第二章 无限期界与世代交叠模型

#第二章无限期界与世代交叠模型A、拉姆齐(赛)一卡斯一库普曼模型1、假设：厂商一一大量相同厂商，生产函数是Y=F(K,AL)，是规模报酬不变，要素与产出市场是竞争性的，A是给定的，以速率g外生增长，且企业由家庭所有，企业产生的任何利润归于家庭。家庭——大量相同家庭，家庭中人口的规模以n速率外生增长，将其拥有的资本租给厂商，初始资本为K(0)/H，其中，K(0)是经济中的资本的初始量，H是家庭数量。不存在折旧，每个时点上，家庭将其收入(劳动收入、资本所获得收入和从厂商处接受的利润)在消费与储蓄中分配，以最大化其终身效用。家庭的效用函数是：U二Le-pru(C(t))dt，其中C(t)是家庭每个成员的消费。t=oHC(t)1-0u(•)是瞬时效用函数一既定时刻家庭每个成员的效用，其形式是u(C(t))=(它是1-0著名的相对风险厌恶不变的CRRA效用函数，该函数的相对风险厌恶系数(阿罗－帕拉特风险厌恶测度值)为-U''(C)/u(C)=0即独立于C,并能使经济收敛于平衡的增长路径。其二个特征：(1)如果0<1，C1-0关于C是递减的；如果0>1，则消费是递增的。给C1-0除以1-0，是确保无论0取什么值，消费的边际效用是正的。(2)在0T1，瞬时效用函数可简化为InC)，0>0，1/0是消费跨期替代弹性。L(t)是经济的总人口，字是每H个家庭的成员人数。u(C(t))習是t时刻家庭的总瞬时效用。P是贴现率，其越大，表明H相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小(更偏好于现期消费，少储蓄)。且p-n-(1-0)g>0(可确保终生效用不会发散，如果这个条件不成立，家庭可获得无限的终生效用，且难以得到其最大化问题的解)。2、家庭与厂商的行为：(1)厂商：边际产品OF(K,AL)/8K=f(k)，市场是竞争的，资本获得其边际产品,以不存在折旧，资本的真实报酬率等于每单位时间的收入(利率)，那么，真实利率为：r(t)=f'(k(t))，劳动的边际产品是OF(K,AL)/OL，它等于AOF(K,AL)/OAL。根据f(•)，它可写成A[f(k)-kf(k)]，因此，在t时刻，真实工资为：W(t)=A(t)[f(k(t))-k(t)f'(k(t))]，

每单位有效劳动的工资是：w(t)二f(k(t))-k(t)f'(k(t))］。(2)家庭的预算约束：代表性家庭把r与w的路径取做给定的。家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。考虑到r可随时间而变化，将R(t)—累加利息因子定义为tr(t)d。表示在0时刻投资一单位的产出品TOC\o"1-5"\h\zT=0T将在t时刻获得数量为eR(t)的物品。亦即，在t时刻的一单位产出的价值用0时刻的产出表示为e-R(t)(表明在［0,t］时刻连续复利的效应)。家庭预算为：J®e-r(t)C(t)也dt<K(0)+卜e-r(t)W(t)L(t)dtt=0HHt=0Hn+卜e-r(t)［W(t)—C(t)］也dt>0Ht=0H用家庭的资本持有量的极限行为来表示，即从t=0到t=®的积分形式作为一种极限:nlim[K(0)+Jse-r(t)[W(t)—C(t)]dt]>0Ht=0HsT8nK(^)=eR(s)K(0)+JseR(s)-r(t)[W(t)-C(t)]也dtTTTTTJHHt=0HK(s)>0，表示家庭所持资产的现值K(s)>0，表示家庭所持资产的现值根据上式，可将预算约束简单写成：lime-R(s)sT8不能是负的。著名的非蓬齐博弈条件。(3)家庭的最大化问题(每工人消费C/L=A(C/AL)=Ac)家庭瞬时效用简化为：C(t)i-e=[A(t)c(t)]i-e=[A(0)egt]i-oCt)i-e

1-91-9家庭瞬时效用简化为：=A(0)e(i-e)gtS^^孚由于L(t)=L(0)ent代入目标函数，得:

=e-pt[A(0)e(i-0)gt]L(0)entdtt=01-0H=A(0)型e-Pte(i-0)gtentS^^dtTOC\o"1-5"\h\zHt=01-0=BJ8e-(p-n-(i-0)g)tdtt=01-0=BJ8e-PtS^竽dtt=01-0家庭预算简化:家庭总消费C(t)L(t)/H=A(t)c(t)L(t)/H)=c(t)A(t严")=c(t)A(°^(0)e(n+g)tHH家庭的总劳动收入：ge-r(t)w(t)e(n+g)tdtt=0W(t)L(t)/H=A(t)w(t)L(t)/H)=w(t)A(t)L(t)=w(t)A(0)L(0)e(n+g)tHH因K^°2=k(0)A(0)L(0)/He-r(t)cge-r(t)w(t)e(n+g)tdtt=0Ht=0K(0)是家庭持有的，不是家庭成员持有的)H非蓬齐条件表达式:由K(s)/H=k(s)A(s)L(s)/H=k(s)e(n+g)s—nle-r(Hss构建拉格朗日函数：L=Be-Ptc。)；9dt+X[k(0)+Jge-r(t)e(n+g)tw(t)dt-e-r(t)e(n+g”c(t)dt]t=01-0t=0t=0求关于c(t)的导数，即一阶条件:Be-Ptc(t)-0二九e-r(t)e(n+g)t对上式取对数，得：InB—Pt-0Inc(t)=In九一R(t)+(n+g)t=InX-ftr(t)dT+(n+g)tT=0两边求关于t的导数，得:一卩-0D=r(t)+(n+g)c(t)r(t)-n-g—卩r(t)-p-0gr(t)-p===—gc(t)0r(t)—p即表明每个工人的消费是以0的速率增长。如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人消费将上升。0越小，随着消费的变化，其边际效用的变化越小，从而，为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。欧拉方程的求解：假设家庭在t时，将c减少较小的量Ac,在一个较短的时刻At,把这个新增的储蓄进行投资，并在t+At时刻消费这部分收入。这种变化对终生效用的边际影响则是零。c(t)的边际效用是Be-Ptc(t)-e，则这种变化的效用成本为：Be-Ptc(t)-eAc；由于瞬时的报酬率为r(t)，在t+At时刻，c可被增加的数量为e[r(t)-n-g]AtAc(有效劳动增c(t)加)。同样，由于c的增长率是/、，那么，c(t+At)二c(t)e[c(t)/吊Mt，因此，在t+At的c(t)边际效用为：Be-P(t+At)c(t+At)_0Ac—Be-p(t+At)[c(t)e[c(t)/c(t)]At]_0Ac理性家庭，其期望效用保持不变：Be-P(t)c(t)-0Ac—Be-P(t+at)[c(t)e[c(t)/；(t)]At]_eAc给两边同除以Be-Ptc(t)-0Ac，得：c(t)-PAt-0At—[r(t)-n-g]Atc(t)3、经济的动态学：(1)c的动态学：由于r(t)—f(k(t))即哄—广kt(jP-0g，当c(t)0f'(k(t)—P+0g那么，c—0，设k*代表在c—0时的k的水平，当k>k*，f'(k(t))<P+0g(资本边际报酬递减)，c<0；当k<k*，f'(k(t))>P+0g，c>0。如图：cc2)k的动态学：与索洛模型一样，k等于实际投资减去持平投资。由于不存在折旧，持平投资为(n+g)k，实际投资是产出减去消费为f(k)-c,即：k=f(k(t))-c(t)-(n+g)k(t)，那么消费等于实际产出与持平投资线的差额时，k二0，c(t)二f(k(t))-(n+g)k(t)，开始c关于k是递增的，直到f'(k)=n+g(k的黄金律水平)，后c关于k是递减的。当c超过可获得k=0的水平时，k则下降，当c小于可获得斤二0的水平时，k则上升，对于充分大的k，持平投资超过产出，在此条件下，对于一切c的正值，k<0。如图：c与k的动态学

(4)c的初始值：(解释在k=0下方，k大于0,可用k=f(k(t))-c(t)-(n+g)k(t)来解释，因为下方的c小，而使产出大于持平投资，或者可从k=0,c=f(k)-(n+g)k,c与k关于c的各种初始值的行为lime-R(s)e(n+g)sk(s)中e-R(t)e(n+g)t=e-(f'(k)-(n+g))(F是收敛的，因为f'(k*)=p+0g，其ss他点上f'(k)<(n+g)，发散的，即较之于家庭的终生消费的贴现值，其终生收入的贴现值是无穷大的，因此，家庭可获得更高的效用，这样的路径不是均衡的。)(5)鞍点路径：鞍点路径是指对于k的任何正的初始水平，存在一个惟一的c的初始水平，它与家庭的最优化、资本存量的动态学、家庭预算约束以及k不为负的要求相一致，那么，这种初始的c作为k的一个函数的函数便是鞍点路径。鞍点路径4、福利(略)5、平衡增长路径平衡增长路径的性质：经济行为一旦收敛于E点，它便等同于处在平衡路径上的索洛经济的行为，每单位有效劳动的资本、产出与消费是不变的。由于y与k不变的，储蓄率(y-c)/y也是不变的，总资本存量与总消费均以(n+g)的速率增长，且每工人资本、每工人产出与消费发速率g增长。(储蓄率的内生与外生假定都一样，劳动的有效性的增长仍是每工人产出持续增长的惟一可能的源泉。平衡增长路径与资本的黄金律水平索洛模型与拉姆齐模型的平衡增长路径之间的惟一区别是：拥有资本存量大于黄金律资本水平的平衡路径在拉姆齐模型是不可能的，即在索洛模型中，充分高的储蓄率引致经济达到一个平衡路径，它的性质是存在一些可行的选择，涉及在每个时刻更高的水平的消费。相反，在拉姆齐模型中，储蓄由家庭行为中推出，该家庭的效用依存于其消费，并且不存在外部性，结果，使经济在每个时点上获得较高消费水平的路径，不能是一个均衡，如果经济处在这样一个路径上，家庭将会减少他们的储蓄并利用这种机会。(从鞍点图分析：(a)当初始资本存量大于黄金律水平，初始消费会大于那个为保持k不变所需的消费水平，因此，k<0，k逐渐趋向k*；(b)k*小于黄金律资本存量意味着经济并不会收敛于那种可获得c的最大维持水平的平衡路径，假设，g二0，那么，k*是由f(k*)=P定义的，而黄金律的k由f(k)-n定义，因而我们假定P-n-(1一°)g>0简化为P>n，由GRGR于k*<k，在k二k*处开始的储蓄增加将会引致每工人的消费最终高于其先前的水平，GR并且在那里保持不变，但因家庭对现期消费的偏好大于未来时期，使得消费的最终的永久性增加的好处受到限制。在某个点上，特别地，当k>k*，暂时的短期牺牲与永久的长期收益之间的替代是十分不利的，以致接受该替代会减少而非提高终生的效用，因此，k收敛于低于黄金律水平的资本量，由于k*是经济收敛于平衡路径时的k的最优水平，它便是著名的修正的黄金律资本存量)。6、贴现率下降的效应考虑一个处在其平衡路径上的拉姆齐经济，并且设存在贴现率P下降。由于P是主导家庭对现期与未来消费之间偏好的参数，在这个模型中，这个变化与索洛模型中的储蓄率的上升，十分相似。(1)定性效应：由于k的演化由技术而非偏好决定，P进入C而不是进入k的方程。因此，只有c=0的轨迹受到影响。由于c(t)二广(k(t)Tp—°g，当c=o，k值由f'(k*)二p+eg决定,c(t)0且由于/"(•)v0，这意味着p的下降会提咼k*。那么，c=0线向右边移动。在P的变动的时刻，k的值，即每单位有效劳动的资本存量由经济的历史给定，并且它不能间断地变化。特别地，在变动的时刻，k等于原平衡增长路径上的k*值。相反，c，即家庭此时刻正在进行的消费的速率，则在冲击时刻发生跳跃。在变动发生的时刻，c向下跳跃，使得经济处在新鞍点路径值(如图中的A点)。此后,k与c逐渐上升到其新的平衡增长路径值，这些值均高于其原平衡增长路径上的值。因此,贴现率下降的效应类似于索洛模型中的储蓄率上升的效应：在两种情形中，k逐渐上升到新的较高水平，但c均初始下降但接着上升到其开始时的水平之上。正如索洛模型中具有一个储蓄率的永久性上升的情况一样，贴现率的永久下降会产生每工人资本增长率与每工人产出的暂时性增长。两者差异是：在P下降的情形下，产出的储蓄部分在调整过程中一般不是不变的。

2)调整速率与鞍点路径的斜率这里用平衡增长路径附近的线性近似方程替代这些非线性的方程。在k=k*与c=c*的附近给喫二c(t的附近给喫二c(t)f(k(t))-p-9g9与k-f(k(t))-c(t)-(n+g)k(t)取一阶泰勒近似，即,虫[k-k*]+dkIs[c-c*]ccTOC\o"1-5"\h\zku^[k-k*]+ck[c-c*]ckcc定义c=c一c*与k=k一k*，由于k*与c*均不变，则c=c且k=k，上式可写成:qcc-cccuk+-ckcc对c(t)对c(t)=CkCkf(k(t))-p-9g9c(t)分别求关于c与k的导数，且c=0时，f'(k*)=p+9g，那么，可得到：f''(k*)c*-k9cf"(k*)c*k对上式两边同除以c，得到：—u(1)c9c同理，对k=f(一c(t-(+g)k分t别求关于c与k的导数，且k=0,f(k*)=c+(n+g)k*，可得到k=[f(k*)-(n+g)]k—c=[(P+9g)-(n+g)]k—c=Bk-c~kc对上式两边同除以k，可得：孑=0-(2)kk(1)与(2)式意味着c与k的增长率只依存于c与k的比率。

设卩设卩=C/c，方程（1）可变为：rk9£〜g秸，假设订斤二c/C，那么，―f''(k*)c*1^=p——9卩0土[02—4F”(k*)c*/9]1/2nH=如果卩为正，那么，c与k正在增长，这便是经济不是沿一条直线走向（k*,c*）的，相反,它正在沿一条直线偏离（k*,c*）。因此，如果经济收敛于（k*,c*），那么，卩为负，即,卩叫02—4F''(k*)c*/9]1/2。如图所示:的，刻，•kC卡=0-孑则意味着c的，刻，•kC卡=0-孑则意味着c与k之间的关系所具有的符号将不同于卩kk鞍点路径AA线斜率为正，BB线的斜率为负。由于/”（•）是负的,如果我们线性化关于C与k的方程，可以用模型参数刻画经济动态学的特征。在0时c必定会跳跃到c*+-k*）（这是从秒〜以严I推出的）。此后，c与k均会以速率卩i收敛于它们的平衡路径；这便是k（T）二k*+E中［k（0）-k*］，c(t)二C*+制[c(0)—C*]。3）调整速度理解-氏ygi理解-氏ygi对于收敛于平衡路径的速度的含义，我们用柯布－道格拉斯生产函数f(k)=k«，即f”(k*)(a-l)k*3。由于平衡路径上消费等于产出减去持平投资，每单位有效劳动的消费c*等于k*a-(n+g)k*，代入卩式得：由于f(k*)二p+eg，可得，ak*a-1二p+eg，将此代入上式，得：l4l-a卩卞(卩-{[卩2+-——(p+eg)[p+eg-a(n+g)]}1/2l2ea上式表明了用模型的基本参数表示的调整速率。7、政府购买的效应(1)把政府纳入模型中。假设每单位有效劳动的政府购买是G(t)，其不影响私人效用，其购买由税收融资而得，不影响产出。那么，投资是产出同私人消费与政府购买之间的差额。因此，k的运动方程如下：k(t)=f(k(t)-c(-)G-)+ng)kt较高的G值把k=0轨迹向下移动，如果k保持不变，那么由政府购买的产品越多，由私人购买的产品就越少。依据假设，家庭的偏好不变，但欧拉方程或在对家庭施加终生预算约束限制下由其偏好中推出的，其他条件仍成立，但政府购买融资的税收会影响家庭预算约束，即：g(tdt)nJ®e-r(tc(t)e«g(tdt)t=0同样的推导过程，可得出消费增长路径。增加政府购买并不影响欧拉方程，那么我们来分析：(2