误差理论与测量平差基础

授课教案2006〜2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数:56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分♦内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。本课程的主要内容包括误差理论、误差分布与精度指标、协方差传播律及权、平差数学模型与最小二乘原理、条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差、线性方程组解算方法、误差椭圆、平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。♦教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。课程性质为必修课、考试课。本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。♦主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。♦教学要求与主要环节教学要求：教师教学中既要注重理论知识的讲授是否有利于学生理解掌握，又要突出对学生实践能力的培养。教学主要环节：教学主要环节包括理论教学、习题训练、实践教学，以及理论教学和实践教学的考核等环节。理论教学使学生掌握平差的基本理论、基本知识，习题训练使学生掌握分析问题、解决问题的方法，实践教学使学生提高解决实际应用问题的实践能力，教学考核是为了督促学生对学习知识全面总结和加深理解，对教师教学质量和学生学习质量进行检验。♦考核要求1．理论课程教学：平时30分，期末考试70分。2．实习：完成教学大纲和实习任务书规定的实习任务，按优、良、中、及格、不及格打分♦课程主要内容与学时分配理论：56学时实习：1周♦主要参考书於宗俦，于正林.测量平差原理.武汉：武汉测绘科技大学出版社，1984王新洲.测量平差.北京：水利电力出版社，1990陶本藻.测量数据统计分析.北京：测绘出版社，1992崔希璋，於宗俦等.广义测量平差.北京：测绘出版社，1992黄维彬.近代平差理论及其应用.北京：解放军出版社，1992高士纯，于正林.测量平差基础习题集，测绘出版社，1983黑志坚，周秋生等.测量平差.哈尔滨：哈尔滨地图出版社，1999黑志坚，周秋生等.测量平差习题集.哈尔滨：哈尔滨地图出版社，2004《测绘工程》《东北测绘》《测绘通报》《测绘学报》等期刊杂志♦相关网站国家测绘局、国家测绘局各相关网站、中国测绘报、南方测绘、测绘论坛、国土资源部、国家地理信息中心、武汉中地科技公司、国家空间基础设施等网站。第一章绪论2学时♦教学目的：明确观测误差产生的原因,掌握误差分类及其处理方法；了解测量平差发展概况。♦重点、难点：误差分类及其处理方法♦讲授内容纲要提出问题：刚刚结束的测量数字化实习数据采集双观测成果过程中发现了什么问题？产生测量差异的原因是什么？观测值中为什么存在观测误差？观测误差如何计算？观测误差如何处理？第一节观测误差一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。结合刚刚结束的测绘数字化实习，与学生一起总结出什么是观测条件，观测条件与观测误差的关系。得出有观测就有误差的结论。二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。2、处理和学生一起总结出粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。举例说明。第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展1、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。2、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。二、平差计算方法的发展1、手算阶段2、半自动平差阶段3、全自动平差阶段结合教师的亲身经历的几十年测量数据采集手段和测量数据处理方法的不断变化，以及测绘生产实例，讲解上述三个阶段的发展，让学生了解平差计算方法发展的全过程。第四节本课程的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。二、内容课本各章的内容。小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。作业：第一章习题1,2,3,4,8,11,13,15・采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。♦实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。♦教学手段：多媒体教学。第二章误差分布与精度指标4学时第一节正态分布：第二节偶然误差的规律性2学时♦授课目的要求：了解偶然误差的分布规律;熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念♦重点、难点：偶然误差的三个特性和两个重要概念♦讲授内容纲要：提出问题：偶然误差是“从表面上看无规律可循的一组观测误差”,如果其真的无规律可循,如何对其进行处理？研究其分布规律有何意义？第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图,列出分布函数,讲解,强调两个分布参数的含义。二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性（1）在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。（界限性）（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。（小误差占优性）（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相等。（对称性）三、两个重要概念（1）由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值（2）由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。作业：第二章习题1,2,3,4,5,6,7,8♦采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。♦实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。♦教学手段：多媒体教学。第三节衡量精度的指标；第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度2学时♦授课目的要求:熟记衡量精度的指标，掌握精密度计算的方法，了解测量不确定度的概念♦重点、难点:精密度指标及其计算♦讲授内容纲要：提出问题：如何衡量、评定测量成果的精度？精度指标如何确定？一、精密度指标（一）观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。2、几种常用的精密度指标方差与标准差推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式相对误差给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。平均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。(二)观测向量的精度指标1、n维随机向量的方差阵导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。二、准确度和精确度指标分别给出准确度和精确度的定义，及其数值指标，绘图讲解其几何意义。三、测量不确定度给出测量数据的不确定性、不确定度的概念，可测不确定度的计算方法，不可测不确定度的估计方法。小结：精度指标分为精密度指标、准确度指标和精确度指标三种，观测成果的质量应用精确度指标衡量，精密度指标中的方差、极限误差、相对误差几个指标应重点掌握。作业：第二章习题9，10，11，12，13，19，22，23，27，29，30，32。♦采用的教学方法：启发式、互动式授课方式。♦实施步骤：提出问题；理论讲授解答问题；实例讲解、，分析；小结总结。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第三章协方差传播律及权11学时第一节数学期望的传播律；第二节协方差传播律2学时♦授课目的要求：熟记协方差传播律的基本公式，掌握传播律公式的应用方法♦重点、难点：协方差传播律公式的应用♦讲授内容纲要：提出问题：已知测量成果的精度，如何衡量观测成果函数的精度？如已知观测高差的精度，如何衡量利用观测高差求得的高程的精度？第一节数学期望的传播律E(C)二C;E(CX)二CE(X);E(X+X+•••+X)二E(X)+E(X)+•••+E(X);12n12n当Xi相互独立时(i=1,2,・・・,)n,E(X,X，…,X)=E(X)E(X)…E(X)第二节协方差传播律12n12n协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。一误差的传递1、线性函数误差的传递Y二fx+fx+...+fx+f1122nn0A二fA+fA+...+fA1x12x2nxn推导上述公式，讲解式中符号的含义2、非线性函数误差的传递Y=f(xx...x)12nA=fA+fA+...+fA1x12x2nxn推导上述公式，讲解式中符号的含义3、函数向量误差的传递Y=FX+F0Y=F(X)△y=fax讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式二、协方差的传递1、基本公式函数向量Y=F(X)Z=K(X)其误差向量为

△y=f△y=fax△Z=KAx则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为D=FDFtYXD=KDKZXD=FDKtYZXD=KDFtZYX证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。二FDF二FDFtX=f202+f202+…+f20211221n讲解式中符号的含义，说明公式应用的条件，强调公式的重要性。3、分块向量函数向量的方差传递Z_t+r,1「X一t,1Yr,1「DDXXYDZ=t,tt,rDDYXXr,tr,r证明上式，对阵中元素加以说明，给出两向量不相关时该矩阵的形式。通过五个典型例题的讲解说明方差-协方差传播公式的应用方法和计算中需注意的问题。小结：协方差传播律是观测值（向量）与其函数（向量）之间精度传递的规律，用其解决观测值函数（向量）的精度评定问题。本节重点是利用协方差传播律解题的方法和步骤，以及只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式的应用。作业：第三章习题1,2,7,8,9,11,18,19,20♦采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。♦实施步骤：提出问题,导出观测值（向量）与其函数（向量）之间的误差传递和协方差传递公式,例题讲解分析,习题演练,小结归纳解题方法。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第三节协方差传播律的应用2学时♦授课目的要求：掌握协方差传播律在测量上的应用方法♦重点、难点：测量上精度计算的方法及应用♦讲授内容纲要：复习：当只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式。提出问题：水准测量高差、同精度独立观测的算数平均值、若干独立误差函数和平面控制点的点位精度如何计算？1、水准测量的精度绘制具有N个测站的水准高差示意图，应用协方差传播公式导出高差中误差计算公式：&=\.'Nbh站进一步导出S公里观测高差的中误差计算公式：&=J~S&hkm举例说明公式的应用。2、同精度独立观测值的算数平均值的精度由算术平均值公式，应用协方差传播公式导出其中误差计算公式oC=—:——x举例说明公式的应用。3、若干独立误差的联合影响A=A+A+…+Az12no2=o2+o2+…+o2Z12n即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。4、平面控制点的点位精度绘支导线略图，求未知点点位中误差，用两种方法求解。解法一：(1)、列函数式(2)线性化应用协方差传播公式计算坐标方差计算点位方差解法二：利用纵向方差和横向方差进行计算。小结：本节的重点内容为水准测量高差和同精度独立观测算数平均值的精度计算问题，应熟记计算公式，能熟练应用公式进行相关计算。作业：第三章习题21，22，23，24，26，28，29，32，33，35。♦采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。♦实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳解题方法。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第四节权与定权的常用方法2学时♦授课目的要求：明确权、单位权方差的含义，掌握定权的常用方法♦重点、难点：权的定义式；定权的常用方法♦讲授内容纲要：提出问题：从三个已知水准点分别向一个未知点作水准测量，每一测站的观测精度相同，而三条水准路线的长度不同（绘图示意），问能否取三条水准路线计算的该点高程的平均值作为该点高程的最终结果？一、权的定义权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。P=0（i=1,2,...,n）iQ2iPi为观测值Li的权，Q2是可以任意选定的比例常数。ii0观测值的权与观测值的方差成反比。二、单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个O0，令Oi=O0,则得：p=20』=1iQ2Q2i0上式说明Q2是单位权（权为1）观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等于Q2的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观测值。无论Q2取何值，权之间的比例关系不变。0举例（例〔1〕、例〔2〕）讲解。三、测量中常用的定权方法1、水准测量的权（1）、用测站数定权（山地、起伏较大的丘陵）利用用测站数计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用测站数定权的公式。hN解释式中符号的含义。（2）、用路线长度定权（平地）利用用路线长度计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用路线长度定权的公式hS解释式中符号的含义。举例（例〔3〕、例〔4〕、例〔5〕）讲解。2、距离量测的权距离长度可通过钢尺丈量或测距仪测距得到。下面分别讨论两种情况下的定权方法1）钢尺量距的权解释式中符号的含义2）测距仪测距的权P=巳s6SQ=G+◎S-10-6s标称标称解释式中符号的含义。3、等精度观测算术平均值的权利用等精度独立观测值算术平均值的方差计算公式和权的定义式导出利用观测次数定权的公式nS=C说明公式中符号的含义。小结：权是用来衡量观测成果的相对精度的，单位权方差可以根据计算方便任意选定，但观测值之间的比例关系不变。水准测量的权与测站数或路线长度成反比；钢尺量测的权与距离长度成反比，光电测距的权用定义式计算，其中测距方差由固定误差和比例误差两项组成；等精度算术平均值的权与观测次数成正比。应熟记定权公式，明确公式中各符号的含义，掌握利用公式解题的方法。作业：第三章习题38,39,40,41,45,52。♦采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。♦实施步骤：提出问题,导出相应计算公式,例题讲解、分析,习题演练,小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第五节协因数和协因数传播律2学时♦授课目的要求：明确协因数（阵）、权阵的含义,掌握协因数传播律公式的应用方法♦重点、难点：协因数（阵）、权（阵）的计算,协因数传播律公式的应用♦讲授内容纲要：

提出问题：权是用来衡量观测成果的相对精度的，权倒数能否用来衡量观测成果的精度哪？一、协因数定义协因数Q=CQ=C2.02=1/p厂0ii—1,2,...,nii权可表示为方差和标准差可表式为、协因数阵P—i6—6•Q,o—oQi0iii方差和标准差可表式为、协因数阵P—i6—6•Q,o—oQi0iii0'ii1、n维随机向量X的协因数阵定义互协因数：Qij—oij利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵Q-丄DXo2X「Q11对称QQ1222Q]Q1n2nQnn上式矩阵中，Q—Q。当Qij=0(iHj)时，则Xi和Xj互不相关。ijji2、分块向量的协因数阵_x—Z—YQ—XQ—XQQXYXQ]QXYYXY表示X、Y互不相关。式中，Qx、Qy分别为X、Y向量的自协因数阵，而Qxy、Qyx分别为X向量关于Y向量的互协因数阵,Qxy与QXY表示X、Y互不相关。三、权阵「QQ..Q1-1「PP..P1Q11Q12..Q1nP11P12..P1n21222n—21222nQQ.:QPP..Pn1m2nnn1n2nnP-Q-1-观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角阵时，p=P。iii举例（例〔1〕例〔2〕讲解、分析四协因数传播律将协方差传播公式乘以+,并顾及Q=+D，Q=+D，即可得到观测向量X与其函数向量%Y%YX%XY、Z之间的协因数传播公式。列出相应公式，以及只有一个函数，且观测值之间不相关时的协因数传播公式。举例（例〔3〕、例〔4〕讲解、分析小结：权与协因数互为倒数关系，权阵与协因数阵互为逆阵关系，一般情况下给了观测值的权阵求观测值的权要先求权阵的逆阵得到其协因数阵，再利用权与协因数的关系求权；协因数传播律与协方差传播律公式相仿，只记住其中一套公式，再记住协因数阵与协方差阵的关系即可。作业：第三章习题4，59，60，61，62，63，67，68，69，70♦采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。♦实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第六节由真误差计算中误差及其实际应用2学时♦授课目的要求：掌握利用真误差计算中误差的方法♦重点、难点：利用不同精度的真误差计算中误差的公式及其应用♦讲授内容纲要：复习：利用等精度观测真误差计算单位权中误差的公式。提出问题：不等精度观测时，能否利用其真误差计算单位权中误差，如何计算？一、利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式利用协因数传播律导出利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式二、由真误差计算中误差的实际应用1、由三角形闭合差计算测角中误差利用协因数传播律导出由三角形闭合差计算测角中误差的公式:Ww]

土3n~说明公式的不严密性。2、利用双观测列之差求中误差（1）求单位权中误差利用协因数传播律导出利用双观测列之差求单位权中误差的公式不等精度观测_.Tpld'等精度观测_radb0=±丫古说明公式中符号的含义。2）求双观测列单次观测的中误差（3）求双观测列平均值的中误差利用协因数传播律导出相应公式不等精度观测等精度观测b_Lb_Li=+b1<2握。握。水准测量双观测平差应用例题小结：本节重点是利用双观测之差计算中误差的公式及其应用，该公式在测量中应用广泛，应重点掌作业：第三章习题81,82。♦采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。♦实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第七节系统误差的传播1学时♦授课目的要求：了解系统误差传播及系统误差与偶然误差联合传播的传播规律和计算方法♦重点、难点：系统误差与偶然误差联合传播的传播规律和计算方法♦讲授内容纲要：一、观测值的系统误差与综合误差的方差1、观测值的系统误差——偏差导出偏差表达公式2、观测值的综合误差方差——可靠性如果系统误差部分是偶然中误差部分的三分之一或更小时，则可将系统误差的影响忽略不计。二、系统误差的传播导出传播公式三、系统误差与偶然误差的联合传播导出传播公式小结：了解系统误差的传播规律。作业：第三章习题83，84。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：理论讲授，实例讲解，分析，小结。♦教学手段：多媒体教学。第四章平差数学模型与最小二乘原理5学时第一节测量平差概述2学时♦授课目的要求：明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据等概念;掌握必要观测数和多余观测数的计算方法♦重点、难点：必要观测数和多余观测数的计算方法♦讲授内容纲要：提出问题：单一闭合或符合水准路线或导线必须具备哪些元素？你知道其中的起算元素和观测元素是如何确定的吗？一、测量控制网简介1.高程控制网（水准网或三角高程网）

包括闭合水准网和符合水准网。绘出三组不同网形的水准网（图3-1〜图3-3）。网中元素：已知高程点，未知高程点和观测高差。2.平面控制网（1）三角网根据观测量的不同，三角网分为测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。1）测角三角网包括独立三角网和符合三角网。绘出一组不同网形的三角网（图3-4）。网中元素：已知点，未知点和观测角度。2）测边三角网包括独立测边网和符合测边网。绘出一组不同网形的测边网（图3-5）。网中元素：已知点，未知点和观测边长。3）边角三角网包括独立边角网和符合边角网。绘出一组不同网形的边角网（图3-6）。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。（2）导线网包括独立导线网和符合导线网。绘出一组不同网形的边角网（图3-7）。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。还有三维网、GPS控制网、航测控制网、工程专用网等将在后续相应课程中介绍。二、必要起算数据确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据水准网（三角高程网）：一个已知点高程测站平差：一个已知方位测角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。各种控制网中少于等于必要起算数据的控制网成为独立网，多于必要起算数据的控制网成为非独立网或附合网。三、必要观测及其数目的确定确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号用符号t表示。高程网：测站平差必要起算数据

高程网：测站平差必要起算数据测角网：t二2p-q-4测角网：t二2p-q-4P：总点数或总方向数（测站平差）；q：多余起算数据数必要起算数据之外的起算数据四、多余观测及其数目的确定必要观测之外的观测称为多余观测，其数目用符号r表示多余观测数二观测总数一必要观测数（r=n-1）五、必要观测和多余观测数目计算练习计算图3-1至图3-7的必要观测数和多余观测数。小结：本节介绍了测量控制网的类型，和各类控制网中应具备的必要起算元素，必要观测元素，应重点掌握必要观测元素数和多余观测元素数的计算。作业：第四章习题1，2，3，4，7，8，9，10。♦采用的教学方法：启发式、互动式，理论讲授与例题讲解和习题演练相结合。♦实施步骤：提出问题，讲授相关概念，导出相应计算公式，例题讲解、分析，习题演练，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第二节函数模型；第三节函数模型的线性化；第四节测量平差的数学模型2学时♦授课目的要求：熟记各种平差方法的函数模型、随机模型和数学模型♦重点、难点：各种平差方法的数学模型♦讲授内容纲要：提出问题：上次课列出的各类测量控制网均构成一定的几何图形，如何建立网中各类观测元素之间的关系式，从而求得它们的可靠结果哪？第二节函数模型2、间接（参数）平差法r,112、间接（参数）平差法r,1n,13、附有参数的条件平差法FG,X）—0c,14、附有限制条件的间接（参数）平差法~~L—FIXn,1(〜,1丿

0乂厶0s,1用简单控制网图形举例说明。第三节函数模型的线性化用泰勒公式导出F的线性形式为F—FC,X0)+AA+Bx根据上述函数模型线性化过程，可将各种平差方法的函数模型线性化1、条件平差法式中AA-W—0用泰勒公式导出F的线性形式为F—FC,X0)+AA+Bx根据上述函数模型线性化过程，可将各种平差方法的函数模型线性化1、条件平差法式中AA-W—0A-命，W—-F(L)dLl2、间接平差法式中B—-BFA—Bx-l，1—L-F(xo),3、附有参数的条件平差法式中AA+BX-W—0W—-FC,X°),4、附有限制条件的间接平差法A—BX-1c~-W—0x式中s,u第四节测量平差的数学模型1、各种平差方法的随机模型D=G2Q=G2P-100n,nn,nn,n2、各种平差方法的数学模型各种平差方法函数模型的线性形式分别与平差的随机模型联立，即为相应平差方法的数学模型。小结：本次课所讲的各种平差方法的函数模型均能建立各观测值之间的函数关系式，正确建立这种关系式，是正确求得观测值最可靠结果的前提。作业：第四章习题11,13♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：理论讲授，实例讲解，分析，小结。♦教学手段：多媒体教学。第五节参数估计与最小二乘原理1学时♦授课目的要求：明确最小二乘准则的含义；掌握最小二乘原理及应用方法♦重点、难点：最小二乘原理及其应用♦讲授内容纲要：提出问题：上次课介绍的各种平差函数模型中，方程的个数和未知数的个数不相等，如何求解？一、引例已知平面三角形三内角应满足L+L+L—180o=0123或A+A+A-w二o123式中w=i8Oo—Cl+L+L)111上方程中有三个未知数，是相容方程，只能在某一准则下求得式中未知数的估值。二、最小二乘准则:①=AtD—iA=min顾及方差阵与权阵的关系，并用△的估值v代替△又可得①=VtPV=min观测量真值向量的估值公式为：L=L+V式中L称为观测向量的“最或然值”向量或“观测值的平差值”向量；V称为改正数向量。三、最小二乘估计根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计，按此准则求得一组估值的过程，称为最小二乘平差，由此而得到的一组估值是满足方程的唯一解。如果方差阵D和权阵P是非对角阵，则表示观测值是相关的，按此准则进行的平差即称为相关观测平差。如果是对角阵，则表示观测值是彼此不相关的，此时称为独立观测平差。当观测值不相关，即P为对角阵时，则有①=VtPV=艺PV2=PV2+PV2+...+PV2=minii1122nn当观测值不相关,并为等精度,即P=I时,则有:①二VtV二艺V2=V2+V2+...+V2=mini12ni=1举例试按最小二乘原理求同精度算术平均值的结果。小结：最小二乘原理是测量平差的基本原理，按最小二乘准则求得的观测量及其函数的结果是最可靠的结果，后续所讲所有平差方法均按此准则求解。作业：第四章习题14♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：理论讲授，实例讲解，分析，小结。♦教学手段：多媒体教学。第五章条件平差8学时第一节条件平差原理2学时♦授课目的要求:熟记条件平差的基础方程和法方程形式；掌握按条件平差法求平差值的方法、步骤。♦重点、难点:按条件平差法求平差值的方法、步骤。♦讲授内容纲要：提出问题：按真值或真误差表示的条件平差函数模型能否求得其解？需要在什么准则下求解？怎样求解？一、条件方程和改正数条件方程列出用观测值真值和真误差表示的条件平差函数模型导出用按最小二乘准则求得的观测值平差值和观测值改正数表示的条件平差的函数模型F―）=0——条件方程r,1r,1AV-W=0——改正数条件方程r,nn,1r,1W=-F（L）——改正数条件方程常数项（闭合差）计算式举例（单三角形函数模型的建立）二、条件方程的纯量表达式和矩阵表达式r个条件方程的纯量表达式:线性化后得改正数条件方程其中212n>av+avHF线性化后得改正数条件方程其中212n>av+avHFav-w=01122nnabv+bvFFbv-w=01122nnbrv+rvFFrv-w=01122waw=-FbA=rr12naa•…awv12n11bb…bwv12n,W=2,V=2............••r,1n,1rr….rwv12nrn=-F（L,L，…,L）=-F（L,L，…,L）1/12n\VL,L，…,L丿212n则改正数条件方程及其闭合差计算的矩阵表达式分别为AV-W=0W=-F（L）三、基础方程按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为K=(kk…k)t，称为联系数向量。组成函数abrr,1①二VtPV-2Kt(AV-W)，对其求导整理得改正数V的计算公式V=P-1AtK=QAtK——改正数方程当P为对角阵时，改正数方程的纯量形式为v=丄(ak+bkfFrk)i=1,2，…,nipiiaibir改正数条件方程与改正数方程联立，称为条件平差的基础方程。此时，方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。四、基础方程的解

将改正数方程代入改正数条件方程，得AQAtK-W二0,令N二AQAt=AP-iAt,aa得NK-W=0——联系数法方程

aa秩R（N）=R^AQAtR（A）=r，即N是个r阶的满秩方阵，由此解出aaaaK二N-iWaa当P为对角阵时，法方程的纯量形式为raUu弓：+raPabk+骚七+卜—w—0PaPbPrb…•…nar~k++•「+rx~k—W—0PaPbPrr解出K，将其代入改正数方程，求出改正数V,在按L—L+V可求得平差值。五、条件平差步骤及示例用具有两个条件的符合水准网为例讲解。小结：本节应熟记条件方程，改正数条件方程，改正数条件方程闭合差计算式，法方程，改正数方程的表达形式，掌握用条件平差法平差的方法、步骤。作业：第五章习题1，7,10。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，导出相应计算公式，例题讲解、分析，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：多媒体教学。第二节条件方程4学时♦授课目的要求:能正确确定各类测量控制网的条件方程数目，正确列立条件方程♦重点、难点:条件方程的列立♦讲授内容纲要：提出问题：测量控制网按条件平差时，应列立的条件方程数目如何确定？若列立的条件式之间相关，会产生什么后果？条件方程的列立要求：1、条件式数目足数；2、条件式之间线性无关。一、水准网（同§5.1中所述,略）二、测角网单三角形（同§5.1中所述，略）中心多边形以中心三边形为例，画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的一般表达式重点讲解极条件的列立方法和规律。举例（中心三边形实例）列条件方程和改正数条件方程。3、大地四边形画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的表达式。重点讲解极条件的列立方法和规律。举例上图中，若以对角线交点为极列极条件，其极条件闭合差超限，说明角度观测存在问题，如何返工？先让让学生回答，然后教师讲解。三、测边网中心多边形画出测边中心三边形示意图。（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系（3）导出以边改正数表示的条件方程大地四边形画出测边大地四边形示意图。（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系（3）导出以边改正数表示的条件方程四、边角网如图，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6应列出6个条件方程条件分析：内角和条件2个正弦条件2个固定角条件1个规定边条件1个边角网条件方程列立例题讲解分析。小结：条件方程列立，首先应能正确确定应列的条件数目，保证方程之间不相关，其次应能分析条件类型，最后应掌握各类方程的列立规律，正确列出条件方程。作业：第五章习题11，12，13，24，27，28，29，30，32，33，35，36，37，38，39。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，给出方程列立要求，导出各类方程的表达形式，例题讲解、分析，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第三节精度评定2学时♦授课目的要求：掌握精度评定方法♦重点、难点：平差值函数式和权函数式的列立♦讲授内容纲要：复习：利用真误差计算单位权方差的公式，协因数传播律，方差（阵）与协因数（阵）之间的关系式提出问题：如何利用真误差的估值-改正数计算单位权方差？如何用条件平差法计算观测值（向量）的协因数（阵）和方差（阵）？如何求平差值函数的协因数和方差？一、单位权方差估值计算VTPV02=0rVTPV的计算：1、VtPV=PV2+PV2++PV2（权阵为对角阵时）1122nn

2、VtPV二(QAtK)tP(QAtK)二KtAQPQAtK二KtNKaa3、VtPV二VtP(QAtK)二VtAtK=WtK二、协因数阵设r/Zt=*LtWtKtVtLt~列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中表中L与V、W、K的互协因数阵为零，说明L与V、W、K统计不相关证明：表中Q、Q的计算表达式。vvLl三、观测值平差值的精度评定D2QLL0LL四、平差值函数的精度评定1．平差值函数表达式及其协因数计算列出平差值函数表达式G=f(L,L，…,L)12n按泰勒公式展开，并按协因数传播律导出平差值函数协因数的计算公式Q=fTQf~(AQf)tN-1AQfaafi(i=l,2,…,n)为偏导数值。2．权函数式dL+1kJ2LdL+1kJ2L=LdL+.…+2dLnL=LfLl+f2dL2+…+fndLn—权函数式3．平差值函数的方差D=£2Q000恥例1水准网函数式和权函数式的列立例题。例2测角网函数式和权函数式的列立例题。小结:本节主要介绍了利用改正数计算单位权中误差的公式，各种平差量协因数和互协因数及方差协方差的计算，平差值函数式和权函数式的列立方法，平差值函数协因数和互协因数及方差协方差的计算方法，应重点掌握。

作业：第五章习题40,41,43,44,46,48,50♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，导出平差值函数式和权函数式的表达形式，导出各种协因数、互协因数（阵）和方差、互协方差（阵）的计算公式，例题讲解、分析，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第六章附有参数的条件平差2学时♦授课目的要求：熟记基础方程和法方程形式；掌握求平差值的方法、步骤和精度评定方法。♦重点、难点：求平差值的方法、步骤、平差值函数的精度计算。♦讲授内容纲要：提出问题：如图平面测角控制网，t=2p-q-4=2x5T-4=5,r=n-1=9-5=4,应列出4个条件方程。其中,3个图形条件容易列出,另外1个条件如何列立？、概述设X=/ABD，又可列出1个极条件和一个固定边条件极条件为（以A点为极）:固定边条件为（由、概述设X=/ABD，又可列出1个极条件和一个固定边条件极条件为（以A点为极）:固定边条件为（由AC边推算到AB边）:S二SABAC（~〜）sinLsin込+L丿2~6~8sinLsinX3IIsinLsinY+L丿SsinLsinXAB3由于选了一个参数，增加了一个条件，一般情况下，若选了u个参数，则条件方程的数目为c=r+u.S-^AC2从以上5个方程出发进行平差,就是附有参数的条件平差方法。二、基础方程观测量L和X的最佳估值L=L+V,X=X0+x，用奇表示的附有参数的条件平差函数模型为条件方程条件方程AV+BX-W二0——改正数条件方程c,nn,1c,uu,1c,1改正数条件方程常数项(闭合差)计算式W二—FC,Xo)改正数条件方程常数项(闭合差)计算式按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为K=(kkk)t，称为联系数向量。组成函数abrr,1①二VtPV—2Kt(av+Bx—W),将①对V和X分别求一阶导数，并令其为零，导出改正数V的计算公式V=P-1AtK=QAtK改正数方程附有参数的条件平差的基础方程为：AV+BX—W二0c,nn,1c,uu,1c,1V二P-1AtK=QAtKBtK二0方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。三、基础方程的解将改正数方程代入改正数条件方程，并令N=AQAt=AP-iAt，则得法方程aaNK+BX—W二0aaBtK=0法方程秩R(N)=rR(AQAt)=R(A)=c,即N是个c阶的满秩方阵，顾及N=BtN-1B由法方程aaaabbaa，可解出X=N-1BtN-iW,bbaaV=QAtN-1(w-BX),aa四、精度评定(一)、单位权方差估值计算VTPVVTPVO2==0rc-u

VTPV的计算：1、VtPV=PV2+PV2+…+PV2(权阵为对角阵时)1122nn2、VtPV二(QAtK)TPV二KtAV二KtW-KtBx=WtK3、Vt3、VtPV二WtK二WtN-iW-WtN-1BX=WtN-iW-StN-iW力Xaaaaaaaa二）、协因数阵Zt=WTXTKtVTLTl列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中证明：表中Q、Zt=WTXTKtVTLTl列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中证明：表中Q、Q的计算表达式。XXVV三）、观测值平差值的精度评定D=£2QLL0LLD=£2QXX0XX四）、平差值函数的精度评定对其全微分，得权函数式：deded®=dL+dX二FTdL+Ft〃XdLdX式中dL1dL2dedLnFT=|f1dedxn按协因数传播律得6的协因数为:Q^TQ^TFT护XLQ…TFLXQ…FXX0的中误差为:=0的中误差为:=FtQF+FtQF+FtQF+FtQF■^-11-入入"^-11-入入"^-11-入入"^-11-入入LLLXxxXLxXXxQ=6Q~(P0(p(p小结:掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤。作业:第六章习题1，2，3，4，5，8，9。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，导出平差基础方程和法方程，平差值函数式和权函数式的表达形式，导出各种协因数、互协因数（阵）和方差、互协方差（阵）的计算公式，小结。♦教学手段：多媒体教学。第七章间接平差8学时第一节间接平差原理2学时♦授课目的要求:熟记间接平差的基础方程和法方程形式；掌握按间接平差法求平差值的方法、步骤。♦重点、难点:按间接平差法求平差值的方法、步骤。♦讲授内容纲要：提出问题：条件平差是建立观测值平差值之间的函数关系，从而求得观测值的平差值，若设控制网中的高程或平面控制点坐标为参数，建立观测值与所设参数之间的关系式，能否求得与条件平差相同的结果？一、平差值方程与误差方程观测量L和X的最佳故值L=l+v,X=x0+x，用平差值和改正数表示间接平差的函数模型入（JL=F\—平差值方程（观测方程）n,1r,1V=BX-l—误差方程n,1n,tt,1n,1/=L-F（x0L误差方程常数项（闭合差）计算式以测角单三角形为例，列出平差值方程和误差方程。二、方程的纯量表达式与矩阵表达式设有n个条件方程:线性化后得误差方程为其中L=F找,X，…,X八11线性化后得误差方程为其中L=F找,X，…,X八11(八1八2八nL=F0,X，…,X2212nv=aX+bXHFtx-111J1入21t1v=aX+bXFFtx-1221222t2>v=aX+bXFFtx-1n=L-F1111=L-F220,Xo,…,X012tOX0,…,X012t1n=L-nF(Xn0,X0,12…,Xo彳tB=a1a2b…1b…2t"1t2,1=T112,V=v1v2ab…t1vnnnnn则误差方程的矩阵表达式为V=BX-1误差方程常数项(闭合差)计算式的矩阵表达式为1=L-F(xo)三、基础方程误差方程中未知数个数(n+1)大于方程个数n,方程有无穷多组解。根据最小二程原理可求得满足方程的唯一一组解。求VTPV的自由极值得基础方程JV=BX-1|BTPV=0四、基础方程的解将基础方程第一式代入第二式，令N=BtPB,W=BtP1，得法方程bbNX-W=0法方程bb解上方程得：X=N-iWbb当P为对角阵时，法方程的纯量形式为[paak+[pabkH[patk=[pal][pabk+[pbblxH$btk=[pbl112$atk+[pbtkHStk=[ptl112五、按间接平差法求平差值的计算步骤及示例用水准网例题讲解平差的方法步骤。小结：本节应熟记观测方程，误差方程，误差方程常数项计算式，法方程的表达形式，掌握用间接平差法平差的方法、步骤。作业：第七章习题4,7,10,17。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，导出相应平差计算公式，例题讲解、分析，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：多媒体教学第二节误差方程4学时♦授课目的要求：正确列立平差问题的平差值方程和误差方程♦重点、难点：非线性平差值方程的建立及其线性化♦讲授内容纲要：提出问题：测量控制网按间接平差时，应选参数的数目如何确定？若参数之间相关，会产生什么后果？一、参数个数的确定与选取参数个数：等于必要观测数t；参数选取：水准网一般选择未知点高程为参数，也可选择观测高差为参数；平面控制网一般选择未知点坐标为参数，也可选择观测角度等为参数。参数选择要求：足数；参数间线性无关。二、平差值方程及误差方程的列立1、观测高差平差值方程及误差方程的列立例1，以具有两个未知点的符合水准网为例讲解2、观测方向平差值方程及其误差方程的列立计算参数近似值平差值方程：jk其中0JKX0X0Y0X0Y0-Z+0?jk+arctgX?-Z0-z?+0jknVjkjkjkjk0JK+Vjk-z?-Z3(03XJKJK-Z0+5arctgX?=X0x?osin0?0jk-x?x?则观测方向的误差方程为：jk-z+00+5-l0JKjkjk0JKjk-Ljk常数项计算式3(03YX?=X0oAXyjft八ocos0?JK30y?JKx?3X3YX?=X0o^Ay?ky?osin0?0—x+H八ocos0?JKy?ky?koAyjJKJKJKJK2y?k-lkjk〃v=一z+ax+by一ax+by一1jkjjkjjkjak匕「称」、k方向的方向系数，对于任一方向jm有：jk、jk〃/X△J/Xv=一z+ax+byjmjjmjjmj坐标近似值的计算：可用支导线法、前方交会法等方法计算。jkk一aXjmkjkkjk+by-1jmkjm定向角近似值的计算：i=1,2,,njZ0=a0一L,jiji/j\工ao-L)Z0=jnj误差方程列立规律：①符号；②系数；③特殊情况；④6〃=6〃TKJTJK单位：坐标改正数为厘米时系数除100，...。3、观测角度平差值方程及其误差方程的列立平差值方程：=6ijhjkaJK-o+ao-aoaJKjhjk误差方程：〃V=6-6iaa

JhJKff-1i1=ao-a0一Lijhjki例2，以固定角内插一点得测角网为例讲解方程列立及求平差值的方法、步骤。4、观测边长平差值方程及其误差方程的列立设：X=jk平差值方程：S+Visisi其中SiAoX_JKSojkAosi其中SiAoX_JKSojkAoX—YjkJK

jSojkAo+—J—XSokjkAoSojk—li八QS入oS入OS入oS5-X+—壬y+「^X+^i-sdXjQYjOXkOYjX=X0jX=X0kX=x0k=S0+5iX=x0Ao入Ao入Ao入Ao=_—xjk—x——j—y+—xjk—x+―j—ySojSojSokSok

jkjkjkjk误差方程：=—cosT0x一sinT0y一cosT0X+sinT0y一ljkjjkjjkkjkki常数项：0一y00一y0)(单位kjl=S—S0=S—jQ0—X0）+（iiiikj例3，以中心三边形内差一点的测边网为例讲解求未知点坐标的方法、cm或dm)步骤。保证所选参数之间线形无关，小结：观测方程和误差方程的列立，首先应能正确确定应选参数数目，其次应能掌握各类方程的列立规律，正确列出相应观测方程和误差方程。保证所选参数之间线形无关，作业：第七章习题19，32，36，42，43。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，给出参数选则要求，导出各类方程的表达形式，例题讲解、分析，小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第三节精度评定2学时♦授课目的要求：掌握间接平差的精度评定方法♦重点、难点：参数及其函数的精度计算♦讲授内容纲要：提出问题：间接平差如何计算单位权方差？如何用间接平差法计算观测值（向量）和参数（向量）的协因数（阵）和方差（阵）？如何求参数函数的协因数和方差？一、单位权方差估值计算

VVTPVO2=0rVTPV的计算：VtPV=PV2+PV2+…十PV2（权阵为对角阵时）1122nnVtPV=（BX-1）TPV=XtBtPV—ItPV二-lTP（Bx-1）6及BtPV=O）二ItPI—ItPBx=ItPI—GtPl）X3、在线性方程组解算表中计算二、协因数阵与互协因数阵设：（L「'E''0、7KXN-1BtPN-1BtP=bbL-bbVBN-1BtP一EBN-1BtP一E八bbbb1LJ、BN-1BtP丿、BN-1BtP一E丿F（X0）按协因数传播导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵表中L与v和x与v的互协因数阵为零，说明L与v、x与v统计不相关证明表中Q,Q,Q_的计算表达式。xxVVLL三、参数的精度评定设所求量(如未知点高程或纵横坐标)为参数Xj,i=l,2,…，t则&2=&2QXi四、参数函数的精度计算设参数函数为：0设参数函数为：0=^(X)=Q(X,1八八X，…X)2线性化得权函数式为：dX1dX帥+—1dXdX1dX帥+—1dX2dX帥+…+^-2dXtX=X0=fdX+fdX+•…+fdX=FTdX1122ttdXt由协因数传播律得：Q=FtQFxD=£2Q90（P五、各种平差量权函数式的列立1、高差平差值如图设未知点高程为参数，所求高差平差值的函数式为6=如图设未知点高程为参数，所求高差平差值的函数式为6=h=-X+Xijk其权函数式为d@=dh=一dX+dXijk若j、k为已知点，其dX前的系数为零。2、方位平差值如图设未知点坐标为参数，所求方位平差值的函数式为入Y如图设未知点坐标为参数，所求方位平差值的函数式为入Y-Ya=arctgjjkX一Xkj求全微分得其权函数式为p〃AYop〃AYo「daf—丫jkdXjk\sob•10JJKp“AXo「p"AYo/p〃AXoV-jkdY一fb-JKdX+fV-jkSob•ioj\sob•iok\sob•1jKjKjK式中da的单位为（〃），jkdX、dY的单位为分米，若j、k为已知点，其dX、dYKdY前的系数为零33、角度平差值如图设未知点坐标为参数，所求角度平差值的函数式为C、Y—YY—YTOC\o"1-5"\h\zL=0—0=arctgj—arctgjjhjkX—XX—Xhjkj求全微分得其权函数式为do—If—f—do—If—f—jh—jkI\S0h•10jhp'AY0+(fS02•10jkp'AY0p"AY0|入、—(fjkIdX—\S0h•10Ij

jk丿p"AX0入4dY•10K七o丸-10jk丿p"AXo入冲dYh£o血-10\jhp'AY0入—f——山—dX+S0龙-10KS0丄-10h£0血•10jkjhjhdX、dY的单位为分米，若j、k为已知点，其dX、1八j^dX-

k式中doC的单位为（",jk4、边长平差值dY前的系数为零。AYAY0、C+Pj^dYS0kjhdY前的系数为零式中dS、dX、dY的单位为分米，若j、k为已知点，其dX、jk例题1水准网求高程平差值精度和高差平差值精度的例题例题2测角网求网中某边方位中误差和边长相对中误差,列函数式和权函数式例题。小结：本节主要介绍了各种平差量协因数和互协因数及方差、协方差的计算,参数函数式和权函数式的列立方法,参数函数协因数和互协因数及方差协方差的计算方法，应重点掌握。作业：第七章习题45,46,49,52,57,60,65。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，导出参数函数式和权函数式的表达形式，导出各种协因数、互协因数（阵）和方差、互协方差（阵）的计算公式,例题讲解、分析,小结归纳本节主要内容和应重点掌握的知识。♦教学手段：CAI课件与黑板板书相结合。第八章附有限制条件的间接平差2学时♦授课目的要求：熟记基础方程和法方程形式；掌握求平差值的方法、步骤和精度评定方法♦重点、难点：求平差值的方法、步骤、平差值函数的精度计算。

♦讲授内容纲要：提出问题：如图平面测边控制网，t=2p-q-3=2x4-3-3=2,r=n-1=4-25=2,若选取i、k两点的坐标为未知参数,能否按间接平差法求参数的平差值？一、概述如上图，选取i、k两点的坐标为未知数，可列出4个平差值方程。由于选定的未知数个数（1）多于必要观测数（t）,所以在所选定的未知数之间存在s=u-t个限制条件。C—X)+C—彳)-s二0KiKiikY-Y门arctg1-a=0X-XjKi把上列两式线性化得cosaox+sina0y一cosa0x一sina0y一w=0jkKjkKjkKjkK1w=Sw=S1ikax+by—ax—by—w=0jkKjkKjkKjkK2Y0-Y0w=a—arctgk*—2jkX0-X0ki二、基础方程已知附有参数的条件平差法的函数模型s,1s,1其线性形式为A=Bx—lc~x—W=0

x其中

（X°）W二—①（X0）x由于n+svn+u，不能求得A和~的唯一解，只能按最小二乘原理求A和~的最佳故值v和x，从而求得观测量L和X的最佳故值L和攵，即为此，可用观测值平差值和参数平差值表示附有参数的条件平差的函数模型，即L=Fq"—平差值方程（观测方程）0—限制条件方程n，0—限制条件方程0s，1或用观测值改正数和参数改正数表示附有限制条件的间接平差法的函数模型，即V二BX—/—误差方程n，1n，tt，1n，1CX—W=0一限制条件方程X心L—FG0）—误差方程常数项（闭合差）计算式W=000）—限制条件方程常数项（闭合差）计算式X按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为鷺叫按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为鷺叫k2k力，称为联系数向量。组成函数0二VtPV+2Kt（CX—W）,SX将①对X求一阶导数，并令其为零，得2VtPB+2KtC=0，s线二2V2VtPB+2KtC=0，sdxdxs转置得BtPV+CtK=0，s上式与误差方程和限制条件方程联立得附有参数的条件平差的基础方程BtPV+CtK=0sV=Bx—ln，1n，tt，1n，1

Cx-W二0x方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。三、基础方程的解将基础方程的第二式代入第一式与第三式联立，得NX+CtK—W二0,bbSCX-W=0—附有限制条件的间接平差法的法方程xbb将法方程第一式左乘CN-i与第二式相减，得bbCN-iCtK-Qn-iW-W)=0bbSbbX令N二CN-iCtccbb则有NK-QnNK-Qn-iW-W)=0SbbXcc式中N的秩R(N)=R(CN式中N的秩R(N)=R(CN-1Ct)ccccbb阶满秩对称方阵。=R(C)=S,且Nt=Qn-1Ct>二CN-iCt，故N为sccbbbbcc二N-iQn-iW-W)ccbbX将上式代入法方程第一式，可解得X二W-1-N-iCtN-iCN-1W+N-iCtN-1W,bbbbccbbbbccX代入误差方程可解出改正数V,从而可解出:四、精度评定一)、单位权方差估值计算VTPVVTPVO2==0rn一u+sVTPV的计算:VtPV=PV2+PV2++PV2(权阵为对角阵时)1122nnVtPV=(BX-1》PV二XtBtPV-ItPV二-x二-xtCtK-1tP(Bx—I)S-CTK)S二ItPl-xtCtK-ItPBxS=lTPl-WtK-WtXxS二）、协因数阵与互协因数阵3、在线性方程组解算表中计算二）、协因数阵与互协因数阵令：Zt丄WtKtXXtVtL)S列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中，讲解。三）、参数的精度评定设所求量（如未知点高程或纵横坐标）为参数Xi,i=l,2,…,t,则&2=&2QXoXXii四）、参数函数的精度计算设参数函数为：④（x）=e（X,x，…x）线性化得权函数式为：dX1dX+竺1dXdX1dX+竺1dX2X=X0=fdX+fdX+•…+fdX1122tt由协因数传播律得：dX+.…+——2dXt=FTdXdXtQ=FtQFXD=£2Q90（Po=6SQp0（P小结：掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤作业：第八章习题1，2，3，6，10。♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，导出平差基础方程和法方程，参数平差值函数式和权函数式的表达形式，导出各种协因数、互协因数（阵）和方差、互协方差（阵）的计算公式，小结。♦教学手段：多媒体教学。第九章线性对称方程组原位替换解算与平差应用实例8学时

第一节正定矩阵三角分解法2学时♦授课目的要求：明确三角分解法解线性方程组的基本原理，掌握在线性方程组解算的紧凑格式中解线性方程组未知数及其函数的方法。♦重点、难点：在线性方程组解算的紧凑格式中解线性方程组未知数及其函数。♦讲授内容纲要：提出问题：线性正定矩阵方程解算包括哪几种方法？各有何利弊？设线性方程组中的系数阵为正定矩阵，即：正定矩阵的三角分解设线性方程组中的系数阵为正定矩阵，即：n11n21n22对称（1）将N分解为下三角阵L与其转置矩阵的乘积,nt1nt2nttN二L・Ltl21lli7」n11n21n22nt1nt2N二L・Ltl21lli7」n11n21n22nt1nt2liit2t1lt2iiik1k=122/=丄(〃-艺/“卩.jiIIk=1.ljkikj=ilt1lt24）用比较法可得：5）当i=1时，有2）式中3）分解式又可表示为==n11/=n/、.nj1n'116）顾及（6）式对（5）式归纳整理可得liil=ji=nii-(i-1)nn...ji'(i-1)ii(i—1)(i=1,2,…,t)

(j=i+h…，t)（7）其中ii—1n2ik•(k—1)历•(：—1)iink-1kk•(k—1)ii—1nnjk•(k—1)ik•(k—1)nkk•(k—1)n-n；■/•(i—1)jik-1n-njioj1(j—i+1,i+2,…,t)>⑻二、求线性对称方程组中的未知数设线性对称方程组为：NX+U—0t,tt,1t,1NX=—U(10)入（9）式得：Y—ly1y2（9）其中N阵正定U—lu1L・LtX二一U-lx1（11）将（2）式代(12)LtX=Y(13)=(一U-i一11ik—1ik式归纳整理得其中yTt（15）将（3）式、（14）式和（11）•yk(i=1,2,t)14）式和（10）式代入1tX—(y一1.X)i-/ikikViik-i+1式归纳整理可得：(20)当i=t时有（14）则有LY=—U式代入（15）yi-—ui.(i—1)■ni-(i—1)i—1nuU—U—iik•(k-1)_k•(k-1)Hi-1)ink-1.kk•(k—1)u—u,(i—1,2,…，t)1・0113)式,并用比较法得x—inii-(i—1)式，并用比较法可解得（16）顾及（6）式、（7）式和（8）(i=l,2,t)式对（16）(17)（18）将（3）式、（19）顾及（7）式、（17）式和（18）式对（19）1(—u—inx)i・(i—1)ki・(i—1)kk-i+1(i—t一1,...,1)一u——ntt•（t—1）(21)三、求线性对称方程组中未知数的函数设线性对称方程组中未知数的函数为F=f1X1+f2X十…十ftXt十ft+1（22）将（21）式和（20）式依次代入上式并归纳整理得：F-f.-if4k一1)%k•(k一1)

t+1nk-1kk•(k—1)（23）其中nik*(k—1)k*(k—1)i-(i-1)in>k=1kk■(k—1)f=f1-01丿(24)当(22)式中fi=ui(i=1,2,...,t)时，又可得寸u2F=f—Z—k-(k_1)i+1nk=1kk-(k—1)解的紧凑格式利用(21)式和(20)式可求得线性对称方程组中的未知数，利用(23)式和(25)式可

求得线性对称方程组中的未知数函数值，这些计算均可在“紧凑格式”表1中进行。表1线性对称方程组

解算的紧凑格式t(25)四、线性对称方程组中未知数及其函数f(n)11(n)21(n)Jn2222-1(x))1(x)2(nt1)(n)Jnt2t2-1(u)1〔(f(u)Ju22-1(f2)Jf2-122-1(n)Jntttt-(t—1)(u)Jutt-(t—1)(ft)Jft-(t—1)tt-(t—1)(f)〜Ft+1略去。(x)tt+1当f=u时，表1中u所在的行可以iii若未知数的函数不只一个，则每增加一个函数在表1中增加一行，填入相应f和f的值，按计算it+1F=xF=x—17.5x—7x1244x+2x+x+2x+1.0=0、12342x+17x+2.5x+5x-17.5=01234x+2.5x+4.5x+3x=012342x+5x+3x+7x—7.0=01234丿算例已知线性方程组未知数函数式为：+36按线性方程组解算的“紧凑格式”求x.(i=1,2,3,4)和F之值。用课件演示动态解算过程，给出解算结果。小结：本节按矩阵三角分解的基本原理推导了线性正定矩阵方程的原位替换快速解算方法，其特点是解省计算用内存，减少运算次数，可提高解算效率。作业：第九章习题8♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，推导解算公式，动画演示解算过程，应用实例计算，讲解，小结。♦教学手段：多媒体教学。第二节正定矩阵三角分解求逆法(原位替换求逆法)2学时♦授课目的要求:明确三角分解法求矩阵行列式和逆矩阵的基本原理，掌握在紧凑格式中求行列式和逆矩阵的方法。♦重点、难点:在紧凑格式中求行列式和逆矩阵的方法。

♦讲授内容纲要：提出问题：矩阵求逆包括哪几种方法？各有何利弊？经典矩阵求逆法回顾一.正定矩阵三角分解求逆法概述二.求矩阵N的分解下三角阵L的逆阵设(1)L-i=C=c11c21c22(2)由LC=I（单位阵），即cccttc11c21t1t2ct1lt1以11l21c22ct2ctt全部元素，即1c==ii(1)L-i=C=c11c21c22(2)由LC=I（单位阵），即cccttc11c21t1t2ct1lt1以11l21c22ct2ctt全部元素，即1c==ii：］

\ii1cjit11-cjkkik=i0"⑶用比较法可得L阵的逆阵C的(i=1,2,…,t)

(j=i+1,^^^,t)(4)将l=niiii-(i-1)l=,1njkJnjk•(k-1)一kk・(k-1)代入（4）式得：cii:n1ii-(i-1)1艺ncji■njk'(k-1)jj-(j-1)k=i=-c艺n-c-cjjjk•(k-1)kkkik=i(i=1,2,…,t)(5)三利用分解下三角阵L的逆阵C求N的逆阵对（1）式求逆可得:N-i=Gt)1=C)Li=CJL-i二CtC设Q=N-i=Q1111Q2121Q22对称Qt1Qt2Qttc11ccc11c21cc11ccc11c21ct1c22ct2ctt用比较法可得计算Q阵中下三角诸元素的公式，即Q=£Q=£c-c(j=1,2,…,t,i=1,2,…,j)jikikjk=j(6)1.求分解下三角矩阵L的逆阵C的紧c11

c21c11

c21(n)J2c22-122(nA；1)+1Jct12t1(n)t罗+2jct212t2)Jctt-(t-1)tt丿凑格式利用约化系数j」j二陀…,t)，可在“紧凑格式”表3中求得L阵的逆阵C。表3求L阵逆阵(n)乙J対21C的紧凑格式c..c..=ii-(i-1)c=-cfnjijjk=i・cjk•(k-1)kk(i=1,2,…,t)

(j=i+1,^^^,t)-cki2.利用下三角阵L的逆阵C计算N的逆阵Q的紧凑格式利用C阵的元素可在紧凑格式表4中求得矩阵Q的下三角诸元素表4求Q阵下三角元素的紧凑格式(c)1JQTOC\o"1-5"\h\z1111(c)2Q2121

(c)3JQ2222)t(7+1Jt1(c)T+2JQ…(c)T+tJQ)t(7+1Jt1t2t2ttttQ=£c-c(j=1,2,---,t,i=1,2,…,j)jikikjk=j五.算例求线性方程组系数阵的逆阵(同第一节例题，用课件演示动态解算过程，给出解算结果。)TOC\o"1-5"\h\z421课堂练习设线性对称方程组的系数矩阵为：N=2172.512.54.5

4解方程过程中已求出约化系数阵为216124试求方程组系数阵的逆阵Q。小结：矩阵求逆分三步进行：第一步求约化系数，第二步求下三角阵的逆阵,第三步求原矩阵的逆阵。每一步计算均采用原位替换求解法，即将矩阵中不同位置的元素表达为相应位置的位置函数值，每一步计算是用新的位置函数值替换相应位置的原有位置函数值，最终将原矩阵中各位置的元素替换为其逆矩阵中相应位置的元素。求逆公式简单，利于编程，节省所需内存空间。此矩阵求逆方法可用于法方程解算，各种协因数阵的计算，方差分量估计，测量数据的统计假设检验，粗差探测，可靠性估计等测绘数据处理和精度估计之中。作业：第九章习题10♦采用的教学方法：启发式、互动式教学。♦实施步骤：提出问题，推导解算公式，动画演示解算过程，应用实例计算，讲解，小结。♦教学手段：多媒体教学。第三节条件平差应用实例2学时♦授课目的要求:熟悉条件平差的计算表格，掌握条件平差计算表格的使用方法♦重点、难点:条件平差计算表格的使用方法。♦讲授内容纲要：有关条件平差公式复习、条件平差的计算表格及其使用已知条件平差的函数模型为：AV+W二0式中r,nn,1r,1a（、a・・・avwi2n11bb...bvwA=i2nV=2W=2〔r1r2...丫丿n<v丿n<w>r为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：d6=FtdL1,11,nn,1式中F=(f式中F=(f][dL|1八ifdL丿2dL=2丿丿、dL丿nn依据上述有关观测序号数据可编制a.i9条件方程'bi及权函数系;数表见表1ri条件方程2f支权函数系舟1/p.数表v.11a1b1...r1f1/p1v12a2b2・・・r21亿V2111111111111111111111111nanbfl・・・rafn1/p丄nvn表1

据表1中的数据，便可计算法方程NK+W=0（转换系数方程Naaq+fe=0）的系数n..和转换系数方程中的常数项f.,以及平差值函数的权倒数计算式丄=fTP-1f+fTqe.PeF中的担测序号测序号将上述计算结果填写在编制好的法方-1程（r转换系数方呈）及VTPV,=)解算表2viPF中的担测序号测序号将上述计算结果填写在编制好的法方-1程（r转换系数方呈）及VTPV,=)解算表2viPF中（每计算一个填写一个a2依次计算填（（n1）（n；）（21“22厂r2数表1(k)f2(ki2)1ZP11?P2表1v法方程未知数及V2其函数解算表.表2(n1)((nrr表中后两行分别是函数•P-n(w)(w)…(w)02I(fe)(fe)…(fe)(ftP-1f)丿12r—vtpv—0+wk+wkffwk1122rr—=fTP-1f+f2+fq2+…+fqPe11e22errF中未知数K和qi(i=a,b,^,r)的系数及函数式中的常数项。上表填写完毕后，即可在表2中求解K(i=a,b,...,r)、，计算结果填于表2中相应元素的右边如表，计算结果填于表2中相应元素的右边如表3所示。法方程及其函数解算表-VTPV及pF(k))a(k))a(k)b(n)J(n)Jn2222-1(n)21表3(n)r1(w)1(fe1)(n)J表3(n)r1(w)1(fe1)(n)Jnr2(w)J2(fe2)J2(n)Jnrr(w)Jrr2-1w2-1fe-1…(fe)Jfe2rr.(r-1)wr.(r-1)r.(r-1)(0)J-