2023届高考数学二轮复习专项突破06函数图像辨析

《函数图像识别辨析》专项突破高考定位函数图象作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已经成为各省市高考命题的一个热点。在高考中经常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。考点解析（1）知图选式的方法（2）知式选图的方法（3）同一坐标系中辨析不同函数图像的方法（4）解决需要我们利用图像所提供的信息来分析解决问题这类题目的常用方法定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题;定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题;函数模型法，也就是由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.题型解析类型一、由解析式判定图像例1-1（含参型）．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可.【详解】根据题意，，必有，则且，即函数的定义域为且，，则函数为偶函数，排除D，设，其导数，由得，当时，，为增函数，而为减函数，排除C，在区间上，，则在区间上为减函数，在区间上，，则在区间上为增函数，，则存在极小值，此时存在极大值，此时，排除A，故选：B.知式选图的方法（1）从函数的定义域，判断图像左右的位置;从函数的值域，判断图像上下的位置;（2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图像的变化趋势;（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性;（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复;（5）从函数的极值点判断函数图像的拐点.练．（2021•重庆模拟）函数为常数）的图象可能是A． B． C． D．【解答】解：令，解得，即函数有且只有一个零点，故不可能，，令，则，令，则，即函数在，上单调递增，令，则，即函数在上单调递减，当时，取得最小值，为，即，，且时，，时，，故当时，，单调递增，选项可能，当时，存在两个零点，，且，在和，上单调递增，在，上单调递减，选项可能，当时，存在唯一零点，且，在上单调递增，在，上单调递减，选项可能，故选：．练．函数（其中mR）的图像不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】易见，①当时，图像如A选项；②当时，时，易见在递增，得在递增；时，令，得为对勾函数，所以在递增，递减，所以根据复合函数单调性得在递减，递增，图像为D；③当时，时，易见在递减，故在递减；时为对勾函数，所以在递减，递增，图像为B.因此，图像不可能是C.故选：C.【点睛】本题考查了利用对勾函数单调性来判断函数的图像，属于中档题.例1-2（原导混合型）（2021·重庆市南坪中学校高二月考）函数的导函数为，则与在一个坐标系中的图象为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数、的奇偶性，以及、的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，，即函数为奇函数，，函数的定义域为，，函数为偶函数，排除B、C选项；，，则.对于D选项，图中的偶函数为，由，与题图不符，D选项错误，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象..同一坐标系中辨析不同函数图像的方法解决此类问题时，常先假定其中一个函数的图像是正确的，然后再验证另一个函数图像是否符合要求，逐项进行验证排查.练．函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③【答案】B【解析】易知，则．由①②中函数的图象得，若，则，此时，，又，所以的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若，则，此时，，又，所以的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数的图象得，若，则，此时，，又，所以的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若，则，此时，，又，所以的图象开口向上，此时③④均不符合要求．综上，②③符合题意，故选：B．类型二、由图像判定解析式例2-1（2019·甘肃·兰州五十一中高一期中）若函数的图象如图所示，则函数的解析式可以为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图象的基本特征，利用函数定义域、值域、奇偶性等排除可得答案．【详解】选项B根据图象可知：函数是非奇非偶函数，B排除；选项C根据图象x趋向于，函数值为负，与C矛盾故排除；选项D函数图象在第三象限，，与D的定义域矛盾，故排除；由此可得只有选项A正确；故选:A.【点睛】本题考查函数图象判断解析式，此类问题主要利用排除法，排除的依据为函数的基本要素和基本性质，如定义域、值域、零点、特殊点、奇偶性、单调性等，属于中等题.例2-2．函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】结合函数的图象，从函数的定义域，和时判断.【详解】由图象得函数的定义域为，排除；由，排除D；由时,，排除B．故选：C.例2-3（2020·浙江·台州市黄岩中学高三月考）某函数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数值恒大于等于，排除选项A、B、D，则答案可得.【详解】当时，函数值恒大于等于，而A选项中，当时，，故排除A；当时，函数值恒大于等于，而B选项中，当时，，故排除B；当时，函数值恒大于等于，而D选项中，当时，，故排除D；因此，C选项正确；故选：C.【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于中等题.例2-4（2019·全国·高三月考（理））已知函数图象如下，则函数解析式可以为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象可知函数为偶函数，且定义域为，然后分析各选项中各函数的定义域与奇偶性，结合排除法可得出正确选项.【详解】由图象可知，函数的定义域为，且为偶函数.对于A选项，的定义域为，不合乎题意；对于B选项，令，得，则函数的定义域不为，不合乎题意；对于C选项，函数的定义域为，且，该函数为偶函数，合乎题意；对于D选项，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，不合乎题意.故选：C.【点睛】本题考查根据函数图象选择解析式，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法求解，考查推理能力，属于中等题.总结：知图选式的方法（1）从图像的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域（2）从图像的变化趋势，观察函数的单调性;（3）从图像的对称性方面，观察函数的奇偶性;（4）从图像的循环往复，观察函数的周期性.类型三、读图提取性质求参例3-1．若函数的大致图象如图所示，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令得到，再根据函数图象与x轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令得，即，解得，由图象知，当时，，当时，，故排除AD，当时，易知是减函数，当时，，，故排除C，故选：B练．已知常数、、，函数的图象如图所示，则、、的大小关系用“”可以表示为_______.【答案】【解析】若，则函数的定义域为，不合乎题意，若，则函数的定义域为，不合乎题意，若，则函数的定义域为，合乎题意.由图可知，可得，则，当时，，则，则，所以.因此，.故答案为：.例3-2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（）A． B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由函数零点代入解析式待定系数、.【详解】由图象可知，由得，又，解得.则，法一：由得，解得，又当，时，恒有，即恒成立，故，，即，则.法二：由，解得，故两相邻零点的距离为，由图象可知，则，则.故选：C.【点睛】已知函数图象待定解析式，一是从函数的特征点入手，代入点的坐标从而待定系数，如函数的零点、极值点、与纵轴的交点、已知横纵坐标的点等等；二是从函数的特征量入手，找到等量(不等量)关系待定系数(范围)，如函数的周期、对称轴、切线斜率、图象上两点间的距离、相关直线所成角等等.练．已知函数，在的大致图象如图所示，则可取A． B． C． D．【答案】B【解析】为上的偶函数，而为上的偶函数，故为上的偶函数，所以．因为，故，．因，故，所以，．因，故，所以．综上，，故选B．类型四、实际情景提取图像例4-1．如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线之间，，与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，正的高为1，则其边长，如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，因OF=1，弧FG的长为，则，又，即有，于是得，，，因此，，即，，显然在上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，而，C选项不满足，D选项符合要求，所以函数的图像大致是选项D.故选：D练．已知是圆上异于坐标原点的任意一点，直线的倾斜角为，若，则函数的大致图象是A． B．C． D．【答案】D【解析】，所以对应图象是D练。如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于轴的直线经过原点向右平行移动，在移动过程中扫过平面图形的面积为（图中阴影部分），若函数的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）【答案】C【解析】试题分析：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项A，B，D，在移动过程中扫过平面图形的面积为，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C，后面是直线增加，不满足题意.考点：函数的图象与图形面积的变换关系.例4-2．假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是A．若在、时刻满足：，则B．如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值【答案】C【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，，，此时二者总和，由图象可知存在点，，，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选：C.练（多选）．某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系t＝且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时刻的变化如图所示，则下列结论中正确的是（）A．该食品在6℃的保鲜时间是8小时B．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D．到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间【答案】AD【解析】由题设，可得，解得，∴，∴，则，A正确；时，保鲜时间恒为64小时，时，保鲜时间随增大而减小，B错误；此日11时，温度超过11度，其保鲜时间不超过2小时，故到13时甲所购食品不在保鲜时间内，C错误；由上分析知：此日14时，甲所购食品已过保鲜时间，D正确.故选：AD.练．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图8-3-1所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A．①反映建议（1） B．②反映建议（1）C．③反映建议（2） D．④反映建议（2）【答案】AC【解析】对于建议（1）因为不改变车票价格，故建议后的图象（虚线）与目前的图象（实线）倾斜方向相同（即平行），由于减少支出费用，收支差变大，则纵截距变大，相当于将原图象向上平移即可得到，故①反映建议（1）；对于建议（2）因为不改变支出费用，则乘客量为0时前后的收支差是相等的，即前后图象纵截距相等，由于提高车票价格，故建议后的图象（虚线）比目前的图象（实线）的倾斜角大.相当于将原图象绕与轴的交点按逆时针旋转一定的角度得到的图象，故③反映