悬索桥主缆在活载下的变形和力学分析

悬索桥主缆在活载下的变形和力学分析

在大倾角悬索桥中，主航道、主航道和塔柱是第一个承载体，动力梁和悬索是第二个承载体。在抵抗结构竖向变形的刚度贡献上,主缆的重力刚度远大于加劲梁的抗弯刚度,因而,主缆的力学特性主要地决定着全桥的结构行为。所谓重力刚度是指大跨径悬索桥由于自身恒载比活载大很多,在巨大的均布恒载作用下,柔性主缆可以维持稳定的线形,且具有进一步抵抗竖向活载变形的刚度。从图1所示的悬挂缆索来看,在均布恒载q下的线形是抛物线,即曲线①;其后,作用集中活载P(qL>>P)形成曲线③;相较于无恒载悬索上仅作用P时的曲线②,曲线③的变形要小的多,也即是悬索在恒载下获得了保证稳定线形的重力刚度。为研究缆索在竖向活载作用下的变形和内力,国内外学者在解析法和数值法上进行了研究[1―9]。在解析法中,一般都引入重力刚度这一概念[4―5],由挠度理论出发通过缆索的荷载平衡方程(包括弯矩或剪力平衡微分方程)及变形协调条件(本质是悬索桥主缆变形前后的无应力索长不变),求解悬索的竖向位移以及水平拉力增量。这类方法在求解非线性微分方程时不得不采用线性化的假设,从而影响了求解精度。还有一些学者通过索缆线形与简支梁弯矩图的比拟以及无应力索长不变的关系,推导了缆索在活载下的变形和内力,虽然没有提到重力刚度,但在客观上计入了这一效应。此外,O’Brien于1964年提出了平面悬索的数值法精确解,也为现代悬索桥的计算提供了有力手段[4,10―11]。能量法是分析悬索在外荷载下变位的另一种方法。关于缆索在荷载作用下的能量关系,Pugsley曾将能量方程作为荷载平衡条件的方程,并忽略索的弹性伸长给出变形协调条件,但仅提出思路,并未给出计算结果。之后MaxIrvine在能量方程中考虑了索的弹性应变能,但也未给出计算公式。本文利用索缆线形与简支梁弯矩图的比拟关系,得到含有未知缆索内力的竖向位移表达式,再以能量方程作为补充条件,这样就可以推导出悬索在活载下的竖向位移、缆索内力的水平分量和重力刚度的解析公式。1索、简支梁之间的及其平衡微分方程悬索桥的主缆在恒载下承受巨大的拉力,忽略索的抗弯刚度以及缆索中任一点的水平位移。当主缆受到竖向分布荷载时,其平衡微分方程为:式中:H为缆索的水平分量;y(x)为缆索线形;q(x)为竖向分布荷载的大小。与此类比,简支梁在竖向荷载下微分方程为:式中M(x)为等跨简支梁的弯矩。观察式(1)和式(2),索和简支梁的平衡微分方程具有可比拟的形式,在数学上,H⋅y(x)与M(x)对应。因此,在两者边界条件相同时,下述对应关系即成立。于是悬索在竖向荷载作用下的线形可以通过该类比的方法进行计算,先计算同等跨径简支梁在相同竖向荷载下的弯矩图,再将弯矩图每一点的值除以水平分力H即可求得悬索线形(见图2)。2主缆弯矩的计算在成桥状态,主缆在全跨范围内作用有均布恒载q,考察在任意点C作用有竖向活载集中力P的情况。在均布恒载q下,主缆水平分力为Hq;而在q和P同时作用下,主缆水平分力为H=Hq+HP,HP为集中荷载下,主缆水平力的增量。首先计算与悬索同等跨径的简支梁在相同竖向荷载作用下的弯矩图(如图4)。恒载q在简支梁上的弯矩:活载P在简支梁上的弯矩:将式(5)代入式(4),得到均布恒载下缆索线形:将式(5)加上式(6),再代入式(4),得到集中活载作用后缆索的线形:式(8)减去式(7),得缆索在集中荷载作用下竖向挠度增量:3集中荷载作用下的挠度对于能量封闭体系,能量守恒表现为外力功等于内力功。这里,内力功为结构自身所贮存的应变能,外力功为外荷载所做的功。在已承受均布荷载q的主缆上,新增集中活载P,考虑到在实际悬索桥中,活载P相比恒载ql总是很小,所以,可以假定荷载P与位移vc呈线性关系。于是,整个外力做功之和为:式中:v通过式(9)分段代入;vc为集中活载作用点的挠度增量。对索缆,其内力功为结构存储的轴向应变能的改变量。由于主缆的轴向刚度很大,在悬索桥常规活载的量级下,可以假定主缆是不可伸长的,即主缆只有形状的改变,轴向应变能U没有变化。这样:结合式(11),由式(10)可得:式(12)的物理意义为:活载P所作的功存储为索结构的重力势能,也即是活载P提升了恒载下索的重心。将式(9)代入式(12),通过求解,得拉索水平力增量HP:式中:λ=P/qL是活载与恒载的比;β=xc/L和为活载P作用点位置的无量纲参数。另外由式(9)可知,活载P作用点C的竖向位移为:将式(13)代入式(14),经化简可得:对照简支梁在跨中集中荷载P作用下的挠度公式:将式(15)改写成:式(17)中C为与活载作用位置相关的参数,而相当于式(16)分母中梁的抗弯刚度EI。在此令:式(18)即为悬索桥的重力刚度。4解析计算公式活载下的主缆内力增量和竖向挠度变化是悬索桥静力行为的主要指标之一,国内外学者经过研究,得到一些解析公式或数值计算方法。主要的一些解析计算公式列于表1,为了方便分析对比,笔者采用统一参数重写了一些原文中的公式。数值计算方法,一般将整段索离散成多段悬索,利用各索段节点处力的平衡条件,索长及其它几何关系来处理悬索问题的一类方法,由于数值方法可以考虑拉索在竖向集中力下的弹性变形以及各点的水平位移,故可近似认为,数值方法得到的竖向挠度是真实解。5数值解的解析为了验证本文推导的拉索水平力增量计算公式(13)及竖向位移公式(15)的精确性,下面通过算例,对比各解析公式以及数值解的计算结果。设有某主缆跨度L=1000m,矢高f=100m,水平荷载集度q=5kN/m,弹性模量E=2×105MPa,面积A=0.2m2。计算集中荷载P作用于跨中、1/4跨及1/8跨三个典型位置下荷载-竖向位移关系及荷载-水平力增量关系曲线。1中心负荷用于中间21.4组合的集中负荷功能3活荷载基本法从以上计算结果可见,在活载、恒载比P/ql≤0.2的情况下,缆索有如下基本特性:1)竖向位移与活载呈非线性关系,竖向位移的增量随着活载的增大而减小(图5、图7及图9)。悬索水平拉力增量与活载基本呈线性关系(图6、图8及图10)。2)对于竖向位移,当荷载作用于跨中时,本文公式计算的结果与数值解最接近,误差小于1%,且误差与荷载大小基本无关。文献公式的结果次之。按文献及文献的计算结果随着活荷载增加,误差越大,当P/ql=0.2时分别达到了17.5%及15.3%(见表2);当荷载作用于1/4跨以及1/8跨时,所有公式的计算结果与数值解均有一定偏差,原因是计算公式都忽略了索中各点的水平位移,相比较而言本文公式仍具有最好的精度(表4及表6)。3)对于水平拉力增量,在跨中和1/4跨处本文公式计算的结果与数值解最为接近(表3、表5),在1/8跨处稍有偏差(表7)。6活载与恒载比之比较(1)本文推导了竖向集中力下缆索内力及竖向位移的解析计算公式,即式(13)和式(15);同时,还给出了新的悬索桥重力刚度表达式,即式(18)。在活载与恒载之比小于0.2时,比较现有其它计算公式[3―5],本文公