2024届物理一轮复习讲义第1讲 曲线运动 运动的合成与分解含答案

2024届物理一轮复习讲义第1讲曲线运动运动的合成与分解学习目标1.理解物体做曲线运动的条件及运动性质。2.理解合运动与分运动的概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。1.2.1.思考判断(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(×)(2)做曲线运动的物体的加速度一定是变化的。(×)(3)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。(√)(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)(5)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(×)(6)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间均满足平行四边形定则。(√)2.如图1所示，高速摄像机记录了一名擅长飞牌、射牌的魔术师的发牌过程，虚线是飞出的扑克牌的轨迹，则图中扑克牌所受合外力F与速度v关系正确的是()图1答案A考点一曲线运动的条件和轨迹分析1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系(1)速度方向与运动轨迹相切。(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。2.速率变化的判断例1(多选)(2023·河北唐山高三期末)在珠海举行的第13届中国航展吸引了全世界的军事爱好者。如图2，曲线ab是一架飞机在竖直面内进行飞行表演时的轨迹。假设从a到b的飞行过程中，飞机的速率保持不变。则沿曲线ab运动时，飞机()图2A.所受合力方向竖直向下B.所受合力大小不等于0C.飞机竖直分速度变大D.飞机水平分速度保持不变答案BC解析飞机做曲线运动，所受合力方向指向轨迹的凹侧，则合力方向不一定竖直向下，选项A错误；飞机做曲线运动，加速度不为零，则所受合力大小不等于0，选项B正确；飞机的速率保持不变，则向下运动时竖直分速度变大，水平分速度减小，选项C正确，D错误。跟踪训练1.(2023·河南郑州高三月考)一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后()A.继续做匀变速直线运动B.在相等时间内速度的变化量一定相等C.可能做匀速直线运动D.可能做变加速曲线运动答案B解析当F1突然增大到F1＋ΔF瞬间，合力的大小和方向发生了变化，此时合力与速度的方向不在同一条直线上，质点将做曲线运动，接下来合力的大小和方向再次保持不变，加速度再次保持不变，因此质点一定做匀变速曲线运动，在相等时间内速度的变化量一定相等，故B正确。考点二运动的合成与分解1.合运动的性质判断加速度(或合外力)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(变化：非匀变速运动,不变：匀变速运动))eq\a\vs4\al(加速度（或合外力）,方向与速度方向)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))加速度(或合外力)为0：匀速直线运动2.两个直线运动的合运动性质的判断依据：看合初速度方向与合加速度(或合外力)方向是否共线。两个互成角度的分运动合运动的性质两个匀速直线运动匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果v合与a合共线，为匀变速直线运动如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动例2如图3所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是()图3A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害C.运动员下落时间与风力无关D.运动员着地速度与风力无关答案C解析运动员同时参与了两个分运动，竖直方向和水平方向的运动，两个分运动同时发生，相互独立，则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，选项A错误，C正确；不论风速大小，运动员着地时的竖直速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误。跟踪训练2.(2022·江苏南京模拟)雨滴在空中以4m/s的速度匀速竖直下落，某同学打伞以3m/s的速度匀速向西急行，如果希望雨滴垂直打向伞的截面，则伞柄应指的方向为(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)()A.向西倾斜，与竖直方向成53°角B.向西倾斜，与竖直方向成37°角C.向东倾斜，与竖直方向成37°角D.向东倾斜，与竖直方向成53°角答案B解析如图所示，以伞面为参考系，雨滴同时有水平向东和竖直向下的分速度，则有tanθ＝eq\f(3,4)，解得θ＝37°，可知伞柄应指的方向为向西倾斜，与竖直方向成37°角，B正确，A、C、D错误。考点三小船渡河模型1.船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。2.三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。3.两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq\f(d,v船)渡河位移最短如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船＜v水，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于eq\f(dv水,v船)4.分析思路例3(多选)(2023·河北邯郸高三期末)2021年夏天，中国多地出现暴雨，导致洪涝灾害。在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航行时，则恰能到达正对岸，已知河水的流速大小为5m/s，下列说法正确的是()A.冲锋舟在静水中的速度大小为10m/sB.河的宽度为400eq\r(3)mC.冲锋舟在静水中的速度大小为eq\f(10\r(3),3)m/sD.河的宽度为600eq\r(3)m答案BC解析冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有v静cos30°＝v水，解得v静＝eq\f(10\r(3),3)m/s，故A错误，C正确；当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游600m处，由于船在垂直河岸方向和沿河岸方向都是匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比，即eq\f(d,s)＝eq\f(v静,v水)，式中s指沿河岸方向的位移，为600m，d指河宽，可解得d＝400eq\r(3)m，故B正确，D错误。跟踪训练3.如图4所示，河水由西向东流，河宽为800m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq\f(3,400)x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4m/s，则下列说法正确的是()图4A.小船渡河的轨迹为直线B.小船在河水中的最大速度是5m/sC.小船在距南岸200m处的速度小于在距北岸200m处的速度D.小船渡河的时间是160s答案B解析小船在南北方向上为匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，速度与加速度不共线，小船的合运动是曲线运动，选项A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，v水＝3m/s，此时小船的合速度最大，最大值vm＝5m/s，选项B正确；小船在距南岸200m处的速度等于在距北岸200m处的速度，选项C错误；小船的渡河时间t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(800,4)s＝200s，选项D错误。考点四绳(杆)端速度分解模型1.模型特点与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。2.分解原则3.常见模型模型绳端速度分解模型例4(多选)如图5所示，不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为FT，在此后的运动过程中，下列说法正确的是()图5A.物体A做加速运动 B.物体A做匀速运动C.FT小于mgsinθ D.FT大于mgsinθ答案AD解析由图可知绳端的速度v绳＝vsinα，与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，v绳变大，因此物体A做加速运动，FT大于mgsinθ，故A、D正确，B、C错误。跟踪训练4.质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图6)，下列判断正确的是()图6A.P的速率为vB.P的速率为vcosθ2C.绳的拉力等于mgsinθ1D.绳的拉力小于mgsinθ1答案B解析将小车的速度v沿绳子方向和垂直于绳子方向正交分解，如图所示，物体P的速度与小车沿绳子方向的速度相等，则有vP＝vcosθ2，故B正确，A错误；小车向右运动，θ2减小，v不变，所以vP逐渐变大，说明物体P沿斜面向上做加速运动。对物体P受力分析可知，物体P受到竖直向下的重力，垂直于斜面向上的支持力，沿绳向上的拉力FT，沿斜面和垂直于斜面方向建立正交轴，沿斜面方向由牛顿第二定律可得FT－mgsinθ1＝ma，可得FT>mgsinθ1，故C、D错误。模型杆端速度分解模型例5(2023·湖北武汉高三期末)活塞带动飞轮转动可简化为如图7所示的模型：图中A、B、O三处都是转轴，当活塞在水平方向上移动时，带动连杆AB运动，进而带动OB杆以O点为轴转动。若某时刻活塞的水平速度大小为v，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β，此时B点做圆周运动的线速度大小为()图7A.eq\f(vsinα,sinβ) B.eq\f(vcosα,sinβ) C.eq\f(vcosα,cosβ) D.eq\f(vsinα,cosβ)答案B解析设B点做圆周运动的线速度大小为v′，此速度为B的实际速度，根据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如图，沿杆方向的分速度为vB＝v′coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,2)))＝v′sinβ，A点速度为水平方向的v，根据运动的合成与分解，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直杆方向的分速度，如上图，沿杆方向的分速度为vA＝vcosα，又有二者沿杆方向的分速度相等，即v′sinβ＝vcosα，则v′＝eq\f(vcosα,sinβ)，故B正确。跟踪训练5.如图8所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为()图8A.eq\f(v,sinθ) B.vsinθ C.eq\f(v,cosθ) D.vcosθ答案C解析将直杆端点A的线速度进行分解，如图所示，由图中的几何关系可得v0＝eq\f(v,cosθ)，选项C正确，A、B、D错误。A级基础对点练对点练1曲线运动的条件和轨迹分析1.(2022·广东深圳模拟)一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐增大。图中分别画出了汽车转弯时受到的合力F的四种方向，可能正确的是()答案B解析一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，合力F指向曲线弯曲的凹侧，由M向N行驶时速度逐渐增大，合力F需与速度成锐角，综合来看，B是可能的，B正确。2.(2023·浙江杭州高三月考)“落叶球”是足球比赛中任意球的一种踢法，如图1所示，这是某运动员主罚任意球时踢出快速旋转的“落叶球”在空中运动的轨迹跟正常飞行轨迹相比，“落叶球”会更早地向下落回地面。对“落叶球”在飞行过程中的分析正确的是()图1A.“落叶球”在空中的运动轨迹是对称的B.“落叶球”更早下落是因为在运动过程中受到了指向轨迹内侧的空气作用力C.“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了沿切线方向的空气阻力D.“落叶球”在最高点的瞬时速度为零答案B解析“落叶球”是快速旋转的球，所以在空中的轨迹是不对称的，A错误；根据做曲线运动的条件知，“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了指向轨迹内侧的空气作用力，C错误，B正确；“落叶球”在最高点的竖直速度为零，水平速度不为零，所以瞬时速度不为零，D错误。对点练2运动的合成与分解3.如图2所示，一热气球在匀加速竖直向上运动的同时随着水平气流向右匀速运动，若设竖直向上为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，则热气球实际运动的轨迹可能是()图2答案B解析气球水平向右做匀速运动，竖直向上做匀加速运动，则合加速度竖直向上，所受合力竖直向上，轨迹向上弯曲，故B正确。4.一小型无人机在高空中飞行，将其运动沿水平方向和竖直方向分解，水平位移x随时间t变化的图像如图3甲所示，竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是()图3A.0～2s内做匀加速直线运动B.t＝2s时速度大小为eq\r(5)m/sC.2～4s内加速度大小为1m/s2D.0～4s内位移大小为10m答案B解析对无人机，0～2s内，由题图甲知，水平方向做匀速直线运动，由题图乙知，竖直方向做匀加速直线运动，则0～2s内做匀加速曲线运动，故A错误；水平方向速度大小为vx＝1m/s，t＝2s时竖直方向速度大小为vy＝2m/s，则t＝2s时速度大小为v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(5)m/s，故B正确；2～4s内水平方向、竖直方向均做匀速直线运动，加速度大小为0，故C错误；0～4s内水平方向位移大小为x＝4m，竖直方向位移大小为y＝eq\f(1,2)×2×2m＋(4－2)×2m＝6m，则位移大小为s＝eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(13)m，故D错误。对点练3小船渡河模型5.(2023·福建福州模拟)洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图4所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟行驶，若冲锋舟沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，采取以最小速度和最短时间两种方案行驶，则两种方案中冲锋舟的最小速度v1和以最短时间行驶冲锋舟的速度v2之比为()图4A.1∶2 B.1∶eq\r(3) C.2∶eq\r(3) D.eq\r(3)∶2答案D解析冲锋舟以最小速度v1和最短时间分别从A到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，有v1＝vsin30°，最短时间行驶时冲锋舟速度v2垂直于水平河岸，有v2＝vtan30°，可知eq\f(v1,v2)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故选项D正确。6.(2022·四川成都模拟)一条平直小河的河水由西向东流，水流速度的大小为v水＝4m/s，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，已知小船在垂直河岸方向运动的规律满足x＝6t－0.05t2，且小船刚好到达河对岸，则关于小船在渡河的这段时间内的运动情况，下列说法正确的是()A.小船渡河的轨迹为直线B.小船在河水中40s时的速度为eq\r(41)m/sC.小船在河水中40s时的位移为160mD.小船到达河对岸时沿河岸方向运动的位移为240m答案D解析由题意可知，在这段时间内小船沿河岸方向做匀速直线运动，垂直河岸方向做匀减速直线运动，减速运动的初速度v0＝6m/s，加速度a＝－0.1m/s2。这段时间小船所受合力垂直河岸，与速度不共线，小船做曲线运动，故A错误；由v＝v0＋at，可得t＝40s时垂直河岸方向的速度为2m/s，根据平行四边形定则求得合速度为2eq\r(5)m/s，故B错误；由x＝6t－0.05t2，求得t＝40s时小船垂直河岸方向的位移为160m，此时沿河岸方向的位移为160m，由平行四边形定则求得合位移为160eq\r(2)m，故C错误；由v＝v0＋at可得，垂直河岸方向的速度为0时经过的时间为60s，小船沿河岸方向运动的位移为x沿河岸＝v水t＝240m，故D正确。对点练4绳(杆)端速度分解模型7.(2023·福建福州高三月考)如图5所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为M，货物的质量为m，货车以速度v向左做匀速直线运动，重力加速度为g，则在将货物提升到图示的位置时，下列说法正确的是()图5A.缆绳中的拉力FT大于(M＋m)gB.货箱向上运动的速度大于vC.货箱向上运动的速度等于eq\f(v,cosθ)D.货箱处于失重状态答案A解析将货车的速度进行正交分解，如图所示，由于绳子不可伸长，货箱和货物整体向上运动的速度和货车速度沿着绳子方向的分量相等，故v1＝vcosθ，则货箱向上运动的速度小于v，故B、C错误；由于θ不断减小，cosθ增大，故v1增大，所以货箱和货物整体向上做加速运动，加速度向上，故拉力FT大于(M＋m)g，则货箱处于超重状态，故A正确，D错误。8.如图6，甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是()图6A.甲、乙两球的速度大小之比为eq\r(7)∶3B.甲、乙两球的速度大小之比为3eq\r(7)∶7C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大答案B解析设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为v1∥＝v1cosθ，v2在沿杆方向的分量为v2∥＝v2sinθ，而v1∥＝v2∥，图示位置时，有cosθ＝eq\f(\r(7),4)，sinθ＝eq\f(3,4)，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为eq\f(v1,v2)＝eq\f(3\r(7),7)，选项A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。B级综合提升练9.(2022·山东临沂模拟)如图7，某河流中水流速度大小恒为v1，A处的下游C处有个漩涡，漩涡与河岸相切于B点，漩涡的半径为r，AB＝eq\f(4,3)r。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸，小船航行时在静水中速度的最小值为()图7A.eq\f(3,5)v1 B.eq\f(24,25)v1 C.v1 D.eq\f(5,3)v1答案B解析根据题意得tanθ＝eq\f(r,\f(4,3)r)，解得θ＝37°，小船航行时在静水中速度的最小值为v2＝v1sin2θ，解得v2＝eq\f(24,25)v1，故B正确。10.如图8所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度大小相等，且两船相遇不影响各自的航行，下列判断正确的是()图8A.甲船也能到达正对岸B.甲船渡河时间一定短C.两船相遇在NP直线上的某点(非P点)D.渡河过程中两船不会相遇答案C解析甲船航行的方向与河岸成α角，水流速度水平向右，故合速度一定不会垂直河岸，即甲船不能垂直到达对岸，故A错误；在垂直河岸方向上，v甲＝vsinα，v乙＝vsinα，故渡河时间t甲＝eq\f(d,v甲)＝eq\f(d,vsinα)，t乙＝eq\f(d,v乙)＝eq\f(d,vsinα)，所以两船渡河时间相等，因为在垂直河岸方向上的分速度相等，又是同时出发的，故两船相遇在NP直线上的某点(非P点)，故B、D错误，C正确。11.(2022·江苏南京模拟)如图9所示，竖直平面内放一直角杆MON，杆的水平部分粗糙，动摩擦因数μ＝0.2，杆的竖直部分光滑。两部分各套有质量均为1kg的小球A和B，A、B球间用细绳相连。A球在水平拉力F的作用下向右做速度大小为2m/s的匀速运动。g＝10m/s2，那么在该过程中()图9A.拉力F为恒力，大小为4NB.A球所受的摩擦力为恒力，大小为4NC.B球向上做速度大小为2m/s的匀速运动D.B球向上做加速运动，当OA＝3m，OB＝4m时，B球的速度为1.5m/s答案D解析设某时刻细绳与竖直方向的夹角为θ，如图甲，因绳子不可伸长，所以有vAsinθ＝vBcosθ，化简得vB＝vAtanθ，在运动过程中，绳子与竖直方向的夹角一直在增大，所以B球的速度一直增大，选项C错误；当OA＝3m，OB＝4m时，B球的速度vB＝vAtanθ＝2×eq\f(3,4)m/s＝1.5m/s，选项D正确；甲分别对A、B受力分析如图乙，根据前面分析有vB＝vAtanθ，由数学知识可知B球的速度增加的越来越快，即加速度越来越大，设B球的加速度大小为a，这时绳的拉力的竖直分量为FTcosθ＝mg＋ma，对A球有FN1＝FTcosθ＋mg＝2mg＋ma，则摩擦力Ff＝μFN1＝μ(2mg＋ma)，由于a变化，则A球所受的摩擦力不为恒力，选项B错误；由于A球匀速运动，所以拉力F＝Ff＋FTsinθ＝μ(2mg＋ma)＋FTsinθ，由于a和θ不断变化，则拉力F不是恒力，选项A错误。乙12.(2023·广东广州高三专练)质量m＝2kg的物体在光滑水平面上运动，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy随时间变化的图像如图10甲、乙所示，求：图10(1)物体所受的合力大小；(2)物体的初速度大小；(3)0～4s内物体的位移大小；(4)t2＝8s时物体的速度大小；(5)物体运动轨迹的表达式。答案(1)1N(2)3m/s(3)4eq\r(10)m(4)5m/s(5)y＝eq\f(x2,36)(m)解析(1)物体在x方向的加速度大小ax＝0在y方向的加速度大小ay＝eq\f(Δvy,Δt)＝0.5m/s2故合加速度为a＝ay＝0.5m/s2根据牛顿第二定律得F合＝ma＝1N。(2)由题图可知vx0＝3m/s，vy0＝0所以物体的初速度大小为v0＝vx0＝3m/s。(3)0～4s内物体在x、y方向上位移分别为x1＝vx0t1＝12m，y1＝eq\f(1,2)ayteq\o\al(2,1)＝4m所以0～4s内物体的位移s1＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))＝4eq\r(10)m。(4)t2＝8s时，物体在x、y方向上速度分别为vx2＝vx0＝3m/s，vy2＝ayt2＝4m/s所以此时物体的速度大小为v2＝eq\r(veq\o\al(2,x2)＋veq\o\al(2,y2))＝5m/s。(5)由x＝vxt，y＝eq\f(1,2)ayt2，vx＝3m/say＝0.5m/s2，联立可得y＝eq\f(x2,36)(m)。第2讲抛体运动学习目标1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质。2.掌握抛体运动的规律，会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动。3.会运用平抛运动的规律处理类平抛问题。1.2.1.思考判断(1)以一定初速度水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。(×)(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)(3)做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大。(×)(4)做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)(5)若不计空气阻力，从同一高度平抛的物体，在空中飞行时间相等。(√)(6)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√)2.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京隆重开幕。若冬奥会跳台滑雪比赛运动员从平台飞出后可视为平抛运动，现运动员甲以一定的初速度从平台飞出，轨迹为图1中实线①所示，质量比甲小的运动员乙以相同的初速度从平台同一位置飞出，不计空气阻力，则运动员乙的运动轨迹应为图中的()图1A.① B.② C.③ D.④答案A考点一平抛运动基本规律的应用1.飞行时间由t＝eq\r(\f(2h,g))知，下落的时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。2.水平射程x＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。3.速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。4.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即xB＝eq\f(xA,2)，如图所示。(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tanθ＝2tanα。角度单物体的平抛运动例1(2022·广东卷，6)如图2所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是()图2A.将击中P点，t大于eq\f(L,v)B.将击中P点，t等于eq\f(L,v)C.将击中P点上方，t大于eq\f(L,v)D.将击中P点下方，t等于eq\f(L,v)答案B解析由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h＝eq\f(1,2)gt2，可知下落高度相同，所以将击中P点；初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，有t＝eq\f(L,v)，故B正确。跟踪训练1.(2023·湖北武汉月考)用图3甲所示的装置研究平抛运动，在水平桌面上放置一个斜面，每次都让小钢球从斜面上的同一位置由静止滚下，滚过桌边后钢球便做平抛运动打在竖直墙壁上，把白纸和复写纸贴在墙上，就可以记录小钢球的落点。改变桌子和墙的距离，就可以得到多组数据。已知四次实验中桌子右边缘离墙的距离分别为10cm、20cm、30cm、40cm，在白纸上记录的对应落点分别为A、B、C、D，如图乙所示，B、C、D三点到A点的距离之比为()图3A.4∶9∶16 B.3∶8∶15C.3∶5∶7 D.1∶3∶5答案B解析根据平抛运动规律得x＝v0t，h＝eq\f(1,2)gt2，可知运动时间之比t1∶t2∶t3∶t4＝1∶2∶3∶4，竖直方向运动距离之比h1∶h2∶h3∶h4＝1∶4∶9∶16，则B、C、D三点到A点的距离之比(h2－h1)∶(h3－h1)∶(h4－h1)＝3∶8∶15，故B正确。角度多物体的平抛运动例2如图4所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为3h，B点离地面的高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在C点相遇，C点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则()图4A.两个小球一定同时抛出B.两个小球一定同时落地C.两个小球抛出的时间间隔为(2－eq\r(2))eq\r(\f(h,g))D.两个小球抛出的初速度之比eq\f(vA,vB)＝eq\f(1,2)答案C解析平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))，由于A到C的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球运动时间较长，应A先抛出；它们在C点相遇时A的竖直方向速度较大，离地面的高度相同，所以A小球一定先落地，故A、B错误；由t＝eq\r(\f(2h,g))得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝eq\r(\f(2×2h,g))－eq\r(\f(2h,g))＝(2－eq\r(2))eq\r(\f(h,g))，故C正确；由x＝v0t得v0＝xeq\r(\f(g,2h))，x相等，则小球A、B抛出的初速度之比eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(hB,hA))＝eq\r(\f(h,2h))＝eq\f(\r(2),2)，故D错误。跟踪训练2.如图5所示，x轴在水平地面上，y轴在竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。不计空气阻力，下列说法正确的是()图5A.a和b的初速度大小之比为eq\r(2)∶1B.a和b在空中运动的时间之比为2∶1C.a和c在空中运动的时间之比为eq\r(2)∶1D.a和c的初速度大小之比为2∶1答案C解析根据t＝eq\r(\f(2h,g))可知a和b在空中运动的时间之比为eq\r(2)∶1；根据v＝eq\f(x,t)可知a和b的初速度大小之比为1∶eq\r(2)，选项A、B错误；根据t＝eq\r(\f(2h,g))可知a和c在空中运动的时间之比为eq\r(2)∶1，根据v＝eq\f(x,t)可知a和c的初速度大小之比为eq\r(2)∶1，选项C正确，D错误。考点二类平抛运动1.受力特点物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。2.运动特点在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝eq\f(F合,m)。3.求解方法(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。例3(2023·浙江杭州高三专练)据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图6所示的AOB为此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率为()图6A.eq\f(x,t) B.eq\f(y,t)C.eq\f(\r(x2＋y2),t) D.eq\f(\r(x2＋4y2),t)答案D解析战机的运动轨迹为抛物线，则x＝vt，y＝eq\f(1,2)at2，解得a＝eq\f(2y,t2)，则B点的竖直速度veq\o\al(2,By)＝2ay＝eq\f(4y2,t2)；则战机离开B点的速率为vB＝eq\r(v2＋veq\o\al(2,By))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,t)))2＋\f(4y2,t2))＝eq\f(\r(x2＋4y2),t)，故D正确。跟踪训练3.如图7所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g)图7(1)物块由P运动到Q所用的时间t；(2)物块由P点水平射入时的初速度v0的大小；(3)物块离开Q点时速度的大小v。答案(1)eq\r(\f(2l,gsinθ))(2)beq\r(\f(gsinθ,2l))(3)eq\r(\f(（b2＋4l2）gsinθ,2l))解析(1)沿斜面向下，有mgsinθ＝mal＝eq\f(1,2)at2联立解得t＝eq\r(\f(2l,gsinθ))。(2)沿水平方向，有b＝v0tv0＝eq\f(b,t)＝beq\r(\f(gsinθ,2l))。(3)物块离开Q点时的速度大小v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋（at）2)＝eq\r(\f(（b2＋4l2）gsinθ,2l))。考点三斜抛运动1.斜抛运动的射高和射程(1)斜抛运动的飞行时间：t＝eq\f(2v0y,g)＝eq\f(2v0sinθ,g)。(2)射高：h＝eq\f(veq\o\al(2,0y),2g)＝eq\f(veq\o\al(2,0)sin2θ,2g)。(3)射程：s＝v0cosθ·t＝eq\f(2veq\o\al(2,0)sinθcosθ,g)＝eq\f(veq\o\al(2,0)sin2θ,g)，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝eq\f(veq\o\al(2,0),g)。2.逆向思维法处理斜抛运动对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。例4(2023·浙江杭州模拟)如图8所示，某同学将质量相同的三个物体从水平地面上的A点以同一速率沿不同方向抛出，运动轨迹分别为图上的1、2、3。若忽略空气阻力，在三个物体从抛出到落地过程中，下列说法正确的是()图8A.轨迹为1的物体在最高点的速度最大B.轨迹为3的物体在空中飞行时间最长C.轨迹为1的物体所受重力的冲量最大D.三个物体单位时间内速度变化量不同答案C解析根据斜上抛运动的对称性可知，物体在最高点的速度为平抛运动的初速度，由h＝eq\f(1,2)gt2和x＝v0t得v0＝xeq\r(\f(g,2h))，可得v01＜v02＜v03，即轨迹为3的物体在最高点的速度最大，故A错误；由h＝eq\f(1,2)gt2知，斜抛的总时间为t总＝2t，因h1＞h2＞h3，可得轨迹为1的物体在空中飞行时间最长，故B错误；重力的冲量为IG＝mgt，则轨迹为1的物体所受重力的冲量最大，故C正确；三个物体均做斜上抛运动，由Δv＝g·Δt可知，单位时间内速度变化量相同均为g，故D错误。跟踪训练4.(多选)在篮球比赛中，投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中率。在一次投篮表演中，郭同学在空中一个漂亮的投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上，设投球点到篮筐距离为9.8m，不考虑空气阻力，g取10m/s2。则()图9A.篮球出手的速度大小为7m/sB.篮球在空中运动的时间为1.4sC.篮球进筐的速度大小为7eq\r(2)m/sD.篮球投出后的最高点相对地面的竖直高度为2.45m答案BC解析篮球在空中做斜抛运动，设出手时速度为v，从抛出到入筐，篮球运动的总时间为t＝2eq\f(vsin45°,g)，水平位移x＝vcos45°·t，联立解得t＝1.4s，v＝7eq\r(2)m/s，由对称性可知，进筐时速度大小也为7eq\r(2)m/s，故A错误，B、C正确；由抛出到最高点，竖直高度h＝eq\f(vsin45°＋0,2)·eq\f(t,2)＝2.45m，但最高点相对地面的竖直高度要大于2.45m，故D错误。A级基础对点练对点练1平抛运动基本规律的应用1.(多选)(2022·天津河西区模拟)以速度v0水平抛出一小球，如果从抛出到某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，则以下判断正确的是()A.此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小的2倍B.此时小球的速度大小为4v0C.此时小球的速度方向与位移方向相同D.小球运动的时间eq\f(2v0,g)答案AD解析根据题意可得v0t＝eq\f(1,2)gt2，小球的运动时间为t＝eq\f(2v0,g)，小球的竖直分速度大小为vy＝gt＝2v0，即竖直分速度大小等于水平分速度大小的2倍，故A、D正确；此时小球的速度大小为v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(5)v0，故B错误；速度与水平方向的夹角正切值为tanα＝eq\f(vy,v0)＝2，位移与水平方向夹角的正切值为tanθ＝eq\f(y,x)＝1，显然α≠θ，即小球的速度方向与位移方向不同，故C错误。2.(2023·广东深圳一模)环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中满口排出污水，如图1所示。环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为10cm，管口中心距离河水水面的高度为80cm，污水入河道处到排污管管口的水平距离为120cm，重力加速度g取10m/s2，则该管道的排污量(即流量——单位时间内通过管道某横截面的流体体积)约为()图1A.24L/s B.94L/s C.236L/s D.942L/s答案A解析根据平抛运动规律有x＝vt0，h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0)，解得v＝3m/s，根据流量的定义有Q＝eq\f(V,t)，而V＝SL＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq\s\up12(2)·vt，解得Q＝0.024m3/s＝24L/s，故A正确，B、C、D错误。3.如图2所示，某一小球以v0＝20m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点。在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10m/s2)。以下判断中正确的是()图2A.小球经过A点时竖直方向的速度为20eq\r(3)m/sB.小球经过A、B两点间的时间为t＝2(eq\r(3)－1)sC.A、B两点间的高度差h＝45mD.A、B两点间的水平位移相差(40eq\r(3)－20)m答案B解析根据平行四边形定则知vAy＝v0＝20m/s，vBy＝v0tan60°＝20eq\r(3)m/s，则小球由A到B的时间间隔Δt＝eq\f(vBy－vAy,g)＝eq\f(20\r(3)－20,10)s＝2(eq\r(3)－1)s，故A错误，B正确；A、B两点的高度差h＝eq\f(veq\o\al(2,By)－veq\o\al(2,Ay),2g)＝eq\f(1200－400,2×10)m＝40m，故C错误；A、B两点间的水平位移相差Δx＝v0Δt＝20×2(eq\r(3)－1)m＝40(eq\r(3)－1)m，故D错误。4.(多选)如图3所示，网球发球机水平放置在水平地面上方某处，正对着竖直墙面发射网球，两次发射的两球分别在墙上留下A、B两点印迹，测得OA＝AB＝h，OP为水平线，若忽略网球在空中受到的阻力，则()图3A.两球碰到墙面时的动量可能相同B.两球碰到墙面时的动能可能相等C.两球发射的初速度之比vOA∶vOB＝2∶1D.两球从发射到碰到墙面瞬间运动的时间之比tA∶tB＝1∶eq\r(2)答案BD解析动量为矢量，由图可知，两球与墙碰撞时其速度方向不相同，故两球碰到墙面时的动量不可能相同，故A错误；从拋出到与墙碰撞的过程中，根据平抛运动规律可知，A的水平速度大，竖直速度小，B的水平速度小，竖直速度大，则两球速度大小可能相同，动能可能相同，故B正确；忽略网球在空中受到的阻力，则可将网球做的运动视为平抛运动，在竖直方向有h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,A)，2h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,B)，解得tA∶tB＝1∶eq\r(2)，故D正确；在水平方向有x＝vOAtA，x＝vOBtB，则vOA∶vOB＝eq\r(2)∶1，故C错误。对点练2类平抛运动5.如图4所示，质量相同的A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是()图4A.A、B的运动时间相同B.A、B沿x轴方向的位移相同C.A、B运动过程中的加速度大小相同D.A、B落地时速度大小相同答案D解析对于A球，aA＝g，根据h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,A)得tA＝eq\r(\f(2h,g))；对于B球，设斜面倾角为θ，aB＝gsinθ，在沿斜面向下方向上，有eq\f(h,sinθ)＝eq\f(1,2)gsinθ·teq\o\al(2,B)，解得tB＝eq\r(\f(2h,gsin2θ))，可知tB＞tA，aA＞aB，故A、C错误；在x轴方向上，有x＝v0t，知B沿x轴的位移大于A沿x轴的位移，故B错误；因为只有重力做功，根据动能定理知mgh＝Ek－Ek0，因重力做功和初动能相同，所以末动能相等，所以A、B落地时的速度大小相等，速度方向不同(不共面)，故D正确。对点练3斜抛运动6.(2022·湖北黄冈模拟)某同学去游乐场看到水池中喷泉的水流以与水面成相同夹角、大小相等的速度向四周喷出，刚学完曲线运动的该同学得出了以下结论(不计空气阻力)，其中正确的是()图5A.初速度减半，水的水平射程也减半B.水到达最高点的速度为0C.初速度加倍，水在空中飞行时间加倍D.水落回水面的速度都相同答案C解析设水喷出时的初速度大小为v0，与水面的夹角为θ，则水在空中飞行时间为t＝eq\f(2v0sinθ,g)，水的水平射程为x＝(v0cosθ)t＝eq\f(veq\o\al(2,0)sin2θ,g)，所以初速度加倍时，水在空中飞行时间加倍，初速度减半时，水平射程变为原来的四分之一，故C正确，A错误；水到达最高点时竖直方向的分速度为0，但水平方向的分速度不为0，故B错误；根据斜抛运动的对称性可知水落回水面的速度大小都相同，但方向不同，故D错误。7.某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图6所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是()图6A.相邻位置运动员重心的速度变化相同B.运动员在A、D位置时重心的速度相同C.运动员从A到B和从C到D的时间相同D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间答案A解析由于运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，故可以利用斜抛运动规律分析，根据Δv＝gΔt(其中Δt为曝光的时间间隔)知，相邻位置运动员重心速度变化相同，所以A项正确；A、D位置速度大小相等，但方向不同，所以B项错误；从A到B为5个时间间隔，而从C到D为6个时间间隔，所以C项错误；据斜抛运动规律，当A、D处于同一水平高度时，从A点上升到最高点的时间与从最高点下降到D点的时间相等，所以C点为轨迹的最高点，D项错误。B级综合提升练8.(多选)如图7所示，从水平面上方O点水平抛出一个初速度大小为v0的小球，小球与水平面发生一次碰撞后恰能击中竖直墙壁上与O等高的A点，小球与水平面碰撞前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，不计空气阻力。若只改变初速度大小，使小球仍能击中A点，则初速度大小可能为()图7A.2v0 B.3v0 C.eq\f(v0,2) D.eq\f(v0,3)答案CD解析设竖直高度为h，小球以初速度v0平抛时与地面碰撞一次，反弹后击中A点，在竖直方向先加速后减速，在水平方向一直匀速，根据运动的对称性原理，可知该过程运动的时间为平抛运动时间的两倍，则有t＝2eq\r(\f(2h,g))，水平方向的位移xOA＝v0t＝2v0eq\r(\f(2h,g))；设当平抛速度为v0′时，经与地面n次碰撞，反弹后仍击中A点，则运动的时间为t′＝n·2eq\r(\f(2h,g))，(n＝1，2，3…)水平方向的位移不变，则有v0′＝eq\f(xOA,t′)，解得v0′＝eq\f(v0,n)(n＝1，2，3…)，故当n＝2时v0′＝eq\f(v0,2)，当n＝3时v0′＝eq\f(v0,3)，故A、B错误，C、D正确。9.如图8所示，将A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经时间t1在空中P点相遇，已知P点与A、B两点的竖直高度为h。若A、B两小球仍从原位置同时抛出，抛出的速度均增大一倍，两球经时间t2在Q点相遇，下列说法正确的是