振动与波习题课期末复习

一简谐振动的证明机械振动

以物体受力平衡的位置作为坐标原点若物体所受合力F

与-x

成正比，则物体作简谐振动。式中圆频率简谐振动的圆频率由振动系统本身的性质决定。注意周期：频率：周期、频率与圆频率的关系准则一准则二或9/25/20231式中圆频率简谐振动的圆频率由振动系统本身的性质决定。注意周期：频率：周期、频率与圆频率的关系在直立的U形管中装有质量为的水银（密度为），管的截面积为。经初始扰动后，水银在管内作微小振动，不计各种阻力，试列出振动微分方程，并求出振动周期。 例1.9/25/20232物体作简谐振动在直立的U形管中装有质量为的水银（密度为），管的截面积为。经初始扰动后，水银在管内作微小振动，不计各种阻力，试列出振动微分方程，并求出振动周期。 例1.Ox2xx解：水银柱两端的压强差：水银柱所受合力：即：振动周期：9/25/20233物体作简谐振动Ox2xx解：水银柱两端的压强差：水银柱所受合力：即：振动周期：二振动方程的建立振动方程：振动速度：9/25/20234二振动方程的建立振动方程：振动速度：9/25/20235二振动方程的建立振动方程：振动速度：振动加速度：

——由振动系统本身的性质确定.——由初始条件决定。9/25/20236

——由振动系统本身的性质确定. 在一轻弹簧下挂一的砝码时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下悬挂的物体，构成弹簧振子，将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（这时）选X轴向下，求振动方程。例2.9/25/20237例2.fm0g解：mkOx振动方程 在一轻弹簧下挂一的砝码时，弹簧伸长8cm。现在这根弹簧下悬挂的物体，构成弹簧振子，将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm/s的初速度（这时）选X轴向下，求振动方程。9/25/20238fm0g解：mkOx振动方程

旋转矢量的应用1.定初相和圆频率9/25/20239一简谐振动的x-t

曲线如图所示，求振动方程。例3.x(cm)t(s)1.0-1.0-0.52O1.0-1.0解：由旋转矢量图知:2s内质点相位的改变量圆频率振动方程：9/25/202310解：由旋转矢量图知:2s内质点相位的改变量圆频率振动方程：例4.一质点在X轴上作简谐振动，t=0时质点位于A点，经过2

秒后质点第一次经过B点，再经2

秒后质点第二次经过B点，已知AB=10cm，质点在A、B两点具有相同的速率。求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A处的速率。XAB9/25/202311例4.一质点在X轴上作简谐振动，t=0时质点位于A点，经过2

秒后质点第一次经过B点，再经2

秒后质点第二次经过B点，已知AB=10cm，质点在A、B两点具有相同的速率。求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A处的速率。XABX(cm)ABO解：质点在A、B两点具有相同的速率，故A、B两点在平衡位置两侧对称分布。由题意知：4s内相位变化圆频率由题意还可知初相：振幅：9/25/202312例4.一质点在X轴上作简谐振动，t=0时质点位于A点，经过2

秒后质点第一次经过B点，再经2

秒后质点第二次经过B点，已知AB=10cm，质点在A、B两点具有相同的速率。求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A处的速率。XABX(cm)ABO解：圆频率由题意还可知初相：振幅：振动方程：振动速度：9/25/202313例4.一质点在X轴上作简谐振动，t=0时质点位于A点，经过2

秒后质点第一次经过B点，再经2

秒后质点第二次经过B点，已知AB=10cm，质点在A、B两点具有相同的速率。求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A处的速率。XABX(cm)ABO解：振动方程：振动速度：A点的相位：9/25/202314旋转矢量的应用1.定初相和圆频率2.画振动曲线9/25/202315x(cm)O例5.三个简谐振动方程分别为画出它们t=0时的旋转矢量图，并在同一坐标上画出它们的振动曲线。A1t(s)x(cm)OA-AA2A3x1x2x39/25/202316旋转矢量的应用1.定初相和圆频率2.画振动曲线3.

计算相位改变所需的时间9/25/202317例6.一质点在X轴上作简谐振动，振幅

A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点。若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm

处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm

处的时刻为_________。x(cm)O4-4解：圆频率质点相位的改变量质点第二次通过x=-2cm

处的时刻为9/25/202318旋转矢量的应用1.定初相和圆频率2.画振动曲线3.

计算相位改变所需的时间三振动能量振动动能振动势能总能量：能量的周期是振动周期的一半注意9/25/202319振动动能振动势能总能量：能量的周期是振动周期的一半注意例7.一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的________，（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长Δl

，这一振动系统的周期为____________。9/25/202320例7.一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总能量的________，（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长Δl

，这一振动系统的周期为____________。解：（1）总能量：动能：（2）平衡时：振动周期:9/25/202321解：（1）总能量：动能：（2）平衡时：振动周期:四同方向同频率两个振动的合成9/25/202322四同方向同频率两个振动的合成同相叠加振动加强反相叠加振动减弱9/25/202323同相叠加振动加强反相叠加振动减弱例8.两个同方向同频率的简谐振动，其振动方程分别为它们的合振动的振幅为_______，初位相为__________。9/25/202324例8.两个同方向同频率的简谐振动，其振动方程分别为它们的合振动的振幅为_______，初位相为__________。解：第二种振动的方程可表示为：合振动振幅初位相：A9/25/202325机械波一波动方程的建立已知坐标原点O点的振动方程为：时间延迟法P*O相位落后法9/25/202326应用解题思路：1.已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。yox已知：时间延迟法相位落后法9/25/202327时间延迟法相位落后法例9. 一平面间谐波以速度u沿X

轴正向传播如图所示，O为坐标原点，已知P点的振动方程为，则O点的振动方程为__________，波动方程为________，C点的振动方程为__________。OXl2lPC9/25/202328例9. 一平面间谐波以速度u沿X

轴正向传播如图所示，O为坐标原点，已知P点的振动方程为，则O点的振动方程为__________，波动方程为________，C点的振动方程为__________。解：OXl2lPC波动方程O点超前于P点的时间t

时刻O点的振动相同于时刻

P点的振动O点的振动方程C点的振动方程（x=3l）9/25/202329波动方程O点超前于P点的时间t

时刻O点的振动相同于时刻

P点的振动O点的振动方程C点的振动方程（x=3l）应用1.已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。2.已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。9/25/202330应用1.已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。2.已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。任意点振动曲线解题思路：任意点振动方程波动方程9/25/202331任意点振动曲线解题思路：任意点振动方程例10.一简谐波沿OX轴正方向传播，波长

λ=4m

，已知x=0

处质点的振动曲线如图所示，求：（1）x=0

处质点的振动方程；（2）波动方程；（3）t=1s时的波形曲线。0yt(s)9/25/202332例10.一简谐波沿OX轴正方向传播，波长

λ=4m

，已知x=0

处质点的振动曲线如图所示，求：（1）x=0

处质点的振动方程；（2）波动方程；（3）t=1s

时的波形曲线。0y/mt(s)y/m解：（1）由旋转矢量图知7/3s内相位变化圆频率：x=0

处质点的振动方程（2）波动方程相位落后法（3）1s后原点处质点的相位9/25/202333例10.一简谐波沿OX轴正方向传播，波长

λ=4m

，已知x=0

处质点的振动曲线如图所示，求：（1）x=0

处质点的振动方程；（2）波动方程；（3）t=1s

时的波形曲线。y/m解：x=0

处质点的振动方程（2）波动方程相位落后法（3）1s后原点处质点的相位y/mx/m9/25/202334应用1.已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。2.已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。3.已知某时刻波形曲线，求波动方程。解题思路：某时刻的波形曲线时的波形曲线原点的振动方程波动方程9/25/202335解题思路：某时刻的波形曲线时的波形曲线原点的振动方程波动方程例11.

已知一平面简谐波在t=2s

时的波形如图所示，其振幅为

0.2m，周期为4s。（1）写出P点的振动方程；（2）写出以O为原点的波动方程。ut=2s21x(m)y(m)0.2-0.2P9/25/202336例11.

已知一平面简谐波在t=2s

时的波形如图所示，其振幅为

0.2m，周期为4s。（1）写出P点的振动方程；（2）写出以O为原点的波动方程。ut=2s21x(m)y(m)0.2-0.2Pt=0

（1）首先画出t=0时的波形图解：2s内波前进λ/2y(m)

t=0时，P点的相位振动圆频率P点的振动方程