四川省遂宁市高三高考三诊数学（文科）试卷

2021年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.）1．设命题p：∃x0∈R，x02﹣3x0+1＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x2﹣3x+1≥0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+1≥0 C．∀x∈R，x2﹣3x+1＜0 D．∃x0∈R，x02﹣3x0+1＜02．已知θ∈（0，），tanθ＝，则cos2θ＝（）A．﹣ B． C． D．3．已知等差数列{an}满足a1+a3＝8，a2+a4＝14，则它的前8项的和S8＝（）A．70 B．82 C．92 D．1054．为了普及新冠肺炎知识，增强疫情防控意识，某学校从高一和高二两个年级各抽取5位同学参加新冠肺炎知识测试，得分（十分制）情况如表所示，则下列描述正确的是（）高一年级组高二年级组得分45678得分569频数11111频数311A．高一年级组数据的平均数为6分，高二年级组数据的平均数为5分 B．两组数据的中位数都是6分 C．高一年级组数据的极差小于高二年级组数据的极差 D．高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差5．已知圆C的圆心为直线x+y＝0与x﹣y+2＝0的交点，半径为，且圆C截直线x+y+2＝0所得弦的长度为4，则实数m＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．在递增的数列{an}中，an+12＝an•an+2，若a1+am＝130，a2•am﹣1＝256，且前m项和Sm＝170．则m＝（）A．3 B．4 C．5 D．67．将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是（）附：柱体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为柱体的高）锥体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为锥体的高）台体的体积公式V＝（S1+S2+）h（S1，S2为台体的上、下底面面积，h为台体的高）A．14π B．15π C． D．8．设F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线依次与双曲线C的左、右支交于P，Q两点，若|PQ|＝2|QF2|＝2|OF2|，则该双曲线的离心率为（）A． B．1 C．2 D．39．已知函数f（x）＝2﹣x﹣4x，若a﹣，b＝log0.3，c＝log2.5，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）10．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，A＝，又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为，则球O的体积为（）A．12π B． C．36π D．45π11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，其中M为BC边的中点，∠ABC的平分线交线段AM于点N，交AC于点D，且＝﹣（a+b）（其中a＞0，b＞0），则的最小值为（）A．3+2 B．+ C．1+ D．6+412．已知函数f（x）＝tanx，其中﹣，当﹣1≤f（x）≤0时，x∈[a，b]；又函数g（x）＝sin（2x+﹣a）﹣3x2﹣2mx在[a，b]上单调递增，则实数m的最大值是（）A．2 B． C．1 D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13．复数z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则|z+3i|＝．14．已知向量＝（2，1），＝（﹣3，﹣1），且k﹣与垂直，则k＝．15．若，则z＝x+y的最小值是．16．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为H，则tan∠HMN的值为．三、解答题：本大题共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}中，a2＝，an＝an+1+2anan+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．18．我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类：一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位．另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才．专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类．某大学团委为了解该校大学学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人（其中有考普通硕士规划的6人中，2名是男生，4名是女生）．（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是有考普通硕士规划的概率有多大？（2）从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3个人，求其中男生至少一人的概率．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，点O为AB上一点，且AD＝DC＝BC＝CO＝CC1＝B＝2，AB∥CD，＝（）．（1）求证：C1O∥平面ADA1；（2）求点C到平面DBC1的距离．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|＝|OP|，当l⊥x轴时，△AOB的面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l不过坐标原点时，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝ex﹣x2+lnx，g（x）＝2﹣ex﹣lnx．（1）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k1，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为k2，求k1+k2的值；（2）若h（x）＝f（x）+g（x），设曲线y＝h（x）在点（t，h（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线1的极坐标方程为ρsin（）＝2．（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若t≠﹣1，求以曲线C与x轴的交点为圆心，且这个交点到直线l的距离为半径的圆的方程．[选修45：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．（1）求不等式f（x）≤9的解集；（2）当f（x）取最小值时，求使得mx﹣2m＝x+1成立的正实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1．设命题p：∃x0∈R，x02﹣3x0+1＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x2﹣3x+1≥0 B．∃x0∈R，x02﹣3x0+1≥0 C．∀x∈R，x2﹣3x+1＜0 D．∃x0∈R，x02﹣3x0+1＜0解：命题p：∃x0∈R，x02﹣3x0+1＜0，由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，则￢p为：∀x∈R，x2﹣3x+1≥0．故选：A．2．已知θ∈（0，），tanθ＝，则cos2θ＝（）A．﹣ B． C． D．解：∵θ∈（0，），tanθ＝，则cos2θ＝＝＝﹣，故选：C．3．已知等差数列{an}满足a1+a3＝8，a2+a4＝14，则它的前8项的和S8＝（）A．70 B．82 C．92 D．105解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由，得，解得a1＝1，d＝3．所以S8＝8a1+＝8+28×3＝92．故选：C．4．为了普及新冠肺炎知识，增强疫情防控意识，某学校从高一和高二两个年级各抽取5位同学参加新冠肺炎知识测试，得分（十分制）情况如表所示，则下列描述正确的是（）高一年级组高二年级组得分45678得分569频数11111频数311A．高一年级组数据的平均数为6分，高二年级组数据的平均数为5分 B．两组数据的中位数都是6分 C．高一年级组数据的极差小于高二年级组数据的极差 D．高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差解：对于A，高一年级组数据的平均数为，高二年级组数据的平均数为，故选项A错误；对于B，高一年级组数据的中位数为6，高二年级组数据的中位数为5，故选项B错误；对于C，高一年级组数据的极差为8﹣4＝4，高二年级组数据的极差为9﹣5＝4，故选项C错误；对于D，高一年级组数据的方差为，高二年级组数据的方差为＞2，所以高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差，故选项D正确．故选：D．5．已知圆C的圆心为直线x+y＝0与x﹣y+2＝0的交点，半径为，且圆C截直线x+y+2＝0所得弦的长度为4，则实数m＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8解：联立，解得．∴圆C的圆心坐标为（﹣1，1），圆心C到直线x+y+2＝0的距离d＝，且圆C的半径r＝，圆C截直线x+y+2＝0所得弦的长度为4，由垂径定理可得，解得m＝﹣4．故选：B．6．在递增的数列{an}中，an+12＝an•an+2，若a1+am＝130，a2•am﹣1＝256，且前m项和Sm＝170．则m＝（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵在递增的数列{an}中，an+12＝an•an+2，故数列{an}是单调递增的等比数列，∵a1+am＝130，a2•am﹣1＝256＝a1•am，∴（130﹣a1）•a1＝256⇒a1＝2或a1＝128，当a1＝128时，am＝2（舍去），当a1＝2时，am＝128，∴Sm＝170＝且＝＝qm﹣1，∴＝85⇒q＝4，∴m＝4，故选：B．7．将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是（）附：柱体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为柱体的高）锥体的体积公式V＝Sh（S为底面面积，h为锥体的高）台体的体积公式V＝（S1+S2+）h（S1，S2为台体的上、下底面面积，h为台体的高）A．14π B．15π C． D．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由圆锥，圆柱和圆台构成的组合体；如图所示：所以+＝．故选：C．8．设F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过坐标原点O的直线依次与双曲线C的左、右支交于P，Q两点，若|PQ|＝2|QF2|＝2|OF2|，则该双曲线的离心率为（）A． B．1 C．2 D．3解：设双曲线的半焦距为c，可得|OP|＝|OQ|＝|QF2|＝|OF2|＝c，即有四边形QF1PF2为矩形，由双曲线的定义可得|QF1|＝2a+c，在直角三角形F1QF2中，|F1F2|2＝|QF1|2+|QF2|2，即有4c2＝（2a+c）2+c2，可得2a+c＝c，即e＝＝＝1+故选：B．9．已知函数f（x）＝2﹣x﹣4x，若a﹣，b＝log0.3，c＝log2.5，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c） B．f（c）＜f（b）＜f（a） C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）解：y＝2﹣x是R上的减函数，y＝﹣4x是R上的减函数，∴f（x）＝2﹣x﹣4x是R上的减函数，∵﹣0＝1，0＝log1＜log0.3＜log0.25＝1，log2.5＜log1＝0，∴a＞b＞c，∴f（a）＜f（b）＜f（c）．故选：D．10．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，A＝，又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为，则球O的体积为（）A．12π B． C．36π D．45π解：如图，设△ABC外接圆的半径为r，由正弦定理可得，，则r＝2，设△ABC的外心为G，则AG＝2，连接OG，则OG⊥平面ABC，得OG⊥GA，即OG＝，在Rt△OGA中，OA＝，即球O的半径为3，则球O的体积为V＝×33＝36π．故选：C．11．已知△ABC是边长为2的等边三角形，其中M为BC边的中点，∠ABC的平分线交线段AM于点N，交AC于点D，且＝﹣（a+b）（其中a＞0，b＞0），则的最小值为（）A．3+2 B．+ C．1+ D．6+4解：由题意可得，N为△ABC的重心，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴|AM|＝，|BN|＝，∠DNM＝120°，∴＝＝××（﹣）＝﹣1，又＝﹣（a+b），∴a+b＝1，∵a＞0，b＞0，∴＝（）（a+b）＝3+．当且仅当，即b＝＝2﹣时等号成立．故选：A．12．已知函数f（x）＝tanx，其中﹣，当﹣1≤f（x）≤0时，x∈[a，b]；又函数g（x）＝sin（2x+﹣a）﹣3x2﹣2mx在[a，b]上单调递增，则实数m的最大值是（）A．2 B． C．1 D．解：∵当﹣1≤f（x）≤0时，f（x）在区间上单调递增，∴≤f（x）≤tan（0），∵x∈[a，b]，∴a＝﹣，b＝0，即＝，∴，，∵g（x）在区间上单调递增，∴g'（x）≥0在上恒成立，即．，令M（x）＝，求导可得，∵，∴，∴，∴M'（x）＜0恒成立，∴M（x）在区间单调递减，∴M（x）min＝M（0）≥2m，即2m≤1，∴m的最大值为，故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13．复数z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则|z+3i|＝．解：∵z＝1﹣i，∴z+3i＝1﹣i+3i＝1+2i，则|z+3i|＝|1+2i|＝．故答案为：．14．已知向量＝（2，1），＝（﹣3，﹣1），且k﹣与垂直，则k＝．解：∵向量＝（2，1），＝（﹣3，﹣1），且k﹣与垂直，∴（k﹣）•＝k﹣＝k（﹣6﹣1）﹣5＝0，则k＝﹣．15．若，则z＝x+y的最小值是3．【解答】由约束条件作出可行域如图，由z＝x+y，得y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z与直线x+y﹣3＝0重合时，z有最小值为3．故答案为：3．16．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为H，则tan∠HMN的值为．解：由抛物线方程可得焦点F（1，0），由直线l过点F且斜率为，得直线l的方程为，与抛物线方程联立，得x2﹣4x+1＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4，x1x2＝1．∴H（2，），|AB|＝＝，∴以AB为直径的圆的半径为r＝3，则|MH|＝|NH|＝3，过H作HG⊥y轴，垂足为G，在△MGH中，|GH|＝2，|MH|＝3，则|MG|＝，∴tan∠HMN＝tan∠HMG＝．故答案为：．三、解答题：本大题共70分。解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}中，a2＝，an＝an+1+2anan+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．解：（1）由a2＝，an＝an+1+2anan+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对an＝an+1+2anan+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以an＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以Tn＝（1﹣+﹣+﹣+...+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则Tn＜×＝．18．我国的高等教育中对于硕士研究生的培养，按照培养方向分类，可分为普通硕士和专业硕士两类：一类是普通硕士，根据我国的有关规定，普通硕士教育以培养教学和科研人才为主，授予学位的类型主要是学术型学位．另一类是专业硕士，根据国务院学位委员会的定位，专业型学位为具有职业背景的学位，培养特定职业高层次专门人才．专业硕士教育的学习方式比较灵活，大致可分为在职攻读和全日制学习两类．某大学团委为了解该校大学学生对未来的考硕士研究生的规划，从中随机抽取容量为100的样本，其中有考硕士研究生规划的有24人（其中有考普通硕士规划的6人中，2名是男生，4名是女生）．（1）若从样本中选一位学生，那么该同学是有考普通硕士规划的概率有多大？（2）从这6名有考普通硕士规划的学生中，选出3个人，求其中男生至少一人的概率．解：（1）样本容量为100，其中有考普通硕士规划的有6人，故该同学有考普通硕士规划的概率为P＝＝．（2）设男生为A，B，女生为a，b，c，d，从6人中选取3人的所有情况有20种，分别为：ABa，ABb，ABc，ABd，Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab，Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd，abc，abd，acd，bcd，其中男生至少一人包含的基本事件个数有16个，分别为：ABa，ABb，ABc，ABd，Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab，Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd，∴其中男生至少一人的概率为P＝＝．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，点O为AB上一点，且AD＝DC＝BC＝CO＝CC1＝B＝2，AB∥CD，＝（）．（1）求证：C1O∥平面ADA1；（2）求点C到平面DBC1的距离．【解答】（1）证明：因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，所以AA1∥CC1，又＝（），所以点O为AB的中点，又且AB∥CD，所以CD＝OA且CD∥OA，所以四边形AOCD为平行四边形，所以AD∥OC，又在平面A1AD中，A1A∩AD＝A，在平面C1OC中，CC1∩CO＝C，由面面平行的判定定理的推理可知，平面A1AD∥平面C1OC，又C1O⊂平面C1OC，所以C1O∥平面ADA1；（2）解：由（1）可知，O为AB的中点，在梯形ABCD中，AD＝DC＝BC＝CO＝CC1＝，所以△BOC为等边三角形，所以∠CBO＝60°，又AB∥CD，所以∠DCB＝120°，所以△DCB的面积＝，则，在△DBC1中，DC1＝BC1＝，在△DBC中，由余弦定理可得DB＝，所以△DBC1的面积为＝，设点C到平面DBC1的距离为h，由等体积法有，则有，即，解得，故所求点C到平面DBC的距离为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|＝|OP|，当l⊥x轴时，△AOB的面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）当直线l不过坐标原点时，求的取值范围．解：（1）由题意可知，△POF2为直角三角，所以，则b＝c，又，所以，又a2＝b2+c2，所以，则b2＝4，所以a2＝b2+c2＝4+4＝8，故椭圆C的标准方程为；（2）由（1）可知，F1（﹣2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又直线l不过坐标原点，所以设直线l的方程为x＝my+2，联立方程组，可得（m2+2）y2+4my﹣4＝0，所以，则＝（x1+2）（x2+2）+y1y2＝（my1+4）（my2+4）+y1y2＝（m2+1）y1y2+4m（y1+y2）+16＝＝，因为m2+2≥2，所以，则，所以∈（﹣4，14]，故的取值范围为（﹣4，14]．21．已知函数f（x）＝ex﹣x2+lnx，g（x）＝2﹣ex﹣lnx．（1）设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k1，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为k2，求k1+k2的值；（2）若h（x）＝f（x）+g（x），设曲线y＝h（x）在点（t，h（t））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的最小值．解：（1）因为f（x）＝ex﹣x2+lnx，所以f'（x）＝ex﹣2x+，故k1＝f'（1）＝e﹣1，又因为g（x）＝2﹣ex﹣lnx，所以g'（x）＝﹣ex﹣，故k2＝g'（1）＝﹣e﹣1，所以k1+k2＝﹣2；（2）h（x）＝f（x）+g（x）＝2﹣x2，（x＞0），h'（x）＝﹣2x，又点（t，h（t））为（t，2﹣t2），所以y＝h（x）在点