高中数学期末复习-数列单元复习题一

数列单元复习题（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）A.34 B.35 C.36 D.372．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝an2－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于（）A.－1 B.1 C.0 D.23．{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是（）A.24 B.27 C.30 D.334．设函数f(x)满足f(n＋1)＝eq\f(2f(n)＋n,2)(n∈N*)且f(1)＝2，则f(20)为（）A.95 B.97 C.105 D.1925．等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.86．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大（）A.第10项 B.第11项 C.第10项或11项 D.第12项7．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，则S20为（）A.180 B.－180 C.90 D.－908．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A.9 B.10 C.19 D.299．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…是（）A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列10．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为（）A.14 B.15 C.16 D.17二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)新课标一网11．已知f(n＋1)＝f(n)－eq\f(1,4)(n∈N*)且f(2)＝2，则f(101)＝_______.12．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______.13．在等差数列{an}中，已知S100＝10，S10＝100，则S110＝_________.14．在－9和3之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－21的等差数列，则n＝_____.15．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项.16．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝_______.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？21．（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：{eq\f(1,Sn)}是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.WWw.Xkb1.cOm数列单元复习题（一）答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．C2．A3．D4．B5．C6．C7．A8．B9．B10．B二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)11．－eq\f(91,4)12．－113．－11014．515．616．9三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.(1)求通项an；(2)求此数列前30项的绝对值的和.考查等差数列的通项及求和.【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.(2)由an≤0，则3n－63≤0n≤21，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27）＝eq\f(（3＋60）,2)×20＋eq\f(（3＋27）,2)×9＝765.18．（本小题满分14分）在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.考查等差数列的前n项和公式的应用.【解】∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋eq\f(9×（9－1）,2)d＝17×25＋eq\f(17×（17－1）,2)d解得d＝－2，∴Sn＝25n＋eq\f(n（n－1）,2)(－2)＝－(n－13)2＋169.由二次函数性质，故前13项和最大.注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d＝－2，数列an为递减数列.an＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5∴数列前13项和最大.WWw.Xkb1.cOm19．（本小题满分14分）数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.考查数列通项及二次函数性质.【解】（1）由an为负数，得n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，故n＝2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.（2）∵an＝n2－5n＋4＝(n－eq\f(5,2))2－eq\f(9,4)，∴对称轴为n＝eq\f(5,2)＝2.5又∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2.20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝70整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟.（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋eq\f(n（n－1）,2)＋5n＝3×70整理得：n2＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟.21．（本小题满分15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：{eq\f(1,Sn)}是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.考查数列求和及分析解决问题的能力.【解】（1）∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2，又eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2∴{eq\f(1,Sn)}是以2为首项，公差为2的等差数列.wWw.xKb1.coM（2）由（1）eq\f(1,Sn)＝2＋(n－1)2＝2n，∴Sn＝eq\f(1,2n)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－eq\f(1,2n(n－1))n＝1时，a1＝S1＝eq\f(1,2)，∴an＝eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(1,2)（n＝1）,－eq\f(1,2n(n－1))（n≥2）))(3)由（2）知bn＝2(1－n)an＝eq\f(1,n)∴b22＋b32＋…＋bn2＝eq