人教B版（2023）必修第二册《6.2 向量基本定理与向量的坐标》同步练习（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知平面向量，若，则

A.B.C.D.

2.（5分）如图，在中，设，，的中点为，的中点为，的中点为，若，则

A.B.C.D.

3.（5分）已知：，，，点在内，且与的夹角为，设，则的值为

A.B.C.D.

4.（5分）在平面直角坐标系中，已知，，为第一象限内一点，，且，若，则等于

A.B.C.D.

5.（5分）设，，向量，，且，，则等于

A.B.C.D.

6.（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为黄金分割数，把点称为线段的黄金分割点，在中，若点为线段的两个黄金分割点，设，，则

A.B.C.D.

7.（5分）已知向量，，，则实数

A.B.C.D.

8.（5分）已知向量，，，且，则

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知向量，且，则下列说法正确的是

A.B.

C.D.的最大值为

10.（5分）下列命题正确的是

A.若复数，的模相等，则，是共轭复数

B.，都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数

C.复数是实数的充要条件是是的共轭复数

D.已知复数，，是虚数单位，它们对应的点分别为，，，为坐标原点，若，则

11.（5分）若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是

A.

B.若，则

C.若，则

D.若，则

12.（5分）下列各组向量中，一定能推出的是

A.

B.

C.

D.

13.（5分）已知的面积为，在所在的平面内有两点，，满足，，记的面积为，则下列说法正确的是

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知向量，，且，则______.

15.（5分）正方形的边长为，为中点，为线段上的动点，则的取值范围是．

16.（5分）设为实数，若向量，，且，则的值为______.

17.（5分）已知向量，若，则实数______．

18.（5分）已知向量，，若，则______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）在中，，，，分别为角，，的对边，已知向量与向量的夹角为．

Ⅰ角的大小；

Ⅱ求的取值范围．

20.（12分）已知向量，的夹角为，，，又，

求与的夹角；

设，，若，求实数的值．

21.（12分）如图，在四边形中，，，是线段上的点，直线与直线相交于点，设，，

若，，，是线段的中点，求与同向的单位向量的坐标；

若，用，表示，并求出实数的值．

22.（12分）平面内给定三个向量，，

求满足的实数，；

设，满足，且，求向量

23.（12分）［2023苏州中学高二月考］如图，射线OA，OB分别与x轴的正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，求直线AB的方程.

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：，

，解得．

故选：．

根据即可得出，解出即可．

该题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．

2.【答案】C;

【解析】

这道题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，属于中档题．

根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得及，解方程求得，由此求得、的值，即可求得的值．

解：由题意可得，，

，①

，②

由①②解方程求得．

再由可得，，．

故选C．

3.【答案】C;

【解析】

由已知建立平面直角坐标系，得到的坐标，结合求得的坐标，再由与的夹角为求解．

该题考查平面向量基本定理的应用，利用坐标法使问题变得简单化，是中档题．

解：，，，

建立平面直角坐标系如图：

则，，

，

又与的夹角为，

，则的值为．

故选：．

4.【答案】A;

【解析】【分析】

本题考查平面向量的坐标运算，以及相等向量．

由题意可得点的坐标，进而可得向量的坐标，由向量相等可得，的值，可得答案．

【解答】

解：点在第一象限内，，且，

点的横坐标为，纵坐标，

故，

而，，

则

由，，

，

故选

5.【答案】C;

【解析】

由平面向量的垂直与平行求出，的值，即可得出结论.

解：，，，

由，得，，

由，得，，

故选

6.【答案】C;

【解析】

此题主要考查平面向量的基本定理及其应用，属于中档题.

根据题意得出，，即可求出结果.

解：在中，若点，为线段的两个黄金分割点，

，

，

，

，

，

故选

7.【答案】D;

【解析】解：因为向量，，，

则，

所以且，

解得、

故选：

利用向量数乘的坐标表示以及向量相等的充要条件，列式求解即可．

本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了向量数乘的坐标表示以及向量相等的充要条件的应用，考查了运算能力，属于基础题．

8.【答案】C;

【解析】

该题考查平行向量的坐标关系，弦切互化，三角函数的诱导公式，三角函数在各象限的符号，属于基础题．

根据即可得出，从而求出，根据的范围即可求出，这样即可求出的值．

解：；

；

；

；

；

．

故选：．

9.【答案】BC;

【解析】

此题主要考查了平面向量的坐标运算和三角恒等变换的应用问题，属于中档题．

根据平面向量的定义与性质坐标运算法则，结合三角恒等变换运算，对选项中的命题真假性判断即可．解：因为向量，，

所以，选项错误；

因为，所以，

所以，

所以，选项正确；

因为，

所以，

解得，，

又因为，且，

所以，，，选项正确

因为是定值，

所以

，

所以，选项错误.

故答案选：

10.【答案】BC;

【解析】【分析】

本题考查复数的基本概念、共轭复数以及复数相等的条件，属于基础题.

对各选项逐一求解，并判定正误，即可得到答案.

【解答】

解：对于，和可能是相等的复数，也可能既不是相等复数也不是共轭复数，故错误；

对于，若和是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故正确；

对于，由得，故正确；

对于，由题可知，，，，

建立等式，即解得

故错误.

故选

11.【答案】ACD;

【解析】

此题主要考查了命题的真假判断，向量平行的判断，属于中档题.

对于：是与共线的向量，是与共线的向量，即可判断；对于：若，则与方向相反，则，即可判断；对于：若，则，即，不能推出，即可判断；对于：若，则，与方向不一定相同，即可判断.

解：对于：是与共线的向量，

是与共线的向量，

与不一定共线，

所以错，

对于：若，

则与方向相反，

，所以对，

对于：若，

则，

即，

不能推出，

所以错，

对于：若，

则，

与方向不一定相同，

不能推出，

所以错.

故选：

12.【答案】ABD;

【解析】【分析】

本题考查平面向量共线定理的应用和共线的条件，属基础题.

根据，可确定，，正确，对于，如果与共线，则共线；若与不共线，则不共线.

【解答】

解：中，，所以

中，，所以

中，，若与共线，则与共线，若与不共线，则与不共线

中，，所以

故选

13.【答案】BD;

【解析】解：已知的面积为，在所在的平面内有两点，，满足，所以，，三点共线．点为线段的三等分点，

由于，所以，，三点共线，且为线段的中点，

如图所示：

所以

①不平行，故选项错误．

②根据三角形法则：

③

④的面积为，所以，则，，

且，

所以

故选：

直接利用向量的线性运算的应用，三角形面积公式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，三角形的面积公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

14.【答案】-;

【解析】解：向量，，且，

，求得，

故答案为：

由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得的值．

此题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．

15.【答案】;

【解析】试题分析：以为原点建立坐标系直线方程为

考点：向量的坐标运算；函数求最值

16.【答案】-4;

【解析】解：向量，，且，

可得，解得，所以

故答案为：

利用向量共线，求解，然后求解向量的数量积即可．

本题考查向量共线的应用，向量的数量积的求法，是基础题．

17.【答案】-1;

【解析】解：向量，

，，

可得：，解得．

故答案为：．

求出，利用向量共线定理，求解即可．

该题考查向量共线定理的应用，考查计算能力．

18.【答案】-4;

【解析】解：根据题意，向量，，

若，则有，解可得；

故答案为：

根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得，解可得的值，即可得答案．

该题考查向量的坐标表示方法，涉及向量的坐标表示，属于基础题

19.【答案】解：（I）∵向量向量与向量的夹角为．

∴1-cosB=，cosB=-

∴0＜B＜π，B=，

（II）由正弦定理得：=sinA+sin（-A）]=．

∵，∴，∴．

∴

故的取值范围是（1，]．;

【解析】

利用向量的夹角公式可以得到，解三角方程即可；

由题意利用正弦定把化为角的三角函数式子，利用角的范围及三角函数知识即可求得．

该题考查了两向量平行的坐标表示的从要条件，还考查了解三角方程，正弦定理，已知角的范围求三角函数的值域．

20.【答案】解：由题意可得，，，，，，，由于，

则若，由于不共线，利用两个向量共线的性质可得，解得

;

【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，用数量积表示两个两个向量的夹角，属于中档题．

由题意求得的值，可得、、的值，再根据

，的值，求得，的值．

由条件求得，再利用两个向量共线的性质求得求得值．

21.【答案】解：（1）因为BC∥AD，AD=3BC，所以==（2，1），

因为C（2，3），所以B（0，2），

又E是线段CD上的中点，所以E（，），

所以=（，），||=，

故与同向的单位向量为，其坐标为（，）．

（2）因为DE=2EC，所以=+=（+）+=（+）+=+=+，

因为=λ，

所以==（+）=+，

因为B，P，D三点共线，所以+=1，解得λ=．;

【解析】

由，可得，进而由中点坐标公式可得，再根据与同向的单位向量为，得解；

由，根据平面向量的线性运算法则，可用，表示，进而得，再由三点共线的条件，得解．

此题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，熟练掌握平面向量的加法、减法和数乘的运算法则，理解三点共线的条件是解答该题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

22.【答案】解：，

，

即，

解得；

，，

又，且，

；

解得，或；

，或;

【解析】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题目．

根据向量相等与坐标运算，列出方程组，求出、的值；

根据平面向量的坐标运算，结合向量平行与模长的坐标表示，列出方程组，求出结果．

23.【答案】由题意，可得，

,

所以直线，.