浙教版七年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练 第1章有理数章末检测卷（含解析）

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第1章《有理数》章末检测卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在世界数学史首次正式引入负数的中国古代数学著作是（）

A．《孙子算经》B．《九章算术》

C．《算法统宗》D．《周髀算经》

2．的相反数是（）

A．B．C．D．

3．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示只有相反意义的量．一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作+10分，那么70分应记作()

A．+10分B．0分C．－10分D．－20分

4．一种小吃包装袋上标注着“净含量：”，则下列小吃净含量合格的是（）

A．52B．48C．50.5D．51.5

5．三个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（）

（1）；（2）；（3）；（4）

A．4个B．3个C．2个D．1个

6．下列说法正确的是（）

A．符号相反的两个数叫做相反数B．只有正数的绝对值是它本身

C．两个数的和一定大于这两个数中的任意一个D．最大的负整数是－１

7．下列各组数中，比较大小正确的是（）

A．B．

C．D．

8．方程的解是（）

A．B．

C．D．

9．下列说法错误的是（）

A．数轴上表示的点与表示的点的距离是4

B．数轴上原点表示的数是0

C．所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来

D．最大的负数是

10．如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（）

A．1B．1.5C．2.5D．2

11．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（）

①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．距离，是数学、天文学、物理学研究的基本问题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度．若点A、B在数轴上代表的数为a﹑b，则A、B两点之间的距离，则下列说法：

①数轴上表示x和的两点之间的距离是﹔

②若，点B表示的数是2，则点A表示的数是1；

③当时，代数式有最小值为6；

④当代数式取最小值时，x的取值范围是；

⑤点A，B，C在数轴上代表的数分别为a，b，c，若﹐则点A位于B，C两点之间．

其中说法正确的是（）

A．①③④B．①②④C．③④D．③④⑤

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13．相反数等于它本身的数是，绝对值等于它本身的数是．

14．下列各数，，25，0，3.14，中，其中分数有个．

15．已知数轴上的点A，B表示的数分别为，4，P为数轴上任意一点，表示的数为x，若点P到点A，B的距离之和为7，则x的值为．

16．A、B、C、D、E是数轴上的五个点，点A、B、C所表示的数分别为、、，点C到点E和点B的距离相等，将数轴沿着点D折叠后，点A与点E重合，那么点D所表示的数是．

17．下列说法：

①若a，b互为相反数，则＝﹣1；

②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；

③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；

④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．其中一定正确的结论是（只填序号）．

18．对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则．（用含的式子表示）

三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．把下列各数分别填入相应的集合里．

－3，，0，，－3.14，20，－（+5），＋1.88

(1)正数集合：｛…｝；

(2)负数集合：｛…｝；

(3)整数集合：｛…｝；

(4)分数集合：｛…｝；

20．先画数轴并在数轴上表示各数的点，再用“”把这些数连接起来．

21．某超市2023年上半年的营业额与2023年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题：

月份123456

比上年同月增长%1.800.21.50.30.4

(1)该超市2023年上半年的营业额与2023年同月营业额相比，哪几个月是增长的？

(2)2023年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？

(3)2023年上半年与2023年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？

22．数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为．其中AB=2023，BC=1000，如图所示．

（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算的值．

（2）若原点O在A，B两点之间，求的值．

（3）若O是原点，且OB=20，求的值．

23．如图，a，b在数轴上的位置如图所示．

（1）请用“＞”、“＜”判断下列代数式的大小，a0，c﹣a0，b+c0；

（2）试化简：|a|+|c﹣a|﹣|b+c|．

24．（1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：

①“”可理解为___________________________________________________；

②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为_______________．

我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．

（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．

由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：

①不等式的解集是_________________．

②不等式的解集是_______________．

25．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动4cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．

(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；

(2)把点C到点A的距离记为CA，则CA=______cm．

(3)若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？

(4)若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动．设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出的值．

26．问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值

问题二：已知点在数轴上表示的数分别为

（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)

（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离

（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．

①；②；③

参考答案

1．B

【分析】根据数学常识进行作答即可．

【详解】负数最早记载于《九章算术》（写于公元一世纪），比国外早一千多年，

故选：B．

【点睛】本题考查了数学常识，提高数学素养是解题的关键．

2．C

【分析】根据相反数的定义即可直接写出答案．

【详解】解：的相反数是．

故选：C．

【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．

3．C

【分析】以80分为基准，高于80分的记为正数，相反低于80分的记负数，再看距80分的距离，进而确定这个数．

【详解】解：以80分为基准，70-80=-10，

故选C．

【点睛】考查正数、负数、绝对值的意义，理解具有相反意义的量，一个量用正数表示，而另一个量则用负数表示．

4．C

【分析】由题意可得该小吃最轻的净含量与最重的净含量，根据各选项即可判断．

【详解】由题意知：该小吃净含量最轻比50g小1g，最重为比50g多1g，即最轻49g，最重51g，小吃重量位于这两者间的均是合格；由四个选项知，C选项是合格．

故选：C

【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用，弄懂“净含量：”是解答本题的关键．

5．B

【分析】根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出-3＜c＜-2＜b＜0＜1＜a＜2，根据有理数的乘法可判断（1）正确；根据相反数的定义可判断（2）；根据倒数的定义可判断（3）；根据绝对值的定义可判断（4）．

【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得-3＜c＜-2＜-1＜b＜0＜1＜a＜2，

∴（1）abc＞0，正确；

（2）-c＞a＞-b，正确；

（3），错误；

（4）|c|=-c，正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了数轴，相反数和绝对值，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，难度适中．

6．D

【分析】分别根据相反数的定义，绝对值的定义，有理数的加法法则以及有理数的定义逐-判断即可．

【详解】解∶A.只有符号相反的两个数叫做相反数，原说法错误，故本选项不合题意；

B.0的的绝对值是它本身，原说法错误，故本选项不合题意；

C.-1+(-2)=-3，-3<-2<-1，原说法错误，故本选项不合题意；

D.最大的负整数是-1，说法正确，故本选项符合题意．

故选∶D．

【点睛】本题考查了相反数，绝对值以及有理数，是基础题，熟记概念是解题的关键．

7．D

【分析】先将绝对值及有理数化简，然后比较大小即可．

【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；

B、，选项错误，不符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、∵，

∴，选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】题目主要考查绝对值及有理数的化简，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的化简是解题关键．

8．C

【分析】先去绝对值，得到，或，即可得到答案．

【详解】解：∵，

∴，或，

∴或，

故选：C．

【点睛】本题考查绝对值方程的解，解题的关键是熟练掌握绝对值方程的解法．

9．D

【分析】根据数轴上的点表示的数的特征解答即可．

【详解】解：A、数轴上表示的点与表示的点的距离是4，正确，不符合题意；

B、数轴上原点表示的数是0，正确，不符合题意；

C、所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，正确，不符合题意；

D、最大的负整数是－1，错误，符合题意，

故选：D．

【点睛】本题考查数轴，熟知数轴上的点表示的数的特征是解答的关键．

10．D

【分析】根据|ad|＝10，|ab|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案．

【详解】解：∵|ad|＝10，

∴a和d之间的距离为10，

假设a表示的数为0，则d表示的数为10，

∵|ab|＝6，

∴a和b之间的距离为6，

∴b表示的数为6，

∴|bd|＝4，

∴|bc|＝2，

∴c表示的数为8，

∴|cd|＝|810|＝2，

故选：D．

【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数．

11．C

【分析】①根据两点间距离进行计算即可；

②利用路程除以速度即可；

③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；

④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．

【详解】解：设点B对应的数是x，

∵点A对应的数为8，且AB=12，

∴8-x=12，

∴x=-4，

∴点B对应的数是-4，

故①正确；

由题意得：

12÷2=6（秒），

∴点P到达点B时，t=6，

故②正确；

分两种情况：

当点P在点B的右侧时，

∵AB=12，BP=2，

∴AP=AB-BP=12-2=10，

∴10÷2=5（秒），

∴BP=2时，t=5，

当点P在点B的左侧时，

∵AB=12，BP=2，

∴AP=AB+BP=12+2=14，

∴14÷2=7（秒），

∴BP=2时，t=7，

综上所述，BP=2时，t=5或7，

故③错误；

分两种情况：

当点P在点B的右侧时，

∵M，N分别为AP，BP的中点，

∴MP=AP，NP=BP，

∴MN=MP+NP

=AP+BP

=AB

=×12

=6，

当点P在点B的左侧时，

∵M，N分别为AP，BP的中点，

∴MP=AP，NP=BP，

∴MN=MP-NP

=AP-BP

=AB

=×12

=6，

∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，

故④正确；

所以，上列结论中正确的有3个，

故选：C．

【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．

12．D

【分析】根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可．

【详解】解：①数轴上表示和的两点之间的距离是，故①错误；

②设点表示数，

点表示的数是，

，

，

，

解得：或，

故②错误；

③代数式表示数轴上数对应的点到、、三个数对应点的距离之和，

当时，为最小值．故③正确；

④代数式表示数对应点到数，对应点的距离之和，当数对应点在和对应点之间时，这个距离之和最小，

当代数式取最小值时，的取值范围是，故④正确；

⑤表示点到点、的距离之和，表示点与点之间的距离，

若，则点位于、两点之间，故⑤正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键．

13．0非负数

【分析】根据相反数和绝对值的性质，相反数等于它本身的数只能是0，绝对值等于它本身的数是正数和0．

【详解】解：由题意得：相反数等于它本身的数是0．绝对值等于它本身的数是非负数，有无数个．

故答案为：0，非负数．

【点睛】本题考查了绝对值和相反数的知识，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

14．3

【分析】利用分数定义判断即可．

【详解】解：下列各数，，25，0，3.14，中，

是分数的有：，3.14，，

所以，共有3个分数，

故答案为：3．

【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．

15．或4.5

【分析】根据数轴上两点间的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

【详解】解：根据题意得：|x+2|+|x-4|=7，

当x＜-2时，化简得：-x-2-x+4=7，解得：x=-2.5；

当-2≤x＜4时，化简得：x+2-x+4=7，无解；

当x≥4时，化简得：x+2+x-4=7，解得：x=4.5，

综上，x的值为-2.5或4.5．

故答案为：-2.5或4.5．

【点睛】此题考查了数轴，弄清数轴上两点间的距离公式是解本题的关键．

16．

【分析】设出点D所表示的数，表示出AD，进而表示点E所表示的数，根据折叠后点C到点E和点B的距离相等，列方程求出答案．

【详解】解：设点D所表示的数为x，则AD＝x＋，

折叠后点A与点E重合，则AD＝DE，此时点E所表示的数为2x＋，

由折叠后点C到点E和点B的距离相等得，

①当点E在点C的右侧时，即CB＝CE，

2＝2x＋，

解得，x＝，

②当点E在点C的左侧时，CB＝CE，即点E与点B重合，不合题意，

所以点D所表示的数为，

故答案为．

【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的前提．

17．②③##③②

【分析】根据相反数和绝对值的意义讨论即可得出答案．

【详解】①若a，b互为相反数，则,不能得出，故①错误；

②当或时，成立，

当或时，，

成立，则或，即，故②正确；

③表示到数、、三个点的距离之和，所以时，取得最小值，最小值为，故③正确；

④当且时，，故④错误．

故答案为：②③．

【点睛】本题考查相反数与绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．

18．9﹣3|x﹣1|

【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果．

【详解】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，①

|x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②

|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③

|x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④

由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，

由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，

同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，

∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤

x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥

x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦

3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，

∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|．

故答案为：9﹣3|x﹣1|．

【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确．

19．(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）根据正数的概念即可得；

（2）根据负数的概念即可得；

（3）根据整数的概念即可得；

（4）根据分数的概念即可得．

【详解】（1）解：，，

正数集合：．

（2）解：负数集合：．

（3）解：整数集合：．

（4）解：分数集合：．

【点睛】本题考查了正数与负数、整数与分数、化简绝对值，熟记各概念和绝对值的性质是解题关键．

20．数轴及表示见解析，

【分析】先化简，再数轴上表示出各数，然后从左到右用“”把这些数连接起来即可．

【详解】解：，，，，

在数轴上表示各数，如图：

∴．

【点睛】本题考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上的点所表示的数越向右越大是解本题的关键．

21．(1)3月，5月，6月是增长的

(2)负数表示降低，营业额下降

(3)没有增长的是1月，2月，4月

【分析】（1）根据正数表示增长，可得负数表示降低；

（2）根据正数表示增长，可得负数表示降低；

（3）根据正数表示增长，可得负数表示降低，0表示不变．

【详解】（1）由正数表示增长，该超市2023年上半年的营业额与2023年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的；

（2）由负数表示降低，可得2023年1月和4月比上年同月增长率是负数，表示降低，营业额下降；

（3）2023年上半年与2023年上半年同月相比，营业额没有增长即比上年同月增长%为0的有2月、1月、4月．

【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．

22．（1）1020；（2）3020；（3）3000或3040

【分析】（1）数轴上原点左侧的数为负数，原点右侧的数为正数，可表示出A、C所对应的数；

（2）原点O在A，B两点之间，|a|＋|b|＝AB，|bc|＝BC，进而求出结果；

（3）若原点O在点B的左边；若原点O在点B的左边；分两种情况讨论可求a＋bc的值．

【详解】解：（1）∵点B为原点，AB＝2023，BC＝1000，

∴点A表示的数为a＝2023，点C表示的数是c＝1000，

∴a＋b＋c＝2023＋0＋1000＝1020；

（2）∵原点在A，B两点之间，

∴|a|＋|b|＋|bc|＝AB＋BC＝2023＋1000＝3020．

答：|a|＋|b|＋|bc|的值为3020；

（3）若原点O在点B的左边，则点A，B，C所对应数分别是a＝2000，b＝20，c＝1020，

则a＋bc＝2000＋171017＝3000；

若原点O在点B的右边，则点A，B，C所对应数分别是a＝2040，b＝20，c＝980，

则a＋bc＝204020980＝3040，

∴的值为：3000或3040．

【点睛】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，用数轴表示则更容易解决问题．

23．（1）＜；＞；＜；（2）﹣2a+b+2c

【分析】（1）利用数轴上表示的数原点左边的是负数，右边的是正数和有理数的减法法则进行解答即可；

（2）利用（1）中的结论，根据绝对值的意义化简即可．

【详解】解：（1）∵数轴上表示的数原点左边的是负数，右边的是正数，

∴a＜0，b＜0，c＞0且|b|＞|c|，

∴﹣a＞0，c﹣a＞0，b+c＜0．

故答案为：＜；＞；＜；

（2）∵a＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，

∴

．

【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与数轴的关系．

24．（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于2；②和3（不唯一）

（2）①或；②

【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；

（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；

【详解】解：（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．

故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．

②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．

故答案为：，．

（2）①不等式的解集是或．

故答案为：或．

②不等式的解集是，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

25．(1)见解析

(2)

(3)经过或秒后点A到点C的距离为3cm

(4)的值不会随着t的变化而变化，

【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；

（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；

（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；

（4）表示出BA、CB，再相减即可解题．

【详解