新教材高中人教B版数学选择性学案第4章4-3-2独立性检验

.2学习任务核心素养1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．(重点)2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．(难点)1．通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养．2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养．一则“双黄连口服液可抑制新冠病毒”消息热传后，引起部分市民抢购．人民日报官微称，抑制不等于预防和治疗，勿自行服用．上海专家称是否有效还在研究中．问题：如何判断其有效？如何收集数据？收集哪些数据？[提示]略．知识点12×2列联表(1)定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式．Aeq\o(A,\s\up7(－))总计Baba＋beq\o(B,\s\up7(－))cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．(2)χ2计算公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．拓展：列联表的统计意义记n＝a＋b＋c＋d，则由上表可知：(1)事件A发生的概率可估计为P(A)＝eq\f(a＋c,n)；(2)事件B发生的概率可估计为P(B)＝eq\f(a＋b,n)；(3)事件AB发生的概率可估计为P(AB)＝eq\f(a,n)．其他事件的概率类似可求．1．下面是2×2列联表．y1y2总计x1a2173x222527总计b46100则表中a＝________，b＝________．5254[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54．]知识点2独立性检验任意给定一个α(称为显著性水平，通常取为0.05,0.01等)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关)；或说有1－α的把握认为A与B有关．若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．提醒：(1)χ2＜k的统计意义A与B独立时，也称为A与B无关．当χ2＜k成立时，一般不直接说A与B无关．也就是说，独立性检验通常得到的结果，或者是有1－α的把握认为A与B有关，或者没有1－α的把握认为A与B有关．(2)常用的显著性水平α以及对应的分位数k对照表α＝P(χ2≥k)k2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”()A．χ2＝2.700 B．χ2C．χ2＝3.765 D．χ2D[∵5.014>3.841，故D正确．]3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系．5%[查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系，故在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为两个变量之间有关系．]类型1由χ2进行独立性检验【例1】在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用．未感冒感冒总计使用血清258242500未使用血清216284500总计4745261000[思路点拨]独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．[解]假设感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075．χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．独立性检验的具体做法1．根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k．2．利用公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)计算随机变量χ2．3．如果χ2≥k推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．eq\o([跟进训练])1．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：患胃病未患胃病总计生活不规律60260320生活有规律20200220总计80460540根据以上数据，能否有99%的把握判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关？[解]由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈9.638．∵9.638>6.635，∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．类型2独立性检验的综合应用1．利用χ2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？[提示]利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．2．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P(χ2≥P(χ2≥7.879)＝0.005，哪种说法是正确的？[提示]两种说法均正确．P(χ2≥6.635)＝0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥7.879)＝0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．【例2】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生6女生10总计48已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为eq\f(2,3)．(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值．[思路点拨](1)由古典概型的概率求得2×2列联表．(2)计算χ2，判断P(χ2＞3.841)＝0.05是否成立．(3)结合超几何分布求解．[解](1)列联表补充如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球总计男生22628女生101020总计321648(2)由χ2＝eq\f(48×220－602,28×20×32×16)≈4.286．因为4.286>3.841，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．(3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0,1,2．其概率分别为P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(10,19)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，故X的分布列为X012Peq\f(9,38)eq\f(10,19)eq\f(9,38)X的均值为E(X)＝0＋eq\f(10,19)＋eq\f(9,19)＝1．1．检验两个变量是否相互独立，主要依据是计算χ2的值，再利用该值与分位数k进行比较作出判断．2．χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心．3．统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．eq\o([跟进训练])2．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9∶11，抽取的学生中有30名男生对线上教学满意，有10名女生对线上教学不满意．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为对线上教学是否满意与性别有关；满意不满意总计男生女生总计100(2)从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求恰好抽到1名男生与1名女生的概率．[解](1)满意不满意总计男生301545女生451055总计7525100χ2＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)≈3.030．查表可得P(χ2≥2.706)＝0.1，由于3.030>2.706，故有90%的把握认为对线上教学是否满意与性别有关．(2)由题可知，从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，其中女生3名，男生2名．从这5名学生中抽取2名学生的情况有Ceq\o\al(2,5)种，其中抽取一名男生与一名女生的情况有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)种，故从这5名学生中恰好抽到1名男生与1名女生的概率为eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)．1．随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)计算出χ2的值，并由此得出结论：有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，则χ2可以为()P(χ2≥k)kC．D[因为有99%的把握认为学生是否喜欢跳舞与性别有关，所以χ2＞6.635，故选D．]2．利用独立性检验来考查两个变量A，B是否有关系，当随机变量χ2的值()A．越大，“A与B有关系”成立的可能性越大B．越大，“A与B有关系”成立的可能性越小C．越小，“A与B有关系”成立的可能性越大D．与“A与B有关系”成立的可能性无关A[用独立性检验来考查两个分类是否有关系时，算出的随机变量χ2的值越大，说明“A与B有关系”成立的可能性越大，由此可知A正确．故选A．]3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110经计算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8．则正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C[根据独立性检验的思想方法，正确选项为C．]4．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2，认为“两个变量有关系”犯错误的概率不超过________．0.001[如果χ2>10.828时，认为“两变量有关系”犯错误的概率不超过0.001．]5．博鳌亚洲论坛2021年年会于4月18日至21日在海南博鳌镇举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝________．会俄语不会俄语总计男ab20女6d总计185028[由题得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝20，,a＋6＝18，,b＋d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12，,b＝8，,d