陕西省西安市八校高三上学期第一次联考理科数学试卷

2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（一）一、选择题（共12小题）.1.已知集合A，全集，若，则集合A是（）A. B.C. D.————B分析：根据补集的定义即可求得集合A.解答：解；因为全集，若={1,3,4}，由补集的定义可得，．故选：B．2.已知为奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.————C分析：由题意先计算，再根据奇函数的性质，得，即可得答案.解答：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则.故选：C.3.若，且，则（）A. B. C. D.————A分析：先求出，直接带入求出解答：解：因为sinα+cosα=0，且，所以，所以，则sin3α=．故选：A．4.在1到100的整数中，除去所有可以表示为的整数，则其余整数的和是（）A.3928 B.4024 C.4920 D.————D分析：当时，结合等比数列求和，求得，再由等差数列的求和公式，求得，进而求得其余的整数的和．解答：当时，可得所以，又由，所以在1到100的整数中，除去所有可以表示为的整数，其余的整数的和为．故选：D.5.已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A. B. C.或 D.或————B分析：利用双曲线的离心率求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，由此可得出结果.解答：由于方程表示的曲线为双曲线，则，解得或.则.①当时，则，，则，解得，所以双曲线的渐近线方程为，此时，该双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为、，则双曲线的两条渐近线的夹角为；②当时，则，，则，解得.所以双曲线的渐近线方程为，此时双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为、，则双曲线的两条渐近线的夹角为．综上所述，双曲线两条渐近线的夹角为.故选：B．点拨：方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用、求得比值，则焦点在轴上时，渐近线方程为，焦点在轴上时，渐近线方程为；（2）构造齐次式：利用已知条件结合，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.6.已知，且与的夹角为，则（）A. B.2 C. D.————A分析：先求，再利用求出.解答：解：且与的夹角为，故故选：A．点拨：向量的模运算的常用方法：（1）定义法；（2）坐标法；（3）用求模.7.已知点在圆上，直线与两坐标轴的交点分别为，则的面积的最大值是（）A. B. C. D.————A分析：根据题意得圆心到直线的距离，然后根据计算点到直线的距离的最大值，再计算，利用计算面积最大值.解答：如图，当点距离直线的距离最大时，的面积最大.已知，圆的圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的最大值为，又直线与两坐标轴交点分别为，所以．∴面积的最大值为．故选：A.8.已知命题p：，命题q：，则（）A.“”是假命题 B.“”是真命题C.“”是假命题 D.“p∧￢q”是真命题————D分析：先命题为真命题，命题为假命题，再根据复合命题的真假判定，结合选项，即可求解.解答：由题意，命题p：，当时，不等式成立，所以为真命题；命题q：，当时，不等式不成立，所以为假命题，根据复合命题的真假判定，可得命题为真命题，为假命题；为真命题，为真命题.故选：D.9.已知，则的值域是（）A. B. C. D.————C分析：首先利用降幂公式化简函数，再求的范围，再求函数的值域.解答：，的值域为故选：C．10.如图，已知底面边长为的正四棱锥的侧棱长为若截面的面积为则正四棱锥的体积等于（）A. B. C. D.————B分析：连接，交于，连接，根据截面的面积为可解得，即可求出体积.解答：解：连接，交于，连接，则底面且是中点，，，截面的面积为，，解得，正四棱锥的体积为：.故选：B．11.的展开式的常数项是（）A. B. C. D.————C分析：分两种情形求出常数值，即可得出常数项.解答：解：表式个因式的乘积，要得到常数项，有种情形：（1）个因式中每一个因式都取，可得到常数项，它的值为；（2）个因式中，有个因式取，一个因式取，其余的因式都取，则，综上可得，常数项的值为.故选：C．12.“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.不充分也不必要条件————A分析：化简可得，易判断充分性成立，举特例可判断必要性.解答：解：，当时，即时，函数在为增函数，即充分性成立，若函数在区间上单调递增，如当，即时，满足题意，故必要性不成立.即“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.故选：．二、填空题（共4小题）.13.准线方程为的抛物线的标准方程是___________.————分析：由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．解答：解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得．该抛物线的标准方程是．故答案为：．点拨：本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．14.若a∈R，i为虚数单位，，则______________________．————分析：根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解.解答：根据复数的运算，可得可得，解得．故答案为：．15.将摆放在编号为五个位置上的件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答）————45分析：先选出件，放回原来的位置，有5种，再将剩下的四件都不在原来位置.解答：根据题意，分步进行分析：（1）将件不同商品中选出件，放回原来的位置，有种情况，假设编号为的位置不变，（2）剩下四件都不在原来位置，即编号为的四件商品都不在原来位置，编号为商品有种放法，假设其放在了号商品原来的位置，则号商品有种放法，剩下编号为3，4的两件商品只有种放法，则其余四件商品的放法有种，故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有种，故答案为：45．16.已知函数有两个零点且，则直线的斜率的取值范围是_________．————分析：由零点存在性定理得出关于的不等式组，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.解答：二次函数有两个零点，且则，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，由图可知，，联立，解得．直线的斜率为，其几何意义为可行域内动点与定点连线斜率的倒数，由图可知，，直线的斜率的取值范围是.故答案为：．点拨：方法点睛：线性规划常见类型，（1）可看作是可行域内的点到点的斜率；（2），可看作直线的截距问题；（3）可看作可行域内的点到点的距离的平方.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且，，，．（1）求､通项公式；（2）求和．————（1）an=2n；bn=3n，n∈N*；（2）2n2+4n．分析：（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；（2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可.解答：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q>0，由b1=3，S3=39，a1=b2﹣7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1，解得q=3，d=2，a1=2，则an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3•3n﹣1=3n，n∈N*；（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣a=2•(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n．18.已知正四面体分别在棱上，且为棱上任意一点（不与重合）．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．————（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.分析：（Ⅰ）根据等比例关系可得，即可证明；（Ⅱ）取的中点以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.解答：（Ⅰ）证明：又平面平面平面．（Ⅱ）解：取的中点连接以原点，所在直线分别为轴，作平面建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体的棱长为则正四面体的高为，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.点拨：思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.已知椭圆，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A､B两点，求△ABF1的面积的最大值．————（1）；（2）3．分析：（1）根据|PF2|的最大值a+c和最小值ac,结合已知条件得到方程组，求得a,c的值，进而结合a,b,c的平方关系求得椭圆的标准方程.（2）先判定直线的斜率不为零，进而设其方程为x=my+1，与椭圆方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理求得关于m的函数表达式，适当变形，利用基本不等式求得其最大值，进而根据得到所求三角形的面积的最大值.解答：解：（1）由椭圆的性质可知，，解得a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，所以椭圆方程为，（2）由题意分析可知直线l的斜率不能为零，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程为x=my+1，联立方程，得(3m2+4)y2+6my﹣9=0△=36m2+36(3∴，，∴所以当且仅当m=0时|y1﹣y2|取到最大值3，≤3，即三角形ABF1面积的最大值为3．点拨：是十分重要的.20.西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了株树苗，这批树苗最矮米，最高米，桉树苗高度绘制成如图所示频率分布直方图．（Ⅰ）试估计这批树苗高度的中位数；（Ⅱ）用频率代替概率，从这批树苗中任取株树苗，用表示取出的株树苗中高度不低于米的株数，求的分布列和期望．————（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，0.9.分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出频率，先判断出中位数的范围，再列式即可求出；（Ⅱ）可得取出的株树苗中高度不低于米的株数，由此求出概率，即可得出分布列，求出期望.解答：解：（I）区间的频率区间的频率区间的频率区间的频率区间的频率．由可设这批树苗高度的中位数为则解得这批树苗高度的中位数为．（II）区间的频率，区间的频率．取出的株树苗中高度不低于米的株数，．可得X分布列为：．21.已知函数．（Ⅰ）求极值；（Ⅱ）设求证：在上有两个零点．————（Ⅰ）极大值，极小值0；（Ⅱ）证明见解析.分析：（Ⅰ）求出的导数，令求解然后判断导数正负得出单调区间，即可求出极值；（Ⅱ）令，可得，分和讨论零点个数.解答：解：（Ⅰ），，令得，所以在，上，单调递增，在上，单调递减，所以．（Ⅱ），令，所以，当时，，所以，即是函数的一个零点，对于，，则有两个零点，设为，则，故一正一负，又，则在仅有1个零点，即在仅有1个零点，综上，在上有两个零点.点拨：关键点睛：本题考查函数零点个数的判断，解题的关键是令，将函数转化为讨论.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22.已知曲线的参数方程为(为参数，)．点在曲线上，直线l过点P，且倾斜角为．（1）求点P在曲线上对应的参数θ的值；（2）求直线l被曲线截得的线段的长度．————（1）；（2）6．分析：（1）由题知，再结合得；（2）根据题意得直线的方程，再把曲线化为普通方程得，进而得直线过圆心，进而得答案.解答：解：（1）曲线S的参数方程为(为参数，)．点在曲线S上，所以，由于，所以．（2）曲线的参数方程为(为参数，)转换为直角坐标方程为，直线l过点，且倾斜角为，所以直线的方程为，由于圆心在直线上，故直线l被曲线S截得的线段成为圆的直径6．点拨：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，本题解题的关键在于写出直线l的方程，曲线的普通方程得直线l过圆心，进而得答案.[选修45：不等式选讲]23.已知．（1）解不等式；（2）设(，且)，求的值域．————（1）；（2）．分析：（1）由，可得，分类讨论，即可求解.（2）化简得到，分和两种情况，结合基本不等式，即可求解.解答：（1）由题意，函