第五节 截交线

第五节截交线（建议6课时）考纲要求了解截交线的投影画法。知识网络正棱柱截交线求作正棱锥截交线求作圆柱体截交线求作圆锥体截交线求作球体截交线求作知识要点一、截交线的定义及性质（一）定义截平面与基本体表面的交线。（二）性质截交线是封闭的平面图形，也是截平面与基本体表面的共有线。二、截交线的求作方法（一）平面体截交线求法平面体的截交线是由直线组成的多边形。求作平面体的截交线就是求截平面与平面体棱线的交点，然后依次连接而得。（二）回转体截交线求法截平面与回转体表面的交线可能是直线、圆或曲线，若截交线为曲线时，一般采用描点法来求作。描点时先找特殊位置点，再求一般位置点，最后再依次光滑连接而得。例如：圆柱体被正垂面N及水平面M截切，截平面M与圆柱体截交线为直线，截平面N与圆柱体截交线为曲线，要通过描点法求作。典型例题【例1】完成下列左视图。【例1】完成下列左视图。(b)【解题指导】图(a)四棱柱孔与六棱柱可见侧的正平面的交线AB、CD、GF、BC的侧面投影可利用积聚性直接求出；与六棱柱前面两个铅垂面的交线AH、DE为一般位置直线;e〃、h〃根据水平投影量取y坐标来作出。四棱柱孔与正六棱柱不可见三个面的交线同前面完全相同。上、下两水平面的侧面投影为不可见，应用虚线画出。【答案】图(b)同上。

b'c'a'!rpb'c'a'!rpd'\h'l\e'LXb"h'a"e"-y.【点评】(1)求作平面体的截交线关键是要找出截交线由哪些直线段组成，再找出这些交线的端点，最后分别求出(或找出)这些点的投影求作出截交线来。(2)除了要正确作出截平面与基本体表面的交线，还要作出截平面与截平面的交线。【例2】根据所给主视图、俯视图补画左视图。【解题指导】根据所给的条件，应用线面分析法来求作第三面视图。1.主视图上可分解为4个线框，分别用1，、2，、3，、4/表示，俯视图上可分解为4个线框，分别用a、b、c、d表示。（如图所示）2．按照类似形的定义来分析可知，主视图上的四个线框1，，2，，3，，4，在俯视图上均找不到他们的类似形，所以1，、2，、3，、4，四个线框在水平面上均积聚为线段。运用投影知识，分别找出它们的水平投影1,2,3,4。同样，也可找出a、b、c、d四个线框的正面投影。3．分析形体上各组成面的形状和位置：1，、2，、4，所表示的表面为正平面，3，表示的平面为铅垂面b、c、d所表示的平面为水平面，a面为正垂面，进一步想像出各表面之间的相对位置和形状。4．综合起来想像整个形状。可借助于轴测图来帮助读图。【答案】点评】线面分析法是读图的重要方法之一，尤其是在识读平面体截切的有关视图更另外两个棱面是一般位置平面。因而可以预见：各个截断面的正面投影分别积聚在PV、QV及RV上；由P面产生的截断面的水平投影及侧面投影有类似性；由Q面产生的截断面的侧面投影反映实形，水平投影是与QV对应的竖线；由R面产生的截断面的水平投影反映实形,侧面投影有积聚性，是与RV对应的一条横线。（3）平面P与Q，Q与R各有一条正垂线的交线，所以它们的侧面投影为两条反映实长的横线，水平投影为两条反映实长的竖线。（4）P面与棱锥的三个棱面均有交线，其交线的正面投影为已知，即1，-2，、2，-3，和1-（4，），交线的侧面投影1"-4"和1"-2"容易确定，进而可确定水平投影1-2和1-4;延长2，-3,得点p，，由此作出2"-p"，根据点的投影规律可得3〃和3，因CC而可得侧面投影2"-3"和水平投影2-3。（5）作Q面与棱锥的交线。Q面与棱锥的两个棱面有交线，其交线的正面投影为已知，即3，-5，和（4，）-（6，），交线4"-6"容易确定（在后棱面的积聚性侧面投影上），进一步可确定其水平投影4-6；延长交线的水平投影3-5得点q，根据点的投影规律由q可得CC点q〃，根据直线上取点的方法可得5"点，进一步可得水平投影5,从而确定了交线的水C平投影3-5。（6）作R面与棱锥的交线。R面与棱锥的三个棱面均有交线，其交线的正投影和侧面投

影均是确定的，根据直线投影规律可确定交线的水平投影。(7)作截平面之间的交线。平面P与Q的交线为III-IV，平面Q与R的交线为V-VI,均为正垂线。【答案】【点评】本例详细给出了棱锥表面截交线的求作过程，尤其是详细给出了每个点的投影求作方法。从本例中可以看出，只要认真从投影分析入手、从线面分析入手就能很好地解决这类问题。【例4】根据主视图、俯视图补画出左视图。【解题指导】圆柱筒实际上可以认为是两个同轴线的圆柱体，因而圆柱筒两边开切口的问题可转化为两个同轴线圆柱被相同的平面切割。先画出完整圆筒的左视图，其次作出截平面与外圆柱的截交线，最后求作出截平面与内圆柱的截交线。【答案】}41【点评】圆柱体的截切是考试中常见的题型，在学习时应从最基本、最典型的圆柱体切割入手，记住这些典型的切割形式，为解决更复杂的形体切割打下良好的基础。下表列出了几种典型的圆柱体切割形式，供同学们复习时参考。（见下表）【例5】根据主视图，补画全俯视图及左视图。解题指导】由图可知，截平面P是侧平面，它截球面所得的交线是侧平圆的一部分，截平面Q是水平面，它截球面所得的交线是水平圆的一部分；截平面R是正垂面，它截球面所得的交线是正垂圆的一部分。⑴作Q平面与球面的交线。交线的正面投影是确定的，即1，-3/-5/和(2‘)-(4‘)(6‘)，其水平投影是半径为R］的两段圆弧，即1-3-5和2-4-6，根据球表面取点的方法可作出交线的侧面投影1〃-3〃-(5〃)和2〃-4〃-(6〃)。(2)作P面与球面的交线。交线的正面投影是确定的，即5，-7/-(6,),其侧面投影是半径为R2的一段圆弧(5〃)-7〃-(6〃),根据球表面取点的方法可作出交线的水平投影57-6。(3)作R面与球面的交线。交线的正面投影也是确定的，即1，-8，-(2,),根据球表面取点的方法可作出其水平投影1-8-2和侧面投影1〃-8〃-2〃(注意其水平投影和侧面投影均为椭圆的一部分)。(4)作各截平面之间的交线。P面与Q面的交线为V-VI;Q面与R面的交线为I-11。作图过程详见图。答案】

【点评】求作球体的截交线，首先要明确无论截平面在何位置，截交线均是圆；其次要根据截平面的位置正确判别截交线投射后的形状，最后要根据投影情况通过描点或直接画出截交线。【例6】如图(a)所示，求作顶尖头的截交线。【解题指导】顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。它的上部被两个相互垂直的截平面P和Q切去一部分，在它的表面上共出现三组截交线和一条P与Q的交线。截平面P平行于轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条平行直线。截平面Q与圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆弧。三组截交线的侧面投影分别积聚在截平面P和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚在P、Q两面的投影(直线)上，因此只需求作三组截交线的水平投影。(d(d)(a)(b)44．()【答案】【点评】如图(d)截交线作图首先要判定截平面与基本体的各部分之间的关