2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题 13.2.2空间两条直线位置关系（含解析）

第第页2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题13.2.2空间两条直线位置关系（含解析）13.2.2空间两条直线位置关系

一、单选题

1．若，，则直线，的位置关系是（）

A．平行或异面B．平行或相交C．相交或异面D．平行、相交或异面

【答案】D

【解析】

【分析】

利用条件，联系立方体即可得出结论.

【详解】

解：如图所示，设平面为平面

若，，故，，，相交；

若，，故，，，异面；

若，，故，，，平行.

故选：D

2．己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.

【详解】

“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（）条．

A．2B．4

C．6D．8

【答案】D

【解析】

【分析】

由正方体ABCD-A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果．

【详解】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．

故选：D．

4．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

连结，，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的大小．

【详解】

解：连结，，

在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，

，是异面直线与所成角（或所成角的补角），

，

，

异面直线与所成角的大小是．

故选：C．

5．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

【答案】D

【解析】

【分析】

将直线l1，l2，l3，l4放在正方体中，由此即可判断出答案.

【详解】

构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C.

故选:D.

6．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接、，证明出，可得出直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果.

【详解】

连接、，如下图所示：

在正方体中，且，则四边形为平行四边形，

所以，，故直线与所成角为或其补角，

由勾股定理可得，，

由余弦定理可得.

因此，直线与所成角的余弦值为.

故选：B.

二、多选题

7．，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（）

A．，B．，

C．，，共面D．，，共点，，共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可.

【详解】

解：由，，则、平行、异面都有可能，故A错误；

由，得，故B正确；

当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；

当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；

故选：ACD.

8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（）

A．与平行

B．

C．与成60°

D．四条直线、、、中任意两条都是异面直线

【答案】BCD

【解析】

【分析】

还原成正方体之后根据正方体性质分析线线位置关系.

【详解】

根据展开图还原正方体如图所示：

与不平行，所以A错误；

正方体中，，所以，所以B正确；

，与成角就是，是等边三角形，所以=60°，所以C正确；

由图可得四条直线、、、中任意两条既不想交也不平行，所以任意两条都是异面直线.

故选：BCD

9．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（）

A．直线与是相交直线B．直线与是异面直线

C．与平行D．直线与共面

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据异面直线的定义，结合三角形中位线定理、正方体的性质、共面的判定方法逐一进行判断即可.

【详解】

根据异面直线的定义可以判断直线与、直线与、直线与都是异面直线，因此选项AC不正确，选项B正确，

因为，分别为棱，的中点，

所以，由正方体的性质可知：

，

所以四边形是平行四边形，因此，所以，

因此四点共面，所以直线与共面，因此选项D正确，

故选：BD

10．（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（）

A．B．截面PQMN

C．D．异面直线与所成的角为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据线线、线面平行判定和性质逐一判断即可.

【详解】

解：因为截面是正方形，所以，

又平面，平面

所以平面

又平面,平面平面

所以

因为截面，截面，

所以截面，故B正确

同理可证

因为，所以，故A正确

又

所以异面直线与所成的角为，故D正确

和不一定相等，故C错误

故选：ABD

三、填空题

11．在正方体中，，则异面直线与所成的角的大小为________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求出的大小，再根据可求异面直线与所成的角的大小.

【详解】

在底面中，为直角三角形，

由可得.

因为，故为异面直线与所成的角，

故异面直线与所成的角为.

故答案为：

【点睛】

本题考查异面直线所成的角的计算，注意通过平移把空间角转化为平面角进行计算，本题为基础题.

12．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有_______条．

【答案】2

【解析】

【分析】

结合异面直线成角作出图形分析即可求出结果.

【详解】

可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，

则，则的角平分线与直线a，b所成的角均为，的角平分线与直线a，b所成的角均为，因为，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条（直线），

故答案为：2.

四、解答题

13．空间四边形中，，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

首先说明、、三点均在面内，而不在面内，故而可得结论.

【详解】

因为，所以、不重合．

设所在平面为，则，，，，

所以与异面．

14．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点.

（1）证明：四边形EFD1C是梯形；

（2）求异面直线EF与BC1所成角.

【答案】（1）证明见解析，（2）

【解析】

【分析】

（1）连接，则可得∥，，再由正方形的性质可得∥，，从而可证得四边形EFD1C是梯形；

（2）连接，由∥，可得异面直线EF与BC1所成角，而为等边三角形，从而可求得结果

【详解】

（1）证明：连接，

因为、分别是AB、AA1的中点，

所以∥，，

因为在正方体中，∥，，

所以四边形为平行四边形，

所以∥，，

所以∥，，

所以四边形EFD1C是梯形；

（2）连接，

由（1）得∥，

所以异面直线EF与BC1所成角，

因为为等边三角形，

所以，

所以异面直线EF与BC1所成角为

15．如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

利用基本事实4和基本事实2可证三线共点.

【详解】

证明连接GE，HF.

因为E，G分别为BC，AB中点，所以.

因为DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.

从而GE∥HF且，故G，E，F，H四点共面且四边形为梯形，

因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD.

而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一点．13.2.2空间两条直线位置关系

一、单选题

1．若，，则直线，的位置关系是（）

A．平行或异面B．平行或相交C．相交或异面D．平行、相交或异面

2．己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（）条．

A．2B．4

C．6D．8

4．如图，正方体中，直线和所成角的大小为（）

A．B．

C．D．

5．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

6．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（）

A．B．

C．D．

二、多选题

7．，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（）

A．，B．，

C．，，共面D．，，共点，，共面

8．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（）

A．与平行

B．

C．与成60°

D．四条直线、、、中任意两条都是异面直线

9．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（）

A．直线与是相交直线B．直线与是异面直线

C．与平行D．直线与共面

10．如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（）

A．B．截面PQMN

C．D．异面直线与所成的角为

三、填空题

11．在正方体中，，则异面直线与所成的角的大小为________.

12．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角