深圳大学数理方程复习

数学物理方程与特殊函数

〔总结与复习〕深圳大学电子科学与技术学院杜戈果参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件什么是数学物理方法如何建立数理方程求解定解问题特殊函数对实际问题〔物理及一般问题〕，分析考察量的变化规律，建立相应的微分方程写出考察量所满足的相关条件根据微分方程和相关条件，求出考察量的解讨论解的适用条件精确描述线性增长阶段例子:人口增长问题

(Malthus模型)什么是数学物理方法？用数学物理方法处理实际问题:第一步它是最重要的一步也是最困难的一步：数学物理方程的建立数学物理方法的核心：统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近局部的相互作用，写出作用规律的数学表达式〔比方牛顿第二定律表达式〕，它就是系统的微分方程。规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比方利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。建立数理方程的方法根本方程〔泛定方程〕的建立物理模型〔现象、过程〕数学形式表述〔建立偏微分方程并求解〕目的：培养分析、归纳、综合、演绎、抽象、猜测、试探、估算的科学方法。步骤：(1〕确定研究对象〔物理量〕，建立适宜的坐标系；〔2〕在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻局部间的作用；〔3〕忽略次要因素，抓住主要矛盾；〔4〕化简整理，得到偏微分方程。不含初始条件不含边界条件物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振动：虽然经典，但极具启发性。一.均匀弦的横振动方程的建立平衡位置:弦被绷紧，内部有张力(设为

T)，

长度为

L，水平安置(位于

x轴)x00x初始状态:〔例如〕弦被拉成以下形状：LL微元法：弦振动方程任意t时刻弦的形状:

0xu现在的问题：任意时刻t弦上任意点x离开其平衡位置的位移u(x,t)

？xuLX1、建立坐标系，选定微元2、微元s的动力学方程〔牛顿第二运动定律〕uo

sM1N1M2N2xx+dxT1T2X1、建立坐标系，选定微元uo2、微元s的动力学方程〔牛顿第二运动定律〕M1

sN1M2N2xx+dxT1T2(1)(2)水平方向：竖直方向：(忽略重力)弦

s的质量:0xxu水平方向：竖直方向：3、忽略与近似对于微振动:T1＝T2，说明张力不随地点而变，它在整根弦中取同一数值。(弦振动方程)或者，是的变化量，可以用微分近似代替，即(一维波动方程)强迫振动方程注:齐次方程:只含有对

u

的各种运算非齐次方程：含有对

u

运算之外的项f(x,

t),被称为驱动项,或非零自由项

x

高温低温热流热流沿x方向传递,任意x处的温度为u,温度梯度为，q表示在单位时间内流经单位面积的热量，k是热传导系数，负号表示热流方向与温度梯度方向相反。单位面积q00u二、热传导的傅里叶定律:温度梯度：低温高温热流动：高温低温

微元长度,横截积面,体密度:0xxQ1

Q2

在

t

时间内从

x截面流入的热量在

时间内从截面流出的热量比热定义体积元吸收的净热量表现为温度的升高均匀细杆：热传导方程其中,而热传导方程:能量守恒要求:三维热传导方程:有源热传导方程:梯度：散度：旋度：矢量运算根底：如果函数u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有连续的一阶偏导数，那么：微分算符：也称哈密尔顿算子，读“代尔〔del〕〞拉普拉斯算符(子)：作用于函数u给出作用于函数E给出

E泊松方程:拉普拉斯方程:(非齐次:有源场)(齐次:无源场)电场强度与电位的关系定义为:电位方程

u泛定方程定解条件定解问题数学物理方程：完整表述泛定方程只含一阶微商，只有一个初始条件：泛定方程含二阶微商，需要两个初始条件:

泛定方程不含时间变量，不涉及初始条件〔例如拉普拉斯方程〕

数理方程：初始条件

第一类边界条件：直接给出考察量在边界S上的值：

第二类边界条件：给出考察量的导数在边界上的值：

第三类边界条件：给出考察量及其导数的线性组合：

〔均为函数〕数理方程：边界条件

分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件

分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件

数理方程：边界条件〔自由端/绝热〕〔弹性支撑〕一个泛定方程与相应的定解条件构成“定解问题〞。例如弦振动的一个定解问题〔两端固定，初始位移是任意的，初始速度为零〕可以表示为数理方程：定解问题例：(0

x

L)(0<x<L,t>0)(t>0)几个名词简介:定解问题分为三类：根本方法：1.别离变量法2.行波法3.积分变换法拉普拉斯变换傅里叶变换定解问题的求解有界弦的自由振动有限长杆上的热传导圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题非齐次方程的解法非齐次边界条件的处理别离变量法提要:什么是别离变量法?运用别离变量法所应该具备的条件?如何应用别离变量法解定解问题?弦长度为L,两端固定,任意初始位移,任意初始速度。定解问题为:泛定方程边界条件初始条件(1)(2)(3)例1：有界弦的自由振动〔第一类边界条件〕设方程〔1〕有别离变量解：代入方程〔1〕：两边对x求导数：设这一常数为-，那么〔4〕〔5〕〔6〕至此可以看出,利用别离变量法的条件是:泛定方程必须是齐次的。否那么〔5〕变成方程,不能写出变量别离的形式〔6〕。别离变量：将边界条件〔2〕代入形式解〔4〕：由于,否那么(平庸解,无实际意义),故这样空间函数构成以下常微分方程的边值问题:至此可以看出,利用别离变量法的条件是:边界条件必须是齐次的。否那么，不能写出关于空间函数X(x)单独的边界条件〔7〕，不能构成定解问题〔8〕。〔8〕〔7〕

：方程(9)的通解为2.:方程(9)的通解为(9)(10)〔平庸解:X(x)=0〕由(10)得

为了满足边界条件(10),(11)必须给出(11)下面求解边值问题：设这是一个关于A,B的线性齐次方程组，它有非零解的必要充分条件是系数行列式为零：

即上式在k=0(即

=0)条件下成立，但在现在的

<0情况下不成立，这意味着：方程组(12)只有零解(12)即(9)(10)为了满足边界条件(10),必须有3.

>0,方程(9)的通解为该边值问题的解是一系列分立的正弦函数由于B不能为零(否那么X(x)=0)设将代入关于

T的方程:这个解称为定解问题的“本征解〞,它满足泛定方程和齐次边界条件其通解为这样

解方程:但是本征解的初始值不能满足任意初始条件(2),为了使原定解问题的解满足任意初始条件，考虑到原泛定方程是线性的〔服从叠加原理〕，可以取本征解的叠加构成定解问题的一般解：一般解不但满足泛定方程还满足定解条件定解问题的一般解:

这样初始条件可以表示为它们是函数的傅立叶级数，展开系数为一般解能表示任意初始条件可以再次看出,利用别离变量法的条件是:泛定方程必须是线性的。这样才能利用叠加原理，构成一般解，满足任意初始条件。任意初始条件:

有界弦自由振动的定解问题的解由级数给出:

它满足齐次边界条件和任意初始条件:

展开系数被积分确定:弦振动定解问题的结论：1.对于泛定方程写出形式解:

2.别离变量得到空间函数的本征值问题:3.解出得到本征解:4.利用叠加原理得到一般解:〔本征值〕〔本征函数〕别离变量法：求解定解问题的步骤1.泛定方程是线性齐次的,

例如2.边界条件是齐次的,例如3.初始条件可以是任意函数

讨论:别离变量法的适用条件本征方程X(x)+X(x)=0的本征值与本征函数边界条件本征值本征函数n的取值u

x=0=0，u

x=L=0n=1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…n=0,1,2,3,…有界杆的长度为L，其两端保持绝热，杆内初始温度分布为(x)，求解杆内任意时刻的温度分布的定解问题：(1)(2)(3)例2：热传导(第二类边界条件)

有限长杆上的热传导设方程〔1〕有形式解：代入方程〔1〕别离变量：〔4〕〔5〕〔6〕别离变量：将边界条件〔3〕代入形式解〔4〕：这样空间函数X(x)构成以下常微分方程的边值问题:〔8〕〔7〕

：(9)的通解2.:(9)的通解(9)(10)有特解:X0(x)=A(常数)由(10)得

,

为了满足边界条件(10),必须有(平庸解)但下面求解边值问题：为了满足边界条件(10),必须有3.,方程(9)的通解为(9)(10)求解边值问题：将代入关于

T的方程:这个解是定解问题的本征解，它满足泛定方程和齐次边界条件，但是不能表征任意初始条件其通解为这样

解方程:利用傅里叶系数公式,得到C0是本征值

=0相应的特解X0(x)=A

初始条件：一般解与初始条件：如果：(n=1,2,3,……)(n=0,1,2,3,……)问题：系统的稳态温度概念：系统在任意时刻的平均稳定定义为u(x,t)对空间的积分除以系统的长度LLLxx绝热曲线下面积相等(总热量保持恒定)系统的稳态温度：1.直观分析系统最终趋于热平衡温度:

这一过程是绝热的(总热量保持恒定)：初始温度的平均值系统的稳态温度：2.动力学分析热传导的动力学行为:热传导的稳态行为:系统在条件下的稳态温度:系统是绝热的(总热量保持恒定):()热传导方程的稳态解〔适用于任何情况〕初始温度的平均值系统的稳态温度：3.稳态分析将u(x,t)代入，可求出平均温度U(t)=C0,0,0,222><<¶¶=¶¶tLxxuatu例３：热传导(第三类边界条件)求解方法看课件第二章-2，有一定难度通解：利用定解条件确定系数例4：圆域上的拉普拉斯方程1.在物理上代表同一个点，具有相同的温度:

这个条件称为“周期性边界条件〞2.物理上，圆内各点的温度应该是有界的，特别是圆盘中心的温度应该是有限的：

这个条件称为“自然边界条件〞寻找物理上的边界条件：有界弦的强迫振动:弦长度为L,两端固定,任意初始条件。定解问题为：

强迫弦振动非齐次泛定方程及任意初始条件例5：采用本征函数法选择空间函数的本征函数集，写出泛定方程的形式解：将形式解代入泛定方程，直接得到时间函数的常微分方程，例如弦振动：3.本征函数法能用来求解齐次和非齐次泛定方程的定解问题本征函数法的要点和优点:边界条件本征函数集本征函数集〔，〕例6：非齐次边界条件的处理——非齐次边界条件的齐次化回忆以前：无论泛定方程是齐次非齐次对应的边界条件都是齐次的倘若边界条件是非齐次的新问题？将其转化为齐次以适当的未知函数代换采用辅助函数法，将边界条件齐次化设定解问题:为了将边界条件转成齐次，为此令：使的边界为齐次适当选取，即由〔2.55〕与〔2.57〕可知，要使〔2.58〕式成立，只要选取W，使其满足适当选取由右列边界条件确定由：理所当然，函数必定满足边界条件。因此，只要作代换就能使新的未知函数，满足齐次的边界条件.那么，究竟选取哪一个？为了使以后的计算简便，选取W为x的一次式，即取直线然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题.其中得到关于V的定解问题代入再用本征函数法求解V(x,t)综合问题：非齐次方程，非齐次边界条件，任意初始条件如果自由项和边界条件不含时间，选取适当的辅助函数使方程和边界条件同时齐次化。如果不满足上述条件，选取适当的辅助函数使边界条件齐次化。3.边界条件齐次化之后，用“一分为二〞法：3.1齐次方程+任意初始条件〔别离变量法〕3.2非齐次方程+齐次初始条件〔本征函数法〕边界条件齐次化之后，还可以用“合二为一〞法：直接利用本征函数法，一次性求解。综合定解问题的处理〔通解〕〔特解〕行波法求解无界波动方程原方程：特征方程：特征线：特征变换：简化方程：结论：只要找到特征方程就可以将原方程化简结论>0〔双曲型〕如一维波动方程=0〔抛物线型〕如一维热传导方程<0〔椭圆型〕如二维拉氏方程

二阶线性偏微分方程:通式和分类

特征方程：结论

(一般情况)特征线：注：只有双曲方程有特征线特征变换：简化方程：在A、B、C均为常数时：xyz求解球坐标下的三维波动方程球对称：无关，那么波动方程可化简为以

ru

为函数的一维波动方程一、球对称情况目的：求任意

t时刻在任意点的波函数步骤：1.以M点为中心，以r为半径作一个球面2.求出波函数在球面上的平均值：

表示球面上的动点xyz3.在情况下求极限：

给出最后结果Mr二、一般情况：泊松球面平均法能够证明〔〕满足一维波动方程其通解为：三维波动方程初值问题的泊松公式三维波动方程初值问题的泊松公式r①空间任意一点M，在任意时刻t>0的状态，完全由以该点为心、at

为半径的球面上初始状态决定。

②当初始扰动限制在空间某局部范围时，扰动有清晰的“前锋〞与“阵尾〞，即惠更斯原理成立。三维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义：二维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义：①二维空间任意一点M，在任意时刻t>0的状态，完全由以该点为心、at

为半径的圆盘域上初始状态决定。

②局部初始扰动对二维空间任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的“前锋〞而无后锋，此现象称为波的扩散，即惠更斯原理不再成立。

适用:一般常微分方程及偏微分方程

时间

t：拉氏变换空间

x：

拉氏变换

空间

x：

傅氏变换

注意：使用拉氏和傅氏双重变换积分变换法〔原函数〕〔象函数〕常用的拉普拉斯变换定义：拉普拉斯变换性质小结：线性性质微分性质积分性质位移性质延迟性质卷积定理定义：〔原函数小写〕〔象函数大写〕定义：反变换存在的条件：傅立叶变换傅立叶变换性质小结：线性性质微分性质积分性质位移性质卷积定理定义：重要结果单位阶跃函数的变换变量

x变化范围：，对x用傅里叶变换

例如无界弦2.变量

x变化范围：，对x用拉普拉斯变换

例如半无界热传导3.时间变量的变化为，只能用拉普拉斯变换傅里叶变换与拉普拉斯变换1.用拉普拉斯求解常微分方程的初值问题，不需要考虑方程是否齐次，解题步骤都是一样的。象函数是代数方程〔包含了初始条件〕，容易求解，比经典的方法〔先求通解，再利用初始条件确定常数〕更优越。2.用拉普拉斯求解数学物理方程的定解问题，不管方程与边界条件是否齐次，不管方程定义在无界还是有界区域〔见例题6〕，都可以求解。对于偏微分方程,既可以对t求拉氏变换，也可以对x求拉氏变换(如果有)。拉普拉斯变换(法)的优点根据变量x的变换范围选择傅氏变换或拉氏变换:

变换后得到象空间的常微分方程和定解条件。2.求解象空间的定解问题，得到象函数3.对象函数反演后得到原定解问题的解。：傅氏变换：拉氏变换

时间变量

t的变化范围为，只能取拉氏变换。积分变换法求解定解问题的步骤看课件第三章-3、第三章-4用积分变换法求解定解问题勒让德方程贝塞尔方程幂级数解广义幂级数解当l=0,1,2…时，无穷级数被截断成为勒让德多项式性质〔本征函数集〕：主要用途：各种形式的贝正交归一完备塞尔方程求解〔30多种〕特殊函数柱坐标下：贝塞尔方程Sturm-Liouville〔施图姆-刘维尔〕型方程球坐标下：Sturm-Liouville〔施图姆-刘维尔〕型方程球坐标下：勒让德方