第五讲：级数分解

#第四单元函数的幂级数展开一、泰勒级数f(n)(X0)(X-X)n+…⑴f(n)(X0)(X-X)n+…⑴n!0f(x°)+屮x-x0)+筈x-x0)2+…+称之为函数f(x)在x=x0处的泰勒级数。特别地，当x0二0时，f(x)=f(0)+斗二X+^-22°X2+…+fW(0)xn+•••01!2!n!这时，我们称函数f(X)可展开成麦克劳林级数。将函数f(X)在X=X0处展开成泰勒级数，可通过变量替换t=X-X0，化归为函数f(X)=f(t+X0)AF(t)在t=0处的麦克劳林展开。0=二、函数展开成幂级数1、直接展开法❶求出函数的各阶导数及函数值f(0),f'(0),f〃(0),…,f(n)(0),…若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；❷写出麦克劳林级数f(0)+广(°)X+厂(0)X2+•••+f(n)(0)Xn+…并求其收敛半径R。TOC\o"1-5"\h\z1!2!n!2、间接展开法利用一些已知的函数展开式以及幂级数的运算性质(如：加减，逐项求导，逐项求积)将所给函数展开。XX2XneX=1+—++•••++•••(—<x<+<x>)1!2!n!XX3X5X2n—1sinx=—+—•••+(—1)n—1+•…x(—x>,+x>)1!3!5!(2n—1)!

COSx=1-兰+X4—•••+(―1)n—1X2"―2+・・・xG(—8,+8)2!4!(2n—2)!ln(1+X)=X—身+斗一…+(一1)"器+…(—1<X-1)(1+x)a=1+?•x+a(a—1)x2+..严-皿-n+1)xn+...1!2!n!【例1】将函数f(x)二1展开成(x―1)的幂级数。x2+4x+3解：作变量替换t=x—1，则x=t+1，有111111f(x)===——二—(x+3)(x+1)(t+4)(t+2)2(t+2)2(t+4)4(1+L)8(1+—)24在=4¥i〔2)"-1<2<12于是4为(-1)nn于是4为(-1)nn=08纭-1)nn=0=¥(—1)nn=012n+2122n+3•(x—1)n—1<x<32005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷二．选择题5.设级数艺a和级数艺b都发散，则级数艺（a+b）是（）•nnnnn=1n=1n=1（A）发散，（B）条件收敛，（C）绝对收敛，（D）可能发散或者可能收敛.三．计算题：18•把函数y=丄展开成x-1的幂级数，并求出它的收敛区间.x+12006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷三．计算题：将函数f（x）=ln（x2+3x+2）展开成x的幂级数，并指出收敛半径。2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷三．计算题：10.将函数f（x）=□在点x=1处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不考虑）。3-x02008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷三.计算题8.将函数f（x）=x2InG+x）展开成x的幂级数.

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷三、计算题．10.求幂函数艺丄X2n一1的收敛域.3nn=12010年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷一、选择题5.下列正项级数收敛的是A.艺丄3nA.艺丄3n+1n=2二、填空题B.艺丄nlnnn=2C.艺丄n(lnn)2n=2D.艺一nnnn=2幂级数xn的收敛半径R=.nnn=1三、计算题1将函数f(x)=-展开成(x-1)的幂级数.x2+4x+32011年浙江省专升本《高等数学》试卷一、选择题5.下列级数中，条件收敛的是()A.为sin71n2A.为sin71n2n=1二、填空题、、B.艺(-1)n-1n=11<'