.

故答案为:2.

【分析】指数函数与相同底数的对数函数互为反函数,函数图象上的点关于直线y=x对称,求出函数应过的点的坐标代入函数式中求a的值.

三、解答题

25．已知loga（2a+1）1时，原不等式等价于解得a>2.

当0综上所述，a的取值范围是2.

【知识点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】【分析】解同底型对数不等式时，要对底数分类，由单调性讨论得到不等式组，求解,要注意真数大于0.

26．已知f（x）＝（a>0，a≠1）.

（1）求f（x）的定义域；

（2）求使f（x）>0成立的x的取值范围.

【答案】（1）解：由>0，得21时，由>0＝loga1得>1，∴01时，所求的取值范围为；

当0【知识点】对数函数的概念与表示；对数函数的单调性与特殊点

【解析】【分析】(1)求对数型函数的定义域，由真数大于0得不等式，求出定义域；

(2)对数型不等式，要对底数大于1和小于1分类讨论，由函数的单调性求解.

27．若不等式2xlogax0且a≠1）的图象恒过定点．

23．已知，则实数x的取值范围是．

24．若函数y=f（x）是函数（a>0，且a≠1）的反函数，且f（x）的图象经过点,则a=.

三、解答题

25．已知loga（2a+1）0，a≠1）.

（1）求f（x）的定义域；

（2）求使f（x）>0成立的x的取值范围.

27．若不等式2xlogax1,再得出01时，有a>，即a>1；当0综上可知，a的取值范围是（0，）∪（1，＋∞）．

故答案为:D.

【分析】先将不等式两边同底化,分类讨论函数的单调性求解.

8．【答案】D

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】过（0，1）作平行于x轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的坐标为（a1，1），（a2，1），（a3，1），（a4，1），其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底数，显然a1>a2>a3>a4，

所以C1，C2，C3，C4对应的a值依次是，，，．

故答案为:D.

【分析】根据对数函数图象和性质判断.

9．【答案】D

【知识点】函数的奇偶性；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】选项A为奇函数，选项B为非奇非偶函数，选项C为非奇非偶函数，选项D为偶函数.

故答案为:D.

【分析】由幂指对函数的性质判断其奇偶性.

10．【答案】D

【知识点】对数函数的概念与表示

【解析】【解答】由，解得或.

故答案为：D.

【分析】对数型号函数的定义域是由真数大于0的不等式的解集决定的.

11．【答案】C

【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当时，函数，，所以图象过点，在其定义域上是增函数；函数的图象过点，在其定义域上是减函数.

故答案为：C.

【分析】分类讨论a>1和012．【答案】B

【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】由函数y=log3x的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x的增大，函数值y也在增大，故．

故答案为:B.

【分析】由于对数函数的底数为3,则函数是单调递增的,从而比较函数值的大小.

13．【答案】A

【知识点】利用对数函数的单调性比较大小

【解析】【解答】解：∵

∵，故选A

【分析】利用对数函数y=logax的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，

如果底a不相同时可利用1做为中介值．

14．【答案】B

【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】∵3x＋3x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R.又∵f(x)=log2(3x＋3x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，

故答案为:B.

【分析】根据函数奇偶性进行判断其奇偶性.

15．【答案】C

【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；对数函数的单调区间

【解析】【解答】由题意得，∴.

故答案为:C.

【分析】分段函数在区间上单调递减,则各段函数递减,且在分段交接处左段函数值不大于右段函数值.由关于a的不等式组求a的范围.

16．【答案】D

【知识点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】∵f(2)=loga5＞0=loga1，∴a＞1.由x2＋2x3＞0，得函数f(x)的定义域为(∞，3)∪(1，＋∞)．设u=x2＋2x3，则此函数在(1，＋∞)上为增函数．又∵y=logau(a＞1)在(1，＋∞)上也为增函数，

∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).

故答案为：D.

【分析】由f(2)>0求出a>1,由对数型复合函数的单调性求单调区间,要注意函数的定义域.

17．【答案】C

【知识点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】.

故答案为：C.

【分析】由于底数小于1,则真数部分在区间上单调递增,且在左端点处函数值大于0.

18．【答案】C

【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数图象与性质的综合应用

【解析】【解答】由于为偶函数,所以且因为在区间上单调递增，所以即的最小值为.

故答案为：C．

【分析】由偶函数的性质将不等式转化为f(log2a)≤f(1),再由函数的单调性脱去f得关于a的不等式求a的范围.

19．【答案】(2,2)

【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当x=2时，f(2)=a0＋loga1＋1=2，所以图象必经过定点(2,2)．

故答案为:(2,2).

【分析】对于指数型函数,由a0=1,对数型函数由loga1=0,可得过定点的情形.

20．【答案】[2，＋∞)

【知识点】对数函数的值域与最值

【解析】【解答】设y=2＋t，t=log2x(x≥1)，∵t=log2x在[1，＋∞)上是单调增函数，

∴t≥log21=0.∴y=2＋log2x的值域为[2，＋∞)．

故答案为:[2,+∞).

【分析】先求出真数部分的值域,再由底数为2即大于1得对数函数是增函数,求函数的值域.

21．【答案】

【知识点】指数型复合函数的性质及应用；对数的性质与运算法则

【解析】【解答】.

故答案为：

【分析】当当x4时对应函数值，由已知解析式求值.

22．【答案】（2，1）

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当x1=1，即x=2时，不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y=1.

故答案为:(2,1).

【分析】对数型函数由loga1=0,可得到其过定点的坐标.

23．【答案】

【知识点】对数函数的图象与性质；绝对值不等式

【解析】【解答】原不等式等价于或解得或.

故答案为：(1，]∪[1，+∞).

【分析】将绝对值不等式通过讨论去掉绝对值，得对数不等式组，由对数函数的单调性求x的范围.

24．【答案】

【知识点】指数函数的概念与表示；互为反函数的两个函数之间的关系

【解析】【解答】函数（a>0，且a≠1）的反函数是（a>0，且a≠1），

因为f（x）的图象经过点，所以，所以，又a>0，所以.

故答案为:2.

【分析】指数函数与相同底数的对数函数互为反函数,函数图象上的点关于直线y=x对称,求出函数应过的点的坐标代入函数式中求a的值.

25．【答案】解：当a>1时，原不等式等价于解得a>2.

当0综上所述，a的取值范围是2.

【知识点】对数函数的单调性与特殊点

【解析】【分析】解同底型对数不等式时，要对底数分类，由单调性讨论得到不等式组，求解,要注意真数大于0.

26．【答案】（1）解：由>0，得21时，由>0＝lo